2022年四川省乐山市中考数学试卷解析.docx

2022年四川省乐山市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1．〔3分〕〔2022•乐山〕3的相反数是〔　　〕

A．
﹣3
B．
3
C．
﹣
D．

2．〔3分〕〔2022•乐山〕以下几何体中，正视图是矩形的是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

3．〔3分〕〔2022•乐山〕某班开展1分钟仰卧起坐比赛活动，5名同学的成绩如下〔单位：个〕：37、38、40、40、42．这组数据的众数是〔　　〕

A．
37
B．
38
C．
40
D．
42
4．〔3分〕〔2022•乐山〕以下说法不一定成立的是〔　　〕

A．
假设a＞b，那么a+c＞b+c
B．
假设a+c＞b+c，那么a＞b

C．
假设a＞b，那么ac2＞bc2
D．
假设ac2＞bc2，那么a＞b
5．〔3分〕〔2022•乐山〕如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．，那么的值为〔　　〕

A．

B．

C．

D．

6．〔3分〕〔2022•乐山〕二次函数y=﹣x2+2x+4的最大值为〔　　〕

A．
3
B．
4
C．
5
D．
6
7．〔3分〕〔2022•乐山〕如图，△ABC的三个顶点均在格点上，那么cosA的值为〔　　〕

A．

B．

C．

D．

8．〔3分〕〔2022•乐山〕电影 刘三姐 中，秀才和刘三姐对歌的场面十分精彩．罗秀才唱到：“三百条狗交给你，一少三多四下分，
不要双数要单数，看你怎样分得均〞刘三姐示意舟妹来答，舟妹唱道：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条财主请来当奴才．〞假设用数学方法解决罗秀才提出的问题，设“一少〞的狗有x条，“三多〞的狗有y条，那么解此问题所列关系式正确的选项是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

9．〔3分〕〔2022•乐山〕二次函数y=ax2+bx+c的图象如下列图，记m=|a﹣b+c|+|2a+b+c|，n=|a+b+c|+|2a﹣b﹣c|．那么以下选项正确的选项是〔　　〕

A．
m＜n
B．
m＞n

C．
m=n
D．
m、n的大小关系不能确定
10．〔3分〕〔2022•乐山〕如图，直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C〔0，1〕为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．那么△PAB面积的最大值是〔　　〕

A．
8
B．
12
C．

D．

二、填空题：本大题共6小题，每题3分，共18分．
11．〔3分〕〔2022•湘潭〕的倒数是．
12．〔3分〕〔2022•乐山〕函数的自变量x的取值范围是．
13．〔3分〕〔2022•乐山〕九年级1班9名学生参加学校的植树活动，活动结束后，统计每人植树的情况，植了2棵树的有5人，植了4棵树的有3人，植了5棵树的有1人，那么平均每人植树棵．
14．〔3分〕〔2022•乐山〕如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，∠ADE=40°，那么∠DBC=°．
15．〔3分〕〔2022•乐山〕如图，A〔2，2〕、B〔2，1〕，将△AOB绕着点O逆时针旋转，使点A旋转到点A′〔﹣2，2〕的位置，那么图中阴影局部的面积为．
16．〔3分〕〔2022•乐山〕在直角坐标系xOy中，对于点P〔x，y〕和Q〔x，y′〕，给出如下定义：假设y′=，那么称点Q为点P的“可控变点〞．
例如：点〔1，2〕的“可控变点〞为点〔1，2〕，点〔﹣1，3〕的“可控变点〞为点〔﹣1，﹣3〕．
〔1〕假设点〔﹣1，﹣2〕是一次函数y=x+3图象上点M的“可控变点〞，那么点M的坐标为．
〔2〕假设点P在函数y=﹣x2+16〔﹣5≤x≤a〕的图象上，其“可控变点〞Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，那么实数a的取值范围是．
三、本大题共3小题，每题9分，共27分.
17．〔9分〕〔2022•乐山〕计算：|﹣|+﹣4cos45°+〔﹣1〕2022．
18．〔9分〕〔2022•乐山〕求不等式组的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来．
19．〔9分〕〔2022•乐山〕化简求值：÷〔﹣a〕，其中a=﹣2．
四、本大题共3小题，每题10分，共30分．
20．〔10分〕〔2022•乐山〕如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．
〔1〕求证：△DCE≌△BFE；
〔2〕假设CD=2，∠ADB=30°，求BE的长．
21．〔10分〕〔2022•乐山〕某班开展平安知识竞赛活动，班长将所有同学的成绩分成四类，并制作了如下的统计图表：
类别
成绩
频数
甲
60≤m＜70
4
乙
70≤m＜80
a
丙
80≤m＜90
10
丁
90≤m≤100
5
根据图表信息，答复以下问题：
〔1〕该班共有学生人；表中a=；
〔2〕将丁类的五名学生分别记为A、B、C、D、E，现从中随机挑选两名学生参加学校的决赛，请借助树状图、列表或其他方式求B一定能参加决赛的概率．
22．〔10分〕〔2022•乐山〕“六一〞期间，小张购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如下表：
型号
进价〔元/只〕
售价〔元/只〕
A型
10
12
B型
15
23
〔1〕小张如何进货，使进货款恰好为1300元
〔2〕要使销售文具所获利润最大，且所获利润不超过进货价格的40%，请你帮小张设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．
五、本大题共2小题，每题10分，共20分.
23．〔10分〕〔2022•乐山〕如图1，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=．
〔1〕求CD边的长；
〔2〕如图2，将直线CD边沿箭头方向平移，交DA于点P，交CB于点Q〔点Q运动到点B停止〕．设DP=x，四边形PQCD的面积为y，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．
24．〔10分〕〔2022•乐山〕如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连结BC．假设△ABC的面积为2．
〔1〕求k的值；
〔2〕x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形假设存在，求出点D的坐标；假设不存在，请说明理由．
六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分.
25．〔12分〕〔2022•乐山〕Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O于点E．
〔1〕图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长请说明理由；
〔2〕如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．
①假设CF=CD时，求sin∠CAB的值；
②假设CF=aCD〔a＞0〕时，试猜想sin∠CAB的值．〔用含a的代数式表示，直接写出结果〕
26．〔13分〕〔2022•乐山〕如图1，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C．假设tan∠ABC=3，一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为﹣8、2．
〔1〕求二次函数的解析式；
〔2〕直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD的中点．
①求点P的运动路程；
②如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连结PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变请说明理由；
〔3〕在〔2〕的条件下，连结EF，求△PEF周长的最小值．
2022年四川省乐山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1．〔3分〕〔2022•乐山〕3的相反数是〔　　〕

A．
﹣3
B．
3
C．
﹣
D．

考点：
相反数．菁优网版权所有
分析：
根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣〞，据此解答即可．
解答：
解：根据相反数的含义，可得
3的相反数是：﹣3．
应选：A．
点评：
此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣〞．
2．〔3分〕〔2022•乐山〕以下几何体中，正视图是矩形的是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
简单几何体的三视图．菁优网版权所有
分析：
主视图是从物体正面看，所得到的图形．
解答：
解：A、球的正视图是圆，故此选项错误；
B、圆柱的正视图是矩形，故此选项正确；
C、圆锥的正视图是等腰三角形，故此选项错误；
D、圆台的正视图是等腰梯形，故此选项错误；
应选：B．
点评：
此题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3．〔3分〕〔2022•乐山〕某班开展1分钟仰卧起坐比赛活动，5名同学的成绩如下〔单位：个〕：37、38、40、40、42．这组数据的众数是〔　　〕

A．
37
B．
38
C．
40
D．
42
考点：
众数．菁优网版权所有
分析：
根据众数的概念求解．
解答：
解：由题意得，40出现的次数最多，众数为40．
应选：C．
点评：
此题考查了众数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
4．〔3分〕〔2022•乐山〕以下说法不一定成立的是〔　　〕

A．
假设a＞b，那么a+c＞b+c
B．
假设a+c＞b+c，那么a＞b

C．
假设a＞b，那么ac2＞bc2
D．
假设ac2＞bc2，那么a＞b
考点：
不等式的性质．菁优网版权所有
分析：
根据不等式的性质进行判断．
解答：
解：A、在不等式a＞b的两边同时加上c，不等式仍成立，即a+c＞b+c，故本选项错误；
B、在不等式a+c＞b+c的两边同时减去c，不等式仍成立，即a＞b，故本选项错误；
C、当c=0时，假设a＞b，那么不等式ac2＞bc2不成立，故本选项正确；
D、在不等式ac2＞bc2的两边同时除以不为0的c2，该不等式仍成立，即a＞b，故本选项错误．
应选：C．
点评：
主要考查了不等式的根本性质．“0〞是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0〞存在与否，以防掉进“0〞的陷阱．不等式的根本性质：
〔1〕不等式两边加〔或减〕同一个数〔或式子〕，不等号的方向不变．
〔2〕不等式两边乘〔或除以〕同一个正数，不等号的方向不变．
〔3〕不等式两边乘〔或除以〕同一个负数，不等号的方向改变．
5．〔3分〕〔2022•乐山〕如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．，那么的值为〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
平行线分线段成比例．菁优网版权所有
分析：
根据平行线分线段成比例定理得出=，根据即可求出答案．
解答：
解：∵l1∥l2∥l3，，
∴===，
应选：D．
点评：
此题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．
6．〔3分〕〔2022•乐山〕二次函数y=﹣x2+2x+4的最大值为〔　　〕

A．
3
B．
4
C．
5
D．
6
考点：
二次函数的最值．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
先利用配方法得到y=﹣〔x﹣1〕2+5，然后根据二次函数的最值问题求解．
解答：
解：y=﹣〔x﹣1〕2+5，
∵a=﹣1＜0，
∴当x=1时，y有最大值，最大值为5．
应选：C．
点评：
此题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=﹣时，y=；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=﹣时，y=；确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
7．〔3分〕〔2022•乐山〕如图，△ABC的三个顶点均在格点上，那么cosA的值为〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
专题：
网格型．
分析：
过B点作BD⊥AC，得AB的长，AD的长，利用锐角三角函数得结果．
解答：
解：过B点作BD⊥AC，如图，
由勾股定理得，
AB==，
AD==2
cosA===，
应选：D．

点评：
此题主要考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构建全等三角形是解答此题的关键．
8．〔3分〕〔2022•乐山〕电影 刘三姐 中，秀才和刘三姐对歌的场面十分精彩．罗秀才唱到：“三百条狗交给你，一少三多四下分，
不要双数要单数，看你怎样分得均〞刘三姐示意舟妹来答，舟妹唱道：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条财主请来当奴才．〞假设用数学方法解决罗秀才提出的问题，设“一少〞的狗有x条，“三多〞的狗有y条，那么解此问题所列关系式正确的选项是〔　　〕

A．

B．

C．

D．

考点：
由实际问题抽象出二元一次方程．菁优网版权所有
分析：
根据一少三多四下分，不要双数要单数，列出不等式组解答即可．
解答：
解：设“一少〞的狗有x条，“三多〞的狗有y条，可得：，
应选：B．
点评：
此题考查二元一次方程的应用，关键是根据一少三多四下分，不要双数要单数列出不等式组．
9．〔3分〕〔2022•乐山〕二次函数y=ax2+bx+c的图象如下列图，记m=|a﹣b+c|+|2a+b+c|，n=|a+b+c|+|2a﹣b﹣c|．那么以下选项正确的选项是〔　　〕

A．
m＜n
B．
m＞n

C．
m=n
D．
m、n的大小关系不能确定
考点：
二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
分析：
首先根据抛物线开口向下，可得a＜0；然后根据对称轴在y轴右边，可得b＞0；再根据抛物线经过原点，可得c=0；再根据x=1时，y＞0，判断出a+b+c＞0，a＞﹣b；最后分两种情况讨论：①当对称轴x=﹣≤1时；②当对称轴x=﹣＞1时；判断出m、n的大小关系即可．
解答：
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右边，
∴b＞0，
∵抛物线经过原点，
∴c=0，
∴a﹣b+c＜0；
∵x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∵c=0，
∴a+b＞0；
〔1〕当对称轴x=﹣≤1时，
2a+b≥0，
m=|a﹣b+c|+|2a+b+c|
=b﹣a+2a+b
=2b+a
n=|a+b+c|+|2a﹣b﹣c|
=a+b+〔b﹣2a〕
=2b﹣a
∵a＜0，
∴2b+a＜2b﹣a，
∴m＜n．
〔2〕当对称轴x=﹣＞1时，
2a+b＜0，
m=|a﹣b+c|+|2a+b+c|
=b﹣a﹣〔2a+b〕
=﹣3a
n=|a+b+c|+|2a﹣b﹣c|
=a+b+〔b﹣2a〕
=2b﹣a
m﹣n=〔﹣3a〕﹣〔2b﹣a〕
=﹣2〔a+b〕
∵a+b＞0，
∴﹣2〔a+b〕＜0，
∴m＜n．
综上，可得m＜n．
应选：A．
点评：
此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时〔即ab＞0〕，对称轴在y轴左； 当a与b异号时〔即ab＜0〕，对称轴在y轴右．〔简称：左同右异〕③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于〔0，c〕．
10．〔3分〕〔2022•乐山〕如图，直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C〔0，1〕为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．那么△PAB面积的最大值是〔　　〕

A．
8
B．
12
C．

D．

考点：
圆的综合题．菁优网版权所有
分析：
求出A、B的坐标，根据勾股定理求出AB，求出点C到AB的距离，即可求出圆C上点到AB的最大距离，根据面积公式求出即可．
解答：
解：∵直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A点的坐标为〔4，0〕，B点的坐标为〔0，﹣3〕，3x﹣4y﹣12=0，
即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，
∴点C〔0，1〕到直线3x﹣4y﹣3=0的距离是=，
∴圆C上点到直线y=x﹣3的最大距离是1+=，
∴△PAB面积的最大值是×5×=，
应选：C．
点评：
此题考查了三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最大距离，属于中档题目．
二、填空题：本大题共6小题，每题3分，共18分．
11．〔3分〕〔2022•湘潭〕的倒数是　2　．
考点：
倒数．菁优网版权所有
分析：
根据倒数的定义，的倒数是2．
解答：
解：的倒数是2，
故答案为：2．
点评：
此题主要考查了倒数的定义：假设两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
12．〔3分〕〔2022•乐山〕函数的自变量x的取值范围是　x≥2　．
考点：
函数自变量的取值范围．菁优网版权所有
分析：
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
解答：
解：根据题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
点评：
此题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
〔1〕当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
〔2〕当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
〔3〕当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数．
13．〔3分〕〔2022•乐山〕九年级1班9名学生参加学校的植树活动，活动结束后，统计每人植树的情况，植了2棵树的有5人，植了4棵树的有3人，植了5棵树的有1人，那么平均每人植树　3　棵．
考点：
加权平均数．菁优网版权所有
分析：
直接利用加权平均数的计算公式进行计算即可．
解答：
解：平均每人植树=3棵，
故答案为：3．
点评：
此题考查了加权平均数的计算，解题的关键是牢记加权平均数的计算公式，难度不大．
14．〔3分〕〔2022•乐山〕如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，∠ADE=40°，那么∠DBC=　15　°．
考点：
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
分析：
根据线段垂直平分线求出AD=BD，推出∠A=∠ABD=50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠ABC，即可得出答案．
解答：
解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，∠AED=90°，
∴∠A=∠ABD，
∵∠ADE=40°，
∴∠A=90°﹣40°=50°，
∴∠ABD=∠A=50°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=〔180°﹣∠A〕=65°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣50°=15°，
故答案为：15．
点评：
此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理的应用，能正确运用定理求出各个角的度数是解此题的关键，难度适中．
15．〔3分〕〔2022•乐山〕如图，A〔2，2〕、B〔2，1〕，将△AOB绕着点O逆时针旋转，使点A旋转到点A′〔﹣2，2〕的位置，那么图中阴影局部的面积为π　．
考点：
扇形面积的计算；坐标与图形变化-旋转．菁优网版权所有
分析：
由A〔2，2〕使点A旋转到点A′〔﹣2，2〕的位置易得旋转90°，根据旋转的性质可得，阴影局部的面积等于S扇形A'OA﹣S扇形C'OC，从而根据A，B点坐标知OA=4，OC=OB=，可得出阴影局部的面积．
解答：
解：∵A〔2，2〕、B〔2，1〕，
∴OA=4，OB=，
∵由A〔2，2〕使点A旋转到点A′〔﹣2，2〕，
∴∠A′OA=∠B′OB=90°，
根据旋转的性质可得，S=SOBC，
∴阴影局部的面积等于S扇形A'OA﹣S扇形C'OC=π×42﹣π×〔〕2=，
故答案为：π．

点评：
此题主要考查了扇形的面积计算及旋转的性质，解答此题的关键是根据旋转的性质得出SOB′C′=SOBC，从而得到阴影局部的表达式．
16．〔3分〕〔2022•乐山〕在直角坐标系xOy中，对于点P〔x，y〕和Q〔x，y′〕，给出如下定义：假设y′=，那么称点Q为点P的“可控变点〞．
例如：点〔1，2〕的“可控变点〞为点〔1，2〕，点〔﹣1，3〕的“可控变点〞为点〔﹣1，﹣3〕．
〔1〕假设点〔﹣1，﹣2〕是一次函数y=x+3图象上点M的“可控变点〞，那么点M的坐标为　〔﹣1，2〕　．
〔2〕假设点P在函数y=﹣x2+16〔﹣5≤x≤a〕的图象上，其“可控变点〞Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，那么实数a的取值范围是　0≤a≤4．
考点：
二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
专题：
新定义．
分析：
〔1〕直接根据“可控变点〞的定义直接得出答案；
〔2〕根据题意可知y=﹣x2+16图象上的点P的“可控变点〞必在函数y=的图象上，结合图象即可得到答案．
解答：
解：〔1〕根据“可控变点〞的定义可知点M的坐标为〔﹣1，2〕；
〔2〕依题意，y=﹣x2+16图象上的点P的“可控变点〞必在函数y=的图象上．
∵﹣16≤y′≤16，
当y′=16时，16=﹣x2+16或﹣16=﹣x2+16．
∴x=0或x=4．
当y′=﹣16时，﹣16=﹣x2+16．
∴x=4．
∴a的取值范围是0≤a≤4．
故答案为〔﹣1，2〕，0≤a≤4．
点评：
此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解答此题的关键是熟练掌握新定义“可控变点〞，解答此题还需要掌握二次函数的性质，此题有一定的难度．
三、本大题共3小题，每题9分，共27分.
17．〔9分〕〔2022•乐山〕计算：|﹣|+﹣4cos45°+〔﹣1〕2022．
考点：
实数的运算；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项化为最简二次根式，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果．
解答：
解：原式=+2﹣4×﹣1=﹣．
点评：
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
18．〔9分〕〔2022•乐山〕求不等式组的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来．
考点：
解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
分析：
先解每个不等式，两个不等式解集的公共局部就是不等式组的解集，然后再数轴上表示出来即可．
解答：
解：
解不等式①得：x＜3；
解不等式②得：x≥﹣1．
那么不等式组的解集是：﹣1≤x＜3．

点评：
此题考查了一元一次不等式〔组〕，在数轴上表示不等式组的解集的应用，关键是求出不等式组的解集．
19．〔9分〕〔2022•乐山〕化简求值：÷〔﹣a〕，其中a=﹣2．
考点：
分式的化简求值．菁优网版权所有
分析：
先根据分式混合运算的法那么把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
解答：
解：原式=÷
=•
=，
当a=﹣2时，原式==．
点评：
此题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法那么是解答此题的关键．
四、本大题共3小题，每题10分，共30分．
20．〔10分〕〔2022•乐山〕如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．
〔1〕求证：△DCE≌△BFE；
〔2〕假设CD=2，∠ADB=30°，求BE的长．
考点：
翻折变换〔折叠问题〕；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
分析：
〔1〕由AD∥BC，知∠ADB=∠DBC，根据折叠的性质∠ADB=∠BDF，所以∠DBC=∠BDF，得BE=DE，即可用AAS证△DCE≌△BFE；
〔2〕在Rt△BCD中，CD=2，∠ADB=∠DBC=30°，知BC=2，在Rt△BCD中，CD=2，∠EDC=30°，知CE=，所以BE=BC﹣EC=．
解答：
解：〔1〕∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
根据折叠的性质∠ADB=∠BDF，∠F=∠A=∠C=90°，
∴∠DBC=∠BDF，
∴BE=DE，
在△DCE和△BFE中，
，
∴△DCE≌△BFE；

〔2〕在Rt△BCD中，
∵CD=2，∠ADB=∠DBC=30°，
∴BC=2，
在Rt△BCD中，
∵CD=2，∠EDC=30°，
∴DE=2EC，
∴〔2EC〕2﹣EC2=CD2，
∴CE=，
∴BE=BC﹣EC=．

点评：
此题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、等角对等边、平行线的性质以及勾股定理的综合运用，熟练的运用折叠的性质是解决此题的关键．
21．〔10分〕〔2022•乐山〕某班开展平安知识竞赛活动，班长将所有同学的成绩分成四类，并制作了如下的统计图表：
类别
成绩
频数
甲
60≤m＜70
4
乙
70≤m＜80
a
丙
80≤m＜90
10
丁
90≤m≤100
5
根据图表信息，答复以下问题：
〔1〕该班共有学生　40　人；表中a=　20　；
〔2〕将丁类的五名学生分别记为A、B、C、D、E，现从中随机挑选两名学生参加学校的决赛，请借助树状图、列表或其他方式求B一定能参加决赛的概率．
考点：
列表法与树状图法；频数〔率〕分布表；扇形统计图．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
〔1〕根据丙的人数除以占的百分比求出学生总数，进而求出a的值即可；
〔2〕列表得出所有等可能的情况数，找出B一定参加的情况数，即可求出所求的概率．
解答：
解：〔1〕根据题意得：10÷25%=40〔人〕，a=40﹣5﹣10﹣5=20；
故答案为：40；20；

〔2〕列表如下：

A
B
C
D
E
A
﹣﹣﹣
〔B，A〕
〔C，A〕
〔D，A〕
〔E，A〕
B
〔A，B〕
﹣﹣﹣
〔C，B〕
〔D，B〕
〔E，B〕
C
〔A，C〕
〔B，C〕
﹣﹣﹣
〔D，C〕
〔E，C〕
D
〔A，D〕
〔B，D〕
〔C，D〕
﹣﹣﹣
〔E，D〕
E
〔A，E〕
〔B，E〕
〔C，E〕
〔D，E〕
﹣﹣﹣
所有等可能的情况有20种，其中B一定参加的情况有8种，
那么P〔B一定参加〕==．
点评：
此题考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．〔10分〕〔2022•乐山〕“六一〞期间，小张购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如下表：
型号
进价〔元/只〕
售价〔元/只〕
A型
10
12
B型
15
23
〔1〕小张如何进货，使进货款恰好为1300元
〔2〕要使销售文具所获利润最大，且所获利润不超过进货价格的40%，请你帮小张设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．
考点：
一次函数的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
分析：
〔1〕设A文具为x只，那么B文具为〔100﹣x〕只，根据题意列出方程解答即可；
〔2〕设A文具为x只，那么B文具为〔100﹣x〕只，根据题意列出函数解答即可．
解答：
解：〔1〕设A文具为x只，那么B文具为〔100﹣x〕只，可得：
10x+15〔100﹣x〕=1300，
解得：x=40．
答：A文具为40只，那么B文具为100﹣40=60只；

〔2〕设A文具为x只，那么B文具为〔100﹣x〕只，可得
〔12﹣10〕x+〔23﹣15〕〔100﹣x〕≤40%[10x+15〔100﹣x〕]，
解得：x≥50，
设利润为y，那么可得：y=〔12﹣10〕x+〔23﹣15〕〔100﹣x〕=2x+800﹣8x=﹣6x+800，
因为是减函数，所以当x=50时，利润最大，即最大利润=﹣50×6+800=500元．
点评：
此题考查一次函数的应用，关键是根据题意列出方程和不等式，根据函数是减函数进行解答．
五、本大题共2小题，每题10分，共20分.
23．〔10分〕〔2022•乐山〕如图1，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=．
〔1〕求CD边的长；
〔2〕如图2，将直线CD边沿箭头方向平移，交DA于点P，交CB于点Q〔点Q运动到点B停止〕．设DP=x，四边形PQCD的面积为y，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．
考点：
相似三角形的判定与性质；函数关系式；平移的性质；解直角三角形．菁优网版权所有
分析：
〔1〕分别延长AD、BC相交于E，在Rt△ABE中，由tanA=，AB=3，BC=2，得到BE=4，EC=2，AE=5，通过等角的余角相等得到∠A=∠ECD，由tanA=，得cosA=，于是得到cos∠ECD==，即问题可得；
〔2〕由〔1〕可知tan∠ECD=，得到ED=，如图4，由PQ∥DC，可知△EDC～EPQ，得到比例式，求得PQ=，由S四边形PQCD=S△EPQ﹣S△EDC，于是得到y=PQ•EP﹣DC•ED=﹣=，于是当Q点到达B点时，点P在M点处，由EC=BC，DC∥PQ，得到DM=ED=，于是结论可得．
解答：
解：〔1〕如图〔3〕，分别延长AD、BC相交于E，
在Rt△ABE中，
∵tanA=，AB=3，BC=2，
∴BE=4，EC=2，AE=5，
又∵∠E+∠A=90°，∠E+∠ECD=90°，
∴∠A=∠ECD，
由tanA=，得cosA=，
∴cos∠ECD==，
∴CD=；

〔2〕如图4，由〔1〕可知tan∠ECD=，
∴ED=，
如图4，由PQ∥DC，可知△EDC～EPQ，
∴，
∴，即PQ=，
∵S四边形PQCD=S△EPQ﹣S△EDC，
∴y=PQ•EP﹣DC•ED=﹣=，
∴当Q点到达B点时，点P在M点处，
由EC=BC，DC∥PQ，
∴DM=ED=，
∴自变量x的取值方范围为：0＜x≤．

点评：
此题考查了相似三角形的判定和性质，平移的性质，求函数的解析式，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．〔10分〕〔2022•乐山〕如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连结BC．假设△ABC的面积为2．
〔1〕求k的值；
〔2〕x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形假设存在，求出点D的坐标；假设不存在，请说明理由．
考点：
反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
分析：
〔1〕首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，那么O为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于1，然后由反比例函数y=的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于|k|，从而求出k的值；
〔2〕先将y=2x与y=联立成方程组，求出A、B两点的坐标，然后分三种情况讨论：①当AD⊥AB时，求出直线AD的关系式，令y=0，即可确定D点的坐标；②当BD⊥AB时，求出直线BD的关系式，令y=0，即可确定D点的坐标；③当AD⊥BD时，由O为线段AB的中点，可得OD=AB=OA，然后利用勾股定理求出OA的值，即可求出D点的坐标．
解答：
解：〔1〕∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，
∴A、B两点关于原点对称，
∴OA=OB，
∴△BOC的面积=△AOC的面积=2÷2=1，
又∵A是反比例函数y=图象上的点，且AC⊥x轴于点C，
∴△AOC的面积=|k|，
∴|k|=1，
∵k＞0，
∴k=2．
故这个反比例函数的解析式为y=；

〔2〕x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形．
将y=2x与y=联立成方程组得：
，
解得：，，
∴A〔1，2〕，B〔﹣1，﹣2〕，
①当AD⊥AB时，如图1，

设直线AD的关系式为y=﹣x+b，
将A〔1，2〕代入上式得：b=，
∴直线AD的关系式为y=﹣x+，
令y=0得：x=5，
∴D〔5，0〕；
②当BD⊥AB时，如图2，

设直线BD的关系式为y=﹣x+b，
将B〔﹣1，﹣2〕代入上式得：b=﹣，
∴直线AD的关系式为y=﹣x﹣，
令y=0得：x=﹣5，
∴D〔﹣5，0〕；
③当AD⊥BD时，如图3，

∵O为线段AB的中点，
∴OD=AB=OA，
∵A〔1，2〕，
∴OC=1，AC=2，
由勾股定理得：OA==，
∴OD=，
∴D〔，0〕．
根据对称性，当D为直角顶点，且D在x轴负半轴时，D〔﹣，0〕．
故x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形，点D的坐标为〔5，0〕或〔﹣5，0〕或〔，0〕或〔﹣，0．
点评：
此题主要考查函数图象的交点及待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．另外第2问要分3种情况讨论．
六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分.
25．〔12分〕〔2022•乐山〕Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O于点E．
〔1〕图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长请说明理由；
〔2〕如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．
①假设CF=CD时，求sin∠CAB的值；
②假设CF=aCD〔a＞0〕时，试猜想sin∠CAB的值．〔用含a的代数式表示，直接写出结果〕
考点：
圆的综合题．菁优网版权所有
专题：
探究型；存在型．
分析：
〔1〕连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；
〔2〕连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得AE2=AD•AF．①当CF=CD时，可得AE2=3CD2，从而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED==，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD〔a＞0〕时，同①即可解决问题．
解答：
解：〔1〕AE=CE．
理由：连接AE、DE，如图1，
∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，
∴∠ADE=∠ABE=90°．
∵AD=DC，
∴AE=CE；

〔2〕连接AE、ED，如图2，
∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径．
∵EF是⊙OO