资源描述
2.1 函数及其表示
考点一 函数的定义域
1.函数y=的定义域是 ( )
A.(-1,3) B.(-1,3]
C.(-1,0)∪(0,3) D.(-1,0)∪(0,3]
2.假设函数y=f(x)的定义域是[0,2 020],那么函数g(x)=f(x+1)(x≠1)的定义域是
( )
A.[-1,2 019] B.[-1,1)∪(1,2 019]
C.[0,2 020] D.[-1,1)∪(1,2 020]
3.(2023·抚州模拟)假设函数f(x)的定义域为[0,6],那么函数的定义域为
( )
A.(0,3) B.[1,3)∪(3,8]
C.[1,3) D.[0,3)
4.函数f(x)=lg+(4-x)0的定义域为____________.
【解析】1.选D.由题意得
解得-1<x≤3且x≠0,所以函数的定义域为(-1,0)∪(0,3].
2.选B.由0≤x+1≤2 020,得-1≤x≤2 019,又因为x≠1,所以函数g(x)的定义域是[-1,1)∪(1,2 019].
3.选D.因为函数f(x)的定义域为[0,6],所以0≤2x≤6,解得0≤x≤3.
又因为x-3≠0,
所以函数的定义域为[0,3).
4.由得
解得x>2且x≠3且x≠4,
所以函数的定义域为(2,3)∪(3,4)∪(4,+∞).
答案:(2,3)∪(3,4)∪(4,+∞)
题2中,假设将“函数y=f(x)的定义域是[0,2 020]〞改为“函数y=f(x-1)的定义域是[0,2 020]〞,那么函数g(x)=f(x+1)(x≠1)的定义域为__________.
【解析】由0≤x≤2 020,得-1≤x-1≤2 019,再由-1≤x+1≤2 019,解得-2≤x≤2 018,
又因为x≠1,
所以函数g(x)的定义域是[-2,1)∪(1,2 018].
答案:[-2,1)∪(1,2 018]
1.具体函数y=f(x)的定义域
序号
f(x)解析式
定义域
1
整式
R
2
分式
分母≠0
3
偶次根式
被开方数≥0
4
奇次根式
被开方数∈R
5
指数式
幂指数∈R
6
对数式
真数>0;底数>0且≠1
7
y=x0
底数x≠0
2.抽象函数(没有解析式的函数)的定义域
解题方法:精髓是“换元法〞,即将括号内看作整体,关键是看求x,还是求整体的取值范围.
(1)y=f(x)的定义域是A,求y=f(g(x))的定义域:可由g(x)∈A,求出x的范围,即为y=f(g(x))的定义域.
(2)y=f(g(x))的定义域是A,求y=f(x)的定义域:可由x∈A求出g(x)的范围,即为y=f(x)的定义域.
【秒杀绝招】
排除法解T1,可依据选项的特点,将0,3代入验证.
考点二 求函数解析式
【典例】1.f=ln x,那么f(x)=________.
2.f=x2+x-2,那么f(x)=________.
3.f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,那么f(x)=________.
4.函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f·-1,那么f(x)=________.
【解题导思】
序号
联想解题
1
由f,想到换元法
2
由f,想到配凑法
3
由f(x)是二次函数,想到待定系数法
4
由f,想到消去(也称解方程组)法
【解析】1.设t=+1(t>1),那么x=,
代入f=ln x得f(t)=ln,
所以f(x)=ln (x>1).
答案:ln(x>1)
2.因为f=x2+x-2=-2,
又因为x+≤-2或x+≥2,
所以f(x)=x2-2(x≤-2或x≥2).
答案:x2-2(x≤-2或x≥2)
3.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由f(0)=2,得c=2,
f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+2-ax2-bx-2=x-1,即2ax+a+b=x-1,
所以即
所以f(x)=x2-x+2.
答案:x2-x+2
4.在f(x)=2f·-1中,将x换成,那么换成x,
得f=2f(x)·-1,
由解得f(x)=+.
答案:+
函数解析式的求法
(1)待定系数法:假设函数的类型,可用待定系数法.
(2)换元法:复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.
(3)配凑法:由条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.
(4)消去(方程组)法:f(x)与f或f(-x)之间的关系式,可根据条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).
1.f(+1)=x+2,那么f(x)=________.
【解析】令+1=t(t≥1),那么x=(t-1)2,代入原式得f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,
所以f(x)=x2-1(x≥1).
答案:x2-1(x≥1)
2.f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,那么f(x)=________.
【解析】设f(x)=ax+b(a≠0),
那么3f(x+1)-2f(x-1)=ax+5a+b,
所以ax+5a+b=2x+17对任意实数x都成立,
所以解得
所以f(x)=2x+7.
答案:2x+7
考点三 分段函数及其应用
命
题
精
解
读
考什么:(1)考查求函数值、解方程、解不等式等问题.(2)考查数学运算、数学抽象、直观想象等核心素养.
怎么考:根本初等函数、函数的单调性、不等式交汇考查函数的概念、图象等知识.
新趋势:以根本初等函数为载体,与其他知识交汇考查为主.
学
霸
好
方
法
1.求值问题的解题思路
(1)求函数值:当出现f(f(x))的形式时,应从内到外依次求值.
(2)求自变量的值:依据题设条件,在各段上得出关于自变量的方程,然后求出相应自变量的值.
2.交汇问题:与方程、不等式交汇时,要依据“分段问题,分段解决〞进行讨论,最后将结果并起来.
分段函数的求值问题
【典例】f(x)=那么f+f的值为 ( )
A. B.- C.-1 D.1
【解析】选D.f+f=f+1+f=cos+1+cos=1.
如何求分段函数的函数值?
提示:分段函数求函数值时,要根据自变量选取函数解析式,然后再代入.
分段函数与方程问题
【典例】函数f(x)=且f(a)=-3,那么f(6-a)=
( )
A.- B.-
C.- D.-
【解析】选A.当a≤1时不符合题意,所以a>1,
即-log2(a+1)=-3,
解得a=7,
所以f(6-a)=f(-1)=2-2-2=-.
求分段函数含有参数的函数值,如何列方程?
提示:列方程时,假设自变量的范围确定时,那么直接代入;假设不确定,那么需要分类讨论.
分段函数与不等式问题
【典例】设函数f(x)=那么满足f(x)+f>1的x的取值范围是________.
【解析】令g(x)=f(x)+f,
当x≤0时,g(x)=f(x)+f=2x+;
当0<x≤时,g(x)=f(x)+f=2x+x+;
当x>时,g(x)=f(x)+f=2x-1,
写成分段函数的形式:g(x)=f(x)+f=
函数g(x)在区间(-∞,0],,三段区间内均连续单调递增,且g=1,20+0+>1,(+2)×20-1>1,
可知x的取值范围是.
答案:
如何求解由分段函数构成的不等式?
提示:求解分段函数构成的不等式,关键是确定自变量在分段函数的哪一段,用对解析式.
1.设函数f(x)=那么f(-2)+f(log212)= ( )
A.3 B.6 C.9 D.12
【解析】选C.因为函数f(x)=
所以f(-2)=1+log2(2+2)=1+2=3,
f(log212)==×=12×=6,那么有f(-2)+f(log212)=3+6=9.
2.函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).假设f(g(1))=1,那么a= ( )
A.1 B.2 C.3 D.-1
【解析】选A.因为g(x)=ax2-x,所以g(1)=a-1.
因为f(x)=5|x|,所以f(g(1))=f(a-1)=5|a-1|=1,
所以|a-1|=0,所以a=1.
1.函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),如果f(x+2 020)=那么f·f= ( )
A.2 020 B. C.4 D.
【解析】选C.当x≥0时,有f=sin x,
所以f=sin =1,
当x<0时,f=lg(-x),
所以f(-7 980)=f(-10 000+2 020)=lg10 000=4,
f·f=1×4=4.
2.在一个展现人脑智力的综艺节目中,一位参加节目的少年能将圆周率π准确地记忆到小数点后面200位,更神奇的是,当主持人说出小数点后面的位数时,这位少年都能准确地说出该数位上的数字.如果记圆周率π小数点后第n位上的数字为y.那么你认为y是n的函数吗?如果是,请写出函数的定义域、值域与对应关系.如果不是,请说明理由.
【解析】y是n的函数.理由如下:n任取一个数字,就有0到9之间的一个数字与之对应,符合函数的定义,所以函数的定义域是{1,2,3,4,…,n}(其中n是圆周率小数点后面的位数);值域是{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};对应关系是y与π的小数点后第n位上的数字对应.
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