资源描述
第三章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.方程x2+(x2+y2-1)2=0所确定的曲线是( )
A.y轴或圆 B.两点(0,1)与(0,-1)
C.y轴或直线y=±1 D.以上都不正确
答案:B
2.如图,已知圆O的方程为x2+y2=100,点A(-6,0),M为圆O上任一点,AM的垂直平分线交OM于点P,则点P的轨迹是( )
A.圆 B.抛物线
C.椭圆 D.两条直线
解析:∵P为AM垂直平分线上的点,
∴|PM|=|PA|.
又∵|OP|+|PM|=10,
∴|PA|+|PO|=10>6=|AO|.
故P点的轨迹是以A,O为焦点,长轴长为10的椭圆.
答案:C
3.双曲线x2m-y2n=1(mn≠0)的离心率为2,有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则mn的值为( )
A.316 B.38 C.163 D.83
解析:抛物线y2=4x的焦点为(1,0),
∴双曲线x2m-y2n=1的焦点在x轴上.
m>0,n>0,a=m,b=n,
∴c=m+n=1,∴e=m+nm=2,
∴m=14,n=34,∴mn=316.
答案:A
4.若抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为10,则P点坐标为( )
A.(9,6) B.(9,±6)
C.(6,9) D.(6,±9)
解析:抛物线的焦点坐标为(1,0),准线为x=-1.
∵P到F的距离为10,设P为(x,y),
∴x+1=10,∴x=9.又P在抛物线上,
∴y2=36,y=±6,∴P点坐标为(9,±6).
答案:B
5.以双曲线x24-y212=-1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( )
A.x216+y212=1 B.x212+y216=1
C.x216+y24=1 D.x24+y216=1
解析:椭圆的顶点和焦点分别是x24-y212=-1的焦点和顶点,∴椭圆的长半轴长为4,半焦距为23,且焦点在y轴上,故所求方程为y216+x24=1.
答案:D
6.若点P是以F1,F2为焦点的椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,且PF1·PF2=0,tan∠PF1F2=12,则此椭圆的离心率e=( )
A.53 B.23 C.13 D.12
解析:由PF1·PF2=0得PF1⊥PF2.
则tan∠PF1F2=|PF2||PF1|=12.
设|PF2|=m,则|PF1|=2m,|F1F2|=5m.
所以e=ca=|F1F2||PF1|+|PF2|=53.
答案:A
7.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=kx(k>0),离心率e=5k,则双曲线方程为( )
A.x2a2-y24a2=1 B.x2a2-y25a2=1
C.x24b2-y2b2=1 D.x25b2-y2b2=1
解析:由题意,知k=ba.又e=5k=ca,所以5·ba=ca,即c=5b.易知a2=5b2-b2=4b2.
答案:C
8.抛物线y=x2上到直线2x-y-4=0的距离最近的点的坐标是( )
A.32,54 B.(1,1)
C.32,94 D.(2,4)
解析:设P(x,y)为抛物线y=x2上任意一点,则P到直线2x-y-4=0的距离d=|2x-y-4|5=|x2-2x+4|5=|(x-1)2+3|5=(x-1)2+35,∴当x=1时d最小,此时y=1,故选B.
答案:B
9.已知点M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆C与直线MN相切于点B,过M,N与圆C相切的两直线相交于点P,则点P的轨迹方程为( )
A.x2-y28=1(x>1) B.x2-y28=1(x<-1)
C.x2+y28=1(x>0) D.x2-y210=1(x>1)
解析:设圆与直线PM,PN分别相切于E,F,则|PE|=|PF|,|ME|=|MB|,|NB|=|NF|.
∴|PM|-|PN|=|PE|+|ME|-(|PF|+|NF|)=|MB|-|NB|=4-2=2,∴点P的轨迹是以M(-3,0),N(3,0)为焦点的双曲线的右支,且a=1,c=3,∴b2=8.故双曲线的方程是x2-y28=1(x>1).
答案:A
10.若点P为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点,F1,F2分别是它们的左、右焦点,设椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,若PF1·PF2=0,则1e12+1e22=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:设椭圆的方程为x2a12+y2b12=1(a1>b1>0),双曲线的方程为x2a22-y2b22=1(a2>0,b2>0),它们的半焦距为c,不妨设P为它们在第一象限的交点,因为PF1·PF2=0,故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2.①
由椭圆和双曲线的定义知,|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|-|PF2|=2a2,
解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2,代入①式,得(a1+a2)2+(a1-a2)2=4c2,即a12+a22=2c2,
所以1e12+1e22=a12c2+a22c2=a12+a22c2=2.
答案:B
11.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )
A.334 B.938 C.6332 D.94
解析:由已知得F34,0,故直线AB的方程为y=tan 30°x-34,即y=33x-34.
设A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=33x-34,y2=3x,① ②
将①代入②并整理得13x2-72x+316=0,
∴x1+x2=212,
∴线段|AB|=x1+x2+p=212+32=12.
又原点(0,0)到直线AB的距离为d=3413+1=38,
∴S△OAB=12|AB|d=12×12×38=94.
答案:D
12.导学号90074088在平面直角坐标系中,两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L-距离”定义为||P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|,则平面内与x轴上两个不同的定点F1,F2的“L-距离”之和等于定值(大于||F1F2|)的点的轨迹可以是( )
解析:不妨设F1(-a,0),F2(a,0),其中a>0,点P(x,y)是其轨迹上的点,P到F1,F2的“L-距离”之和等于定值b(大于||F1F2|),
所以|x+a|+|y|+|x-a|+|y|=b,
即|x-a|+|x+a|+2|y|=b.
当x<-a,y≥0时,上式可化为y-x=b2;
当-a≤x≤a,y≥0时,上式可化为y=b2-a;
当x>a,y≥0时,上式可化为x+y=b2;
当x<-a,y<0时,上式可化为x+y=-b2;
当-a≤x≤a,y<0时,上式可化为y=a-b2;
当x>a,y<0时,上式可化为x-y=b2;
可画出其图像.(也可利用前三种情况,再关于x轴对称)故选A.
答案:A
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案:填在题中的横线上)
13.平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是 .
解析:由题意知,机器人行进的路线为抛物线y2=4x.由题意知过点P的直线为y=kx+k(k≠0),要使机器人接触不到过点P的直线,则直线与抛物线无公共点,联立方程得k4y2-y+k=0,即Δ=1-k2<0,解得k>1或k<-1.
答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)
14.设中心在原点的椭圆与双曲线2x2-2y2=1有相同的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是 .
解析:双曲线的焦点坐标为(-1,0),(1,0),离心率为2.设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则e=ca=22.因为c=1,所以a=2.所以b=a2-c2=1.故所求椭圆的方程为x22+y2=1.
答案:x22+y2=1
15.在抛物线y2=16x内,通过点M(2,4)且在此点被平分的弦所在直线方程是 .
解析:设所求直线与y2=16x相交于点A,B,且A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得y12=16x1,y22=16x2,两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=16(x1-x2),即y1-y2x1-x2=16y1+y2,
又∵M(2,4)是A,B的中点,∴y1+y2=2×4=8,
∴kAB=y1-y2x1-x2=16y1+y2=168=2.
∴所求直线方程为y=2x.
答案:y=2x
16.导学号90074089已知双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与双曲线C2:x24-y216=1有相同的渐近线,且C1的右焦点为F(5,0),则a= ,b= .
解析:与双曲线x24-y216=1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x24-y216=λ(λ≠0).
∵C1的右焦点为(5,0),∴λ>0.
∴a2=4λ,b2=16λ,∴c2=20λ=5.
∴λ=14,即a2=1,b2=4,∴a=1,b=2.
答案:1 2
三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(满分10分)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,一条渐近线方程为y=x,且过点(4,-10).
(1)求双曲线方程;
(2)若点M(3,m)在此双曲线上,求MF1·MF2.
解(1)∵双曲线的一条渐近线方程为y=x,∴a=b,
∴设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0).
把(4,-10)代入双曲线方程得42-(-10)2=λ,
∴λ=6,∴所求双曲线方程为x2-y2=6,
即x26-y26=1.
(2)由(1)知双曲线方程为x2-y2=6,
∴双曲线的焦点为F1(-23,0),F2(23,0).
∵点M在双曲线上,∴32-m2=6,∴m2=3,
∴MF1·MF2=(-23-3,-m)·(23-3,-m)
=(-3)2-(23)2+m2=-3+3=0.
18.(满分12分)
如图,已知抛物线C1:x2+by=b2经过椭圆C2:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点.
(1)求椭圆C2的离心率;
(2)设点Q(3,b),又M,N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若△QMN的重心在抛物线C1上,求C1和C2的方程.
解(1)因为抛物线C1经过椭圆C2的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0),
所以c2+b×0=b2,即c2=b2.
由a2=b2+c2=2c2,得椭圆C2的离心率e=22.
(2)由(1)可知a2=2b2,则椭圆C2的方程为
x22b2+y2b2=1.
联立抛物线C1的方程x2+by=b2得2y2-by-b2=0,
解得y=-b2或y=b(舍去),所以x=±62b,
即M-62b,-b2,N62b,-b2.
所以△QMN的重心坐标为(1,0).
因为重心在抛物线C1上,所以12+b×0=b2,
得b=1.所以a2=2.
所以抛物线C1的方程为x2+y=1,
椭圆C2的方程为x22+y2=1.
19.(满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:2x2-y2=1.
(1)设F是C的左焦点,M是C右支上一点,若|MF|=22,求点M的坐标;
(2)设斜率为k(|k|<2)的直线l交C于P,Q两点,若l与圆x2+y2=1相切,求证:OP⊥OQ.
(1)解双曲线C:x212-y2=1,左焦点F-62,0,设M(x,y),则|MF|2=x+622+y2=3x+222,
由点M是双曲线右支上一点,知x≥22,
所以|MF|=3x+22=22,
得x=62,则y=±2x2-1=±2.
所以M62,±2.
(2)证明设直线PQ的方程是y=kx+b.
因为直线PQ与已知圆相切,故|b|k2+1=1,
即b2=k2+1.(*)
由y=kx+b,2x2-y2=1,得(2-k2)x2-2kbx-b2-1=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),又|k|<2,
则x1+x2=2kb2-k2,x1x2=-1-b22-k2.
又y1y2=(kx1+b)(kx2+b),所以
OP·OQ=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=(1+k2)(-1-b2)2-k2+2k2b22-k2+b2=-1+b2-k22-k2.
由(*)知,OP·OQ=0,所以OP⊥OQ.
20.(满分12分)已知椭圆C经过点A1,32,两个焦点为(-1,0),(1,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.
(1)解由题意,知c=1,可设椭圆方程为x21+b2+y2b2=1.
因为点A1,32在椭圆上,所以11+b2+94b2=1,
解得b2=3,或b2=-34(舍去).
所以椭圆方程为x24+y23=1.
(2)证明设直线AE的方程为y=k(x-1)+32,
代入x24+y23=1,得
(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+432-k2-12=0.
设点E(xE,yE),F(xF,yF),因为点A1,32也在椭圆上,
所以由根与系数的关系,得xE·1=xE=432-k2-123+4k2,
所以yE=kxE+32-k.
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以-k代k,可得
xF=432+k2-123+4k2,yF=-kxF+32+k.
所以直线EF的斜率
kEF=yF-yExF-xE=-k(xE+xF)+2kxF-xE=12,
即直线EF的斜率为定值,其值为12.
21.(满分12分)
如图,已知直线l:y=kx-2与抛物线C:x2=-2py(p>0)交于A,B两点,O为坐标原点,OA+OB=(-4,-12).
(1)求直线l和抛物线C的方程;
(2)抛物线上一动点P从点A到点B运动时,求△ABP面积的最大值.
解(1)由y=kx-2,x2=-2py,得x2+2pkx-4p=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2pk,
y1+y2=k(x1+x2)-4=-2pk2-4.
因为OA+OB=(x1+x2,y1+y2)=(-2pk,-2pk2-4)=(-4,-12),
所以-2pk=-4,-2pk2-4=-12,解得p=1,k=2,
所以直线l的方程为y=2x-2,抛物线C的方程为x2=-2y.
(2)设点P(x0,y0),依题意,抛物线过点P的切线与直线l平行时,△ABP的面积最大.
设切线方程是y=2x+t,
由y=2x+t,x2=-2y得x2+4x+2t=0,
∴Δ=42-4×2t=0,∴t=2.
此时,点P到直线l的距离为两平行线间的距离,
d=|2+2|5=455.
由y=2x-2,x2=-2y,得x2+4x-4=0,
∴|AB|=1+k2|x1-x2|
=1+k2·(x1+x2)2-4x1·x2
=1+22·(-4)2-4×(-4)=410,
∴△ABP面积的最大值为12×410×455=82.
22.导学号90074090(满分12分)
如图,O为坐标原点,双曲线C1:x2a12-y2b12=1(a1>0,b1>0)和椭圆C2:y2a22+x2b22=1(a2>b2>0)均过点P233,1,且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.
(1)求C1,C2的方程;
(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且|OA+OB|=|AB|?证明你的结论.
解(1)设C2的焦距为2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2.
从而a1=1,c2=1.
因为点P233,1在双曲线x2-y2b12=1上,
所以2332-1b12=1.故b12=3.
由椭圆的定义知2a2=2332+(1-1)2+2332+(1+1)2=23.
于是a2=3,b22=a22-c22=2.
故C1,C2的方程分别为x2-y23=1,y23+x22=1.
(2)不存在符合题设条件的直线.
①若直线l垂直于x轴,因为l与C2只有一个公共点,所以直线l的方程为x=2或x=-2.
当x=2时,易知A(2,3),B(2,-3),
所以|OA+OB|=22,|AB|=23.
此时,|OA+OB|≠|AB|.
当x=-2时,同理可知,|OA+OB|≠|AB|.
②若直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx+m.
由y=kx+m,x2-y23=1得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.
当l与C1相交于A,B两点时,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,从而x1+x2=2km3-k2,x1x2=m2+3k2-3.
于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=3k2-3m2k2-3.
由y=kx+m,y23+x22=1得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.
因为直线l与C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.
化简,得2k2=m2-3,因此OA·OB=x1x2+y1y2=m2+3k2-3+3k2-3m2k2-3=-k2-3k2-3≠0,
于是OA2+OB2+2OA·OB≠OA2+OB2-2OA·OB,
即|OA+OB2|≠|OA-OB2|,故|OA+OB|≠|AB|.
综合①②可知,不存在符合题设条件的直线.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
