高优指导2021版高考数学一轮复习第十一章概率52几何概型考点规范练文北师大版.doc

考点规范练52　几何概型
　考点规范练B册第40页　 
基础巩固组
1.(2015广东韶关调研)在区间[0,2]之间随机抽取一个数x,则x满足2x-1≥0的概率为(　　)

A. B. C. D.
答案:A
解析:区间[0,2]看作总长度为2,区间[0,2]中满足2x-1≥0的只有,长度为,P=.

2.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案:B
解析:所求概率为,故选B.
3.(2015广东七校联考)

如图,矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在椭圆外的黄豆数为96,以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为(　　)
A.16.32 B.15.32 C.8.68 D.7.68
答案:A
解析:设椭圆的面积为S,则,故S=16.32.
4.已知地铁列车每10 min(含在车站停车时间)一班,在车站停1 min,则乘客到达站台立即乘上车的概率是(　　)
A. B. C. D.〚导学号32470840〛
答案:A
解析:试验的所有结果构成的区域长度为10 min,而构成所求事件的区域长度为1 min,故P=.
5.(2015广东七校联考)如图,已知圆的半径为10,其内接三角形ABC的内角A,B分别为60°和45°,现向圆内随机撒一粒豆子,则豆子落在三角形ABC内的概率为(　　)

A. B.
C. D.
答案:B
解析:由正弦定理=2R(R为圆的半径),得解得
那么S△ABC=×10×10sin 75°=×10×10=25(3+).
于是,豆子落在三角形ABC内的概率为.
6.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机地取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的概率为,则=(　　)
A. B. C. D.
答案:D
解析:

依题可知,E,F是CD上的四等分点,P只能在线段EF上且BF=AB.
不妨设CD=AB=a,BC=b,
则有b2+=a2,
即b2=a2,故.
7.(2015北京昌平模拟)设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点,则此点到直线y+2=0的距离大于2的概率是(　　)
A. B. C. D.〚导学号32470841〛
答案:D
解析:作出平面区域D,可知平面区域D是以A(4,3),B(4,-2),C(-6,-2)为顶点的三角形区域,当点在△AEF区域内时,点到直线y+2=0的距离大于2.
∴P=.

8.在区间[-5,5]内随机地取出一个数a,则恰好使1是关于x的不等式2x2+ax-a2<0的一个解的概率为(　　)
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
答案:D
解析:由已知得2+a-a2<0,解得a>2或a<-1.
则当a∈[-5,-1)∪(2,5]时,1是关于x的不等式2x2+ax-a2<0的一个解.
故所求概率为P==0.7.
9.(2015湖北八校二联)记集合A={(x,y)|x2+y2≤4}和集合B={(x,y)|x+y-2≤0,x≥0,y≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2,若在区域Ω1内任取一点M(x,y),则点M落在区域Ω2的概率为　　　　　. 
答案:
解析:

作圆O:x2+y2=4,区域Ω1就是圆O内部(含边界),其面积为4π,区域Ω2就是图中△AOB内部(含边界),其面积为2,
因此所求概率为.
10.(2015武汉调研)在区间(0,1)内随机地取出两个数,则两数之和小于的概率是　　　　　. 
答案:
解析:设随机取出的两个数分别为x,y,则0<x<1,0<y<1,依题意有x+y<,由几何概型知,
所求概率为P=.
11.

如图,在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为　　　　　. 
答案:0.18
解析:由几何概型可知,所以S阴影=0.18.故答案为0.18.
能力提升组
12.在区间[-1,1]上随机取一个数x,则sin的值介于-之间的概率为(　　)
A. B. C. D.〚导学号32470842〛
答案:D
解析:∵-1≤x≤1,∴-.由-≤sin,
得-,则-≤x≤1.
故所求事件的概率为.
13.(2015广东佛山二模)已知函数f(x)=x2+bx+c,其中0≤b≤4,0≤c≤4.记函数f(x)满足条件为事件A,则事件A发生的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案:C
解析:由题意,得
表示的区域如图阴影部分所示,可知阴影部分的面积为8,所以所求概率为,故选C.

14.设不等式组表示的平面区域为D,在D内任取一点P(x,y),若满足2x+y≤b的概率大于,则实数b的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(2,+∞)〚导学号32470843〛
答案:C
解析:

区域D表示以点O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1)为顶点的正方形,其面积S1=1.
根据题意,b>0,设正方形OABC位于直线2x+y=b下方部分面积为S2,
因为直线2x+y=b在x轴,y轴上的截距分别为,b,
所以当0<b≤1时,S2=.
由题设,P==S2>.
结合图形0<b≤1不合题意,当b>1时,显然S2>,故b的取值范围为(1,+∞).
15.已知O(0,0),A(2,1),B(1,-2),C,动点P(a,b)满足0≤≤2,且0≤≤2,则点P到点C的距离大于的概率为(　　)
A.1-π B.π C.1- D.
答案:A
解析:∵=2a+b,=a-2b,
又0≤≤2,且0≤≤2,
∴表示的区域如图阴影部分所示,

点C在阴影区域内到各边界的距离大于.
又|OM|=,
∴所求概率P==1-π.
16.(2015湖北,文8)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≤”的概率,p2为事件“xy≤”的概率,则(　　)
A.p1<p2< B.p1<<p2
C.p2<<p1 D.<p2<p1〚导学号32470844〛
答案:B
解析:设点P的坐标为(x,y),

由题意x,y∈[0,1],
所以点P在正方形OABC内,S正方形OABC=1×1=1.
画出直线x+y=与正方形交于D,E两点,
画出曲线xy=与正方形交于M,N两点.
而Rt△OAC的面积S=.
由图可知:S△OED<S△OAC<S曲边形OCMNA,
所以p1<<p2.故选B.
17.在圆的一条直径上,任取一点作与该直径垂直的弦,则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为　　　　　. 
答案:
解析:

如图,设圆的半径为r,圆心为O,AB为圆的一条直径,CD为垂直AB的一条弦,垂足为M.若CD为圆内接正三角形的一条边,则O到CD的距离为.
设EF为与CD平行且到圆心O距离为的弦,交直径AB于点N,则当过AB上的点,且垂直AB的弦的长度超过CD时,该点在线段MN上变化,故所求概率P=.
18.某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少晚5分钟到校的概率为　　　　　.(用数字作答) 
答案:
解析:用x轴表示小张到校时刻,用y轴表示小王到校时刻,建立如图直角坐标系.设小张到校的时刻为x,小王到校的时刻为y,则x-y≥5.
由题意,知0≤x≤20,0≤y≤20,可行域如图所示,其中,阴影部分表示小张比小王至少晚5分钟到校.

由得A(20,15).易知B(20,20),C(5,0),D(20,0).
由几何概型概率公式,得所求概率
P=.

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