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2.7 函数的图象
考点一 函数图象的识别与辨析
1.已知y=f(x)与y=g(x)的图象如图,则函数h(x)=f(x)g(x)的图象可以是 ( )
2.(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)=在[-π,π]的图象大致为 ( )
3.(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)=的图象大致为 ( )
4.函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可以是
( )
A.f(x)=x+sin x
B.f(x)=
C.f(x)=x
D.f(x)=xcos x
【解析】1.选A.根据f(x)和g(x)的图象,可得g(x)在x=0处无意义,所以函数h(x)=f(x)g(x)在x=0处无意义;因为f(x)与g(x)都为奇函数,所以函数h(x)=f(x)g(x)是偶函数,故排除D;当x取很小的正数时,f(x)<0,g(x)>0,所以f(x)g(x)<0,所以B、C错误,故A符合要求.
2.选D.由f(-x)===-f(x),得f(x)是奇函数,其图象关于原点对称.
又f==>1,f(π)=>0.故选D.
3.选B.因为x≠0,f(-x)==-f(x),
所以f(x)为奇函数,舍去选项A,
因为f(1)=e-e-1>0,所以舍去选项D;
因为f'(x)=
=,
所以x>2,f'(x)>0,
所以舍去选项C.
4.选D.函数为奇函数,排除C;函数f(x)=x+sin x只有一个零点,排除A;B选项中x≠0,所以B不正确.
辨析函数图象的入手点
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.
(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.
(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.
(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复.
(5)从函数的特征点,排除不合要求的图象.
考点二 作函数的图象
【典例】分别作出下列函数的图象:
(1)y=|lg x|.
(2)y=2x+2.
(3)y=x2-2|x|-1.
【解题导思】
序号
联想解题
(1)由y=|lg x|,想到y=lg x的图象
(2)由y=2x+2,想到y=2x的图象以及图象的平移变换
(3)由y=x2-2|x|-1,想到二次函数的图象以及偶函数图象的特点
【解析】(1)y=图象如图①所示.
(2)将y=2x的图象向左平移2个单位.图象如图②所示.
(3)y=图象如图③所示.
作函数图象的两种常用方法
(1)直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时,就可根据这些函数的特征直接作出.
(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序.
1.作出下列各函数的图象:
(1)y=x-|x-1|. (2)y=.
(3)y=|log2x-1|.
【解析】(1)根据绝对值的意义,可将函数式化为分段函数y=可见其图象是由两条射线组成,如图(1)所示.
(2)作出y=的图象,保留y=的图象中x≥0的部分,加上y=的图象中x>0部分关于y轴的对称部分,即得y=的图象,如图(2)实线部分.
(3)先作出y=log2x的图象,再将其图象向下平移一个单位,保留x轴上方的部分,将x轴下方的图象翻折到x轴上方,即得y=|log2x-1|的图象,如图(3)所示.
2.为了得到函数f(x)=log2x的图象,只需将函数g(x)=log2的图象________.
【解析】g(x)=log2=log2x-3=f(x)-3,因此只需将函数g(x)的图象向上平移3个单位即可得到函数f(x)=log2x的图象.
答案:向上平移3个单位
考点三 函数图象的应用
命
题
精
解
读
考什么:(1)作函数图象、识别函数图象、由图象求解析式、解方程、解不等式、求参数值等问题.
(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养.
怎么考:多以选择、填空题的形式考查,考查学生的数学素养、数形结合思想、灵活运用知识的能力以及分析问题解决问题的能力.
新趋势:以函数图象与性质为载体,图象与性质、数与形、求参数值或范围交汇考查.
学
霸
好
方
法
1.利用函数的图象研究函数的性质的四种对应关系
(1)图象的左右范围对应定义域.
(2)上下范围对应值域.
(3)上升、下降趋势对应单调性.
(4)对称性对应奇偶性
2.利用函数的图象确定方程的根或不等式的解集的方法:
(1)方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标;
(2)不等式f(x)<g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合.
利用图象研究函数的性质
【典例】已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是 ( )
A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞)
B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1)
C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1)
D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0)
【解析】选C.将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值得f(x)=画出函数f(x)的大致图象,如图,观察图象可知,函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.
利用函数图象哪些特征研究函数的性质?
提示:图象的左右、上下范围,自左向右的变化趋势以及图象的对称性.
利用图象解不等式
【典例】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2-x.若f(a)<4+f(-a),则实数a的取值范围是________.
【解析】因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
所以f(a)<4+f(-a)可转化为f(a)<2,
作出f(x)的图象,如图:
由图易知:a<2.
答案:(-∞,2)
利用图象解不等式的适用条件是什么?
提示:不等式两端对应函数的图象都能画出来,且其交点坐标也能求出来.
利用图象确定方程解的个数
【典例】关于x的方程exln x=1的实根个数是________.
【解析】由exln x=1(x>0)得ln x=(x>0),即ln x=(x>0).令y1=ln x(x>0),
y2=(x>0),在同一直角坐标系内画出函数y1,y2的图象,图象如图所示.根据图象可知两函数只有一个交点,所以原方程实根的个数为1.
答案:1
方程f(x)=g(x)的解的个数与函数y=f(x),y=g(x)的图象有何关系?
提示:函数y=f(x)与y=g(x)图象交点的个数就是方程f(x)=g(x)的解的个数.
1.(2020·大连模拟)下列函数f(x)的图象中,满足f>f(3)>f(2)的只可能是
( )
【解析】选D.因为f>f(3)>f(2),所以函数f(x)有增有减,排除A,B.在C中,f<f(0)=1,f(3)>f(0),即f<f(3),排除C.
2.已知函数f(x)=关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,则实数a的取值范围是________.
【解析】问题等价于函数y=f(x)与y=-x+a的图象有且只有一个交点,如图,结合函数图象可知a>1.
答案:(1,+∞)
3.设函数f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围是________.
【解析】如图作出函数f(x)=|x+a|与g(x)=x-1的图象,观察图象可知:当且仅当-a≤1,即a≥-1时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,因此a的取值范围是[-1,+∞).
答案:[-1,+∞)
1.已知函数y=的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是________.
【解析】函数y=的定义域为{x|x≠1},所以当x>1时,y=x+1,当-1<x<1时,y=-x-1,当x≤-1时,y=x+1,图象如图所示,
由图象可知当0<k<2且k≠1时两函数的图象恰有两个交点,所以实数k的取值范围为(0,1)∪(1,2).
答案:(0,1)∪(1,2)
2.对于任意实数a,b,定义min{a,b}=设函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是________.
【解析】因为x>0,所以f(x)=-x+3<3,g(x)=log2x∈R,分别作出函数f(x)=-x+3和g(x)=log2x的图象,结合函数f(x)=-x+3和g(x)=log2x的图象可知,h(x)=min{f(x),g(x)}的图象,在这两个函数的交点处h(x)取得最大值.
解方程组得
所以函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是1.
答案:1
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