1、3.2双曲线的简单性质课后训练案巩固提升A组1.已知双曲线x2a2-y25=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于()A.31414B.324C.32D.43解析:c=3,a2+5=9,a=2.故e=ca=32.答案:C2.设双曲线x2a2-y29=1(a0)的渐近线方程3x2y=0,则a的值为()A.4B.3C.2D.1解析:双曲线x2a2-y29=1的渐近线方程为3xay=0,与已知方程比较系数得a=2.答案:C3.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为()A.6B.5C.62D.52解析:ba=24=12=c2-a2a2=e2-1,e=52
2、.答案:D4.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为()A.x25-y24=1B.x24-y25=1C.x23-y26=1D.x26-y23=1解析:圆心的坐标是(3,0),圆的半径是2,双曲线的渐近线方程是bxay=0,根据已知得3ba2+b2=2,即3b3=2,解得b=2,则a2=5,故所求的双曲线方程是x25-y24=1.故选A.答案:A5.已知双曲线x22-y2b=1(b0)的左、右焦点分别为F1,F2,其一条渐近线方程为y=x,点P(3,y0)在该双曲线上,则PF1PF2=()
3、A.-12B.-2C.0D.4解析:y=x为渐近线方程,则b=2,即双曲线方程为x2-y2=2.当x=3时,y02=1.又双曲线的半焦距为2,PF1PF2=(-2-3,-y0)(2-3,-y0)=-1+y02=-1+1=0.故选C.答案:C6.导学号90074078设F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为()A.3x4y=0B.3x5y=0C.4x3y=0D.5x4y=0解析:如图,由题意得|PF2|=|F1F2|=2c,|F2M|=2a
4、.在PF2M中,|PF2|2=|F2M|2+|PM|2,而|PM|=12|PF1|.又|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=2a+2c,即|PM|=a+c.|PF2|2=(2c)2=(2a)2+(a+c)2.又c2=a2+b2,ba=43,渐近线方程为y=43x,即4x3y=0.答案:C7.已知双曲线的中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为54,则双曲线的标准方程是.解析:双曲线的中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x轴上,且a=3,焦距与虚轴长之比为54,即cb=54.又c2=a2+b2,解得c=5,b=4,所以双曲线的标准方程是x29-y216=1.答
5、案:x29-y216=18.若双曲线的渐近线方程为y=3x,它的一个焦点是(10,0),则双曲线的方程是.解析:由题意,得c=10=a2+b2,ba=3,由此解得b=3,a=1,故所求双曲线的方程是x2-y29=1.答案:x2-y29=19.已知双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为2,焦点与椭圆x225+y29=1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为;渐近线方程为.解析:椭圆x225+y29=1的焦点坐标为(-4,0),(4,0),双曲线的焦点坐标为(-4,0),(4,0),在双曲线x2a2-y2b2=1中,c=4,e=2,a=2.b=23.渐近线方程为3xy=0.答案:(4,0)3xy=01
6、0.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)虚轴长为12,离心率为54;(2)两顶点间的距离为6,渐近线方程为y=32x;(3)求与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线,且过点M(2,-2)的双曲线方程.解(1)设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1或y2a2-x2b2=1(a0,b0).由题意,知2b=12,ca=54,且c2=a2+b2,b=6,c=10,a=8.双曲线的标准方程为x264-y236=1或y264-x236=1.(2)设以y=32x为渐近线的双曲线方程为x24-y29=(0).当0时,a2=4,2a=24=6.=94.当0时,a2=-9,2a=2-9=6.=-1.双曲线的
7、方程为x29-y2814=1或y29-x24=1.(3)设与双曲线x22-y2=1有公共渐近线的双曲线方程为x22-y2=k(k0).将点M(2,-2)的坐标代入,得k=222-(-2)2=-2.双曲线的标准方程为y22-x24=1.B组1.已知00,b0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点B,则双曲线的离心率等于.解析:因为以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,所以F1是圆心,半径|MF1|=|F1B|=a+c.由左焦点F1(-c,0),知点M(-c,a+c),将点M的坐标代入双曲线方程得(-c)2a2-(a+c)2b2=1,从而a2(a
8、+c)2=b4,开方得a(a+c)=b2,可得c2-ac-2a2=0,即e2-e-2=0,解得e=2或e=-1(舍去).答案:24.设双曲线C:x2a2-y2=1(a0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A,B.求双曲线C的离心率e的取值范围.解由C与l相交于两个不同的点,故知方程组x2a2-y2=1,x+y=1有两个不同的实数解.消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.1-a20,4a4+8a2(1-a2)0,解得a(0,1)(1,2),双曲线的离心率为e=ca=c2a2=a2+b2a2=1a2+1,a(0,1)(1,2),e62,2(2,+),即离心率取值范围为62,2(
9、2,+).5.导学号90074079过双曲线x23-y26=1的右焦点F2且倾斜角为30的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,F1为左焦点.(1)求|AB|;(2)求AOB的面积;(3)求证:|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|.(1)解由双曲线的方程得a=3,b=6,c=a2+b2=3,F1(-3,0),F2(3,0),直线AB的方程为y=33(x-3).设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=33(x-3),x23-y26=1得5x2+6x-27=0,x1+x2=-65,x1x2=-275,|AB|=1+k2|x1-x2|=1+332(x1+x2)2-4x1x2=433625+1085=1635.(2)解直线AB的方程变形为x-3y-3=0.原点O到直线AB的距离为d=|-3|12+(-3)2=32.SAOB=12|AB|d=12163532=1235.(3)证明由题意知,双曲线的渐近线为y=2x,而直线AB的斜率为332,故点A,B不可能同在右支上,假设点A在双曲线左支上,点B在双曲线右支上,由双曲线的定义得|AF2|-|AF1|=23,|BF1|-|BF2|=23,|AF2|-|AF1|=|BF1|-|BF2|,即|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|.同理,若点A在双曲线右支上,点B在双曲线左支上,同样成立.
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