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考点规范练53 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
考点规范练A册第39页
基础巩固组
1.已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点,则这13个点可以确定不同的平面个数为( )
A.40 B.16 C.13 D.10
答案:C
解析:分两类情况讨论:第1类,直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面;第2类,直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理知,共可以确定8+5=13个不同的平面.
2.有a,b,c,d,e共5个人,从中选1名组长和1名副组长,但a不能当副组长,不同选法的种数是( )
A.20 B.16 C.10 D.6
答案:B
解析:当a当组长时,则共有1×4=4种选法;当a不当组长时,又因为a也不能当副组长,则共有4×3=12种选法.因此共有4+12=16种选法.
3.教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,由一层到五层的走法有( )
A.10种 B.25种 C.52种 D.24种
答案:D
解析:共分4步:一层到二层2种,二层到三层2种,三层到四层2种,四层到五层2种,一共有24种.
4.将3张不同的电影票分给10名同学中的3人,每人1张,则不同分法的种数是( )
A.2 160 B.720 C.240 D.120
答案:B
解析:分步来完成此事.第1张电影票有10种分法;第2张电影票有9种分法;第3张电影票有8种分法,共有10×9×8=720种分法.
5.
(2015广东汕头模拟)如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D四块区域涂色分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同涂法的种数为( )
A.400 B.460
C.480 D.496
答案:C
解析:从A开始,有6种方法,B有5种,C有4种,D,A若同色有1种,D,A若不同色有3种,则有6×5×4×(1+3)=480种不同涂法.
6.(2015银川模拟)已知集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1,2,3,…,9},且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是( )
A.9 B.14 C.15 D.21〚导学号92950566〛
答案:B
解析:∵P={x,1},Q={y,1,2},且P⊆Q,
∴x∈{y,1,2}.
∴当x=2时,y=3,4,5,6,7,8,9,共有7种情况;
当x=y时,x=3,4,5,6,7,8,9,共有7种情况.
故共有7+7=14种情况,即这样的点的个数为14.
7.高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践,但去何工厂可自由选择,甲工厂必须有班级要去,则不同的分配方案有( )
A.16种 B.18种 C.37种 D.48种
答案:C
解析:三个班去四个工厂不同的分配方案共43种,甲工厂没有班级去的分配方案共33种,因此满足条件的不同的分配方案共有43-33=37(种).
8.在平面直角坐标系内,点P(a,b)的坐标满足a≠b,且a,b都是集合{1,2,3,4,5,6}中的元素.又点P到原点的距离|OP|≥5,则这样的点P的个数为 .
答案:20
解析:依题意可知:
当a=1时,b=5,6,两种情况;
当a=2时,b=5,6,两种情况;
当a=3时,b=4,5,6,三种情况;
当a=4时,b=3,5,6,三种情况;
当a=5或6时,b各有五种情况.
所以共有2+2+3+3+5+5=20种情况.
9.(2015河北邯郸二模)我们把中间位数上的数字最大,而两边依次减小的多位数称为“凸数”.如132,341等,那么由1,2,3,4,5可以组成无重复数字的三位凸数的个数是 .〚导学号92950567〛
答案:20
解析:根据“凸数”的特点,中间的数字只能是3,4,5,故分三类,
第一类,当中间数字为“3”时,此时有2种(132,231);
第二类,当中间数字为“4”时,从1,2,3中任取两个放在4的两边,故有=6种;
第三类,当中间数字为“5”时,从1,2,3,4中任取两个放在5的两边,故有=12种;
根据分类计数原理,得到由1,2,3,4,5可以组成无重复数字的三位凸数的个数是2+6+12=20种.
10.已知集合N={a,b,c}⊆{-5,-4,-2,1,4},若关于x的不等式ax2+bx+c<0恒有实数解,则满足条件的集合N的个数是 .
答案:8
解析:依题意知,集合N最多有10个,其中对于不等式ax2+bx+c<0没有实数解的情况可转化为需要满足a>0,且Δ=b2-4ac≤0,因此只有当a,c同号时才有可能,共有2种情况,因此满足条件的集合N的个数是10-2=8.
11.三边长均为正整数,且最大边长为11的三角形的个数是 .
答案:36
解析:另两边长用x,y(x,y∈N+)表示,且不妨设1≤x≤y≤11,要构成三角形,必须x+y≥12.当y取11时,x可取1,2,3,…,11,有11个三角形;当y取10时,x可取2,3,…,10,有9个三角形;…;当y取6时,x只能取6,只有1个三角形.
所以所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36.
12.
如图所示的几何体是由一个正三棱锥P-ABC与正三棱柱ABC-A1B1C1组合而成,现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的染色方案共有 种.
答案:12
解析:先涂三棱锥P-ABC的三个侧面,然后涂三棱柱的三个侧面,共有=3×2×1×2=12种不同的涂法.
能力提升组
13.(2015陕西商洛一模)某体育彩票规定:从01至36共36个号中抽出7个号为一注,每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号,从11至20中选2个连续的号,从21至30中选1个号,从31至36中选1个号组成一注,则这人把这种特殊要求的号买全,至少要花( )
A.3 360元 B.6 720元
C.4 320元 D.8 640元
答案:D
解析:从01至10中选3个连续的号共有8种选法;从11至20中选2个连续的号共有9种选法;从21至30中选1个号有10种选法;从31至36中选一个号有6种选法,由分步乘法计数原理知共有8×9×10×6=4 320(种)选法,故至少需花4 320×2=8 640(元).
14.如图所示,一个地区分为5个行政区域,现给该地区的地图涂色,要求相邻区域不得使用同一种颜色,现有4种颜色可供选择,则涂色方法共有的种数为( )
A.72 B.46 C.60 D.78〚导学号92950568〛
答案:A
解析:因为区域1与其他4个区域都相邻,首先考虑区域1,有4种涂法,然后再按区域2,4同色和不同色,分为两类:
第1类,区域2,4同色,有3种涂法,此时区域3,5均有2种涂法,共有4×3×2×2=48种涂法;
第2类,区域2,4不同色,先涂区域2,有3种涂法,再涂区域4,有2种涂法,此时区域3,5都只有1种涂法,共有4×3×2×1×1=24种涂法.
根据分类加法计数原理,共有48+24=72种满足条件的涂色方法.
15.(2015河北保定调研)已知集合M={1,2,3,4},集合A,B为集合M的非空子集,若对任意x∈A,y∈B,x<y恒成立,则称(A,B)为集合M的一个“子集对”,则集合M的“子集对”共有 个.〚导学号92950569〛
答案:17
解析:A={1}时,B有23-1=7种情况;
A={2}时,B有22-1=3种情况;
A={3}时,B有1种情况;
A={1,2}时,B有22-1=3种情况;
A={1,3},{2,3},{1,2,3}时,B均有1种情况,
故满足题意的“子集对”共有7+3+1+3+3=17个.
16.(2015辽宁大连二十四中高考模拟)某工程队有5项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后立即进行,那么安排这5项工程的不同排法种数是 .(用数字作答)
答案:12
解析:安排甲工程放在第一位置时,乙丙与剩下的两个工程共有种方法,
同理甲在第二位置共有2×2种方法,甲在第三位置时,共有2种方法.
由加法原理可得:+4+2=12种.
17.(2015湖南十二校联考)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2,…,9的9个小正方形(如图),使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同,且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有 种.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
〚导学号92950570〛
答案:108
解析:把区域分为三部分,第一部分1,5,9,有3种涂法.第二部分4,7,8,当5,7同色时,4,8各有2种涂法,共4种涂法;当5,7异色时,7有2种涂法,4,8均只有1种涂法,故第二部分共4+2=6种涂法.第三部分与第二部分一样,共6种涂法.由分步乘法计数原理,可得共有3×6×6=108种涂法.
18.一个旅游景区的游览线路如图所示,某人从P点处进,Q点处出,沿图中线路游览A,B,C三个景点及沿途风景,则不重复(除交汇点O外)的不同游览线路有 种.
〚导学号92950571〛
答案:48
解析:从P点处进入结点O以后,游览每一个景点所走环形路线都有2个入口(或2个出口),若先游览完A景点,再进入另外两个景点,最后从Q点处出有(4+4)×2=16种不同的方法;同理,若先游览B景点,有16种不同的方法;若先游览C景点,有16种不同的方法.因而所求的不同游览线路有3×16=48种.
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