资源描述
6.2 基本不等式
核心考点·精准研析
考点一 利用基本不等式求最值
命
题
精
解
读
1.考什么:(1)考查求最值,证明不等式等问题.
(2)考查数学运算、数学抽象、逻辑推理的核心素养.
2.怎么考:求式子的最值,证明不等式、与函数结合考查求函数的值域,与解析几何结合求面积等几何量的最值.
3.新趋势:与函数相结合求值域.
学
霸
好
方
法
1.求最值的解题思路
(1)拼凑法:拼凑成积或和为定值,利用基本不等式求相应的最值.
(2)构造法:通过对已知条件的变形,构造定值,代入后利用基本不等式求值.
(3)消元法:当要求最值的式子中含有多个字母时,应考虑利用已知条件减少字母的个数,以达到利用基本不等式求最值的目的.
2.交汇问题:
与方程、不等式交汇时,涉及恒成立问题、参数的范围等.
通过拼凑定值求最值
【典例】1.已知a,b>0,则+的最小值为 .
【解析】因为a,b>0,方法一:原式=+1+-1=+-1≥2-1=
4-1=3,
当且仅当=,a=b时取等号.
方法二:所以+=+1+-1≥2-1=3,
当且仅当+1=,即a=b时取等号.
答案:3
2.若x<,则f(x)=4x-2+的最大值为 .
【解析】因为x<,所以5-4x>0,
则f(x)=4x-2+=-+3≤-2+3=-2+3=1.
当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立.
故f(x)=4x-2+的最大值为1.
答案:1
本例不能直接运用基本不等式时怎么办?
提示:通过分子分母同除以a统一式子的结构或直接加1变形,再观察拼凑定值利用基本不等式求最小值.
通过常值代换求最值
【典例】(2019·深圳模拟)已知a>1,b>0,a+b=2,则+的最小值为 ( )
A.+ B.+ C.3+2 D.+
【解析】选A.已知a>1,b>0,a+b=2,
可得(a-1)+b=1,a-1>0,
则+=[(a-1)+b]
=1+++≥+2=+;
当且仅当=,a+b=2时取等号.
则+的最小值为+.
将条件进行变形目的是什么?
提示:将已知条件变形,变形的方向是要证明的式子,特别是与式子分母相关的定值,将定值变为1后相乘,再利用基本不等式求最值.
通过消元求最值
【典例】(2020·武汉模拟)若正数x,y满足x+4y-xy=0,则的最大值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.因为正数x,y满足x+4y-xy=0,
所以y=>0,解得x>4,
所以===≤=,当且仅当x-4=,x=6时等号成立,所以的最大值为.
将其中一个字母利用另一个字母表示,代入后的变形方向如何?
提示:构造定值以利用基本不等式求最值.
构造二次不等式求最值
【典例】(2019·重庆模拟)已知a,b,c均为正实数,且ab+2a+b=6,则2a+b的最小值为 .
【解析】因为a,b,c均为正实数,且ab+2a+b=6,
所以6-2a-b=ab=×2ab≤,
所以(2a+b)2+8(2a+b)-48≥0,所以2a+b≥4,
当且仅当a=1,b=2时取等号,所以2a+b的最小值为4.
答案:4
本题利用基本不等式,将已知式子进行转换的目标是什么?
提示:转化成关于2a+b的二次不等式,通过解不等式求最值.
1.设x,y∈R,且xy≠0,则的最小值为 ( )
A.-9 B.9 C.10 D.0
2.(2020·厦门模拟)已知0<x<1,当+取得最小值时x= ( )
A.2- B.-1 C. D.
3.(2019·嘉兴模拟)已知a>0,b>0,且2a+b=ab-1,则a+2b的最小值为( )
A.5+2 B.8 C.5 D.9
4.已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是 ( )
A.1 B.3 C.6 D.12
【解析】1.选B.=5++x2y2≥5+2=9,
当且仅当xy=±时,上式取得等号,可得最小值为9.
2.选D.因为0<x<1,所以1-x>0,
所以+=(x+1-x)
=5++≥5+2=9,
当且仅当=,即x=时取等号,
所以+取得最小值时x=.
3.选A.因为a>0,b>0,且2a+b=ab-1,
所以a=>0,所以b>2,
所以a+2b=+2b=2(b-2)++5
≥5+2=5+2,
当且仅当2(b-2)=,即b=2+时取等号.
所以a+2b的最小值为5+2.
4.选B.因为x2+2xy-3=0,所以y=,
所以2x+y=2x+==+
≥2=3.当且仅当=,即x=1时取等号.
(2020·马鞍山模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若-ccos B是acos B与bcos A的等差中项,则sin 2A·tan 2C的最大值为 .
【解析】因为-ccos B是acos B与bcos A的等差中项,所以-2ccos B=
acos B+bcos A,
所以-2sin Ccos B=(sin Acos B+cos Asin B)=sin(A+B)=sin C,所以cos B=-,因为角B为三角形内角,所以B=,所以A+C=,所以C=-A,所以
sin 2A·tan 2C=sin 2A
=sin 2A=sin 2A,令sin 2A=x,因为0<A<,所以2A∈,所以sin 2A∈(0,1),即x∈(0,1).
sin 2A·tan 2C=,x∈(0,1),令x+1=t,则t∈(1,2),sin 2A·tan 2C=
=3-≤3-2,当且仅当t=时取等号.
答案:3-2
考点二 基本不等式在实际问题中的应用
【典例】运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油升,司机的工资是每小时14元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式;
(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.
【解析】(1)设所用时间为t,则t=(h),
y=×2×+14×,x∈[50,100].
所以,这次行车总费用y关于x的表达式是y=+x,x∈[50,100],即y=+x,x∈[50,100].
(2)y=+x≥26,
当且仅当=x,
即x=18时等号成立.
故当x=18千米/时时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为26元.
有关实际问题中的最值问题
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值.
(2)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
(3)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.
网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时期内,成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现,产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x=3-.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,产品每1万件进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和, 则该公司最大月利润是 万元.
【解析】由题意知t=-1(1<x<3),设该公司的月利润为y万元,则y=
x-32x-3-t=16x--3=16x-+-3=45.5-≤45.5-
2=37.5,
当且仅当x=时取等号,即最大月利润为37.5万元.
答案:37.5
考点三 基本不等式的交汇应用
【典例】1.已知A,B是函数y=2x的图像上不同的两点,若点A,B到直线y=的距离相等,则点A,B的横坐标之和的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1) B.(-∞,-2)
C.(-∞,-3) D.(-∞,-4)
2.已知等差数列{an}中,a3=7,a9=19,Sn为数列{an}的前n项和,则的最小值为 .
【解题导思】
序号
联想解题
1
由A,B是图像上两点,想到设出点的坐标;由点A,B到直线距离相等想到构造等式条件
2
由a3,a9想到基本量的运算,由Sn,an想到求出代入
【解析】1.选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设x1<x2.
函数y=2x为单调增函数,若点A,B到直线y=的距离相等,则-y1=y2-,即y1+y2=1,即+=1.
由基本不等式得1=+≥2,
当且仅当x1=x2=-1时取等号,则≤,
解得x1+x2<-2(因为x1≠x2,所以等号取不到).
2.因为a3=7,a9=19,所以d===2,
所以an=a3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1,
所以Sn==n(n+2),
因此==≥×2=3,
当且仅当n=2时取等号.故的最小值为3.
答案:3
关于基本不等式与其他知识点的交汇
利用其他知识点的知识进行条件转化,表示出要求最值的式子,根据条件,利用基本不等式求最值.
1.设等差数列{an}的公差是d,其前n项和是Sn,若a1=d=1,则的最小值是 .
【解析】由题意an=a1+(n-1)d=n,Sn=,
所以==≥=,当且仅当n=4时取等号.
所以的最小值是.
答案:
2.(2020·新余模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2bsin C=
(2a+b)tan B,c=2,则△ABC面积的最大值为 .
【解析】2bsin C=tan B,
⇒2sin Bsin C=·,
⇒2cos Bsin C=2sin A+sin B=2sin +sin B=2sin Bcos C+
2cos Bsin C+sin B⇒cos C=-⇒C=,
由余弦定理知c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2+ab=12,
因为a2+b2≥2ab,所以12≥2ab+ab=3ab⇒ab≤4,
当且仅当a=b时取等号,所以Smax=absin C=×4×=.
答案:
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