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3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课后篇巩固探究
A组 基础巩固
1.=( )
A.- B.- C. D.
解析原式=cos2-sin2=cos,
故选D.
答案D
2.若tan α=3,则的值等于( )
A.2 B.3 C.4 D.6
解析=2tan α=2×3=6.
答案D
3.已知sin,则cos的值为( )
A. B. C. D.
解析cos=cos
=1-2sin2=1-2×.
答案D
4.若α为锐角,3sin α=tan α=tan β,则tan 2β等于( )
A. B. C.- D.-
解析因为α为锐角,3sin α=tan α,所以cos α=,则tan α=2,即tan β=2,所以tan 2β==-.
答案D
5.若,则tan 2α=( )
A.- B. C.- D.
解析等式左边分子、分母同时除以cos α(显然cos α≠0),得,解得tan α=-3,
∴tan 2α=.
答案B
6.已知α∈,sin α=,则tan 2α= .
解析由α∈,sin α=,得cos α=-,tan α==-,tan 2α==-.
答案-
7.化简:= .
解析原式==tan 2α.
答案tan 2α
8.若cos(75°+α)=,则sin(60°+2α)= .
解析依题意,cos(75°+α)=,则cos(150°+2α)=2cos2(α+75°)-1=2×-1=-,sin(60°+2α)=-cos(90°+60°+2α)=-cos(150°+2α)=.
答案
9.求下列各式的值:
(1);
(2)2tan 15°+tan215°;
(3)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.
解(1)原式=
=
=
==1.
(2)原式=tan 30°(1-tan215°)+tan215°
=(1-tan215°)+tan215°=1.
(3)(方法一)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°
=cos 20°cos 40°cos 80°=.
(方法二)令x=sin 10°sin 50°sin 70°,
y=cos 10°cos 50°cos 70°.
则xy=sin 10°cos 10°sin 50°cos 50°sin 70°cos 70°
=sin 20°·sin 100°·sin 140°
=sin 20°sin 80°sin 40°
=cos 10°cos 50°cos 70°=y.
∵y≠0,∴x=.
从而有sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=.
10.已知sin α+cos α=,α∈,sin,β∈.
(1)求sin 2α和tan 2α的值;
(2)求cos(α+2β)的值.
解(1)由题意得(sin α+cos α)2=,即1+sin 2α=,∴sin 2α=,又易知2α∈,
∴cos 2α=,∴tan 2α=.
(2)∵β∈,β-,sin,
∴cos,
∴sin 2=2sincos.
又sin 2=-cos 2β,∴cos 2β=-.
又易知2β∈,∴sin 2β=.
又cos2α=,∴cos α=,∴sin α=,
∴cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β==-.
B组 能力提升
1.4sin 80°-=( )
A. B.- C. D.2-3
解析4sin 80°-
=
==-.
答案B
2.若α∈,且cos2α+cos,则tan α= ( )
A. B. C. D.或-7
解析cos2α+cos=cos2α-sin 2α=cos2α-2sin αcos α=,整理得3tan2α+20tan α-7=0,解得tan α=或tan α=-7.又α∈,所以tan α=,故选C.
答案C
3.若tan α=,则tan= .
解析∵tan α=,∴tan 2α=.
∴tan=-7.
答案-7
4.已知角α,β为锐角,且1-cos 2α=sin αcos α,tan(β-α)=,则β= .
解析由1-cos 2α=sin αcos α,得1-(1-2sin2α)
=sin αcos α,
即2sin2α=sin αcos α.∵α为锐角,∴sin α≠0,
∴2sin α=cos α,即tan α=.
(方法一)由tan(β-α)=
=,得tan β=1.∵β为锐角,∴β=.
(方法二)tan β=tan(β-α+α)=
==1.∵β为锐角,∴β=.
答案
5.已知函数f(x)=.
(1)求f的值;
(2)当x∈时,求函数g(x)=f(x)+sin 2x的最大值和最小值.
解(1)f(x)=
=
==2cos 2x,
所以f=2cos=2cos .
(2)g(x)=cos 2x+sin 2x=sin.
因为x∈,所以2x+,
所以当x=时,g(x)max=,
当x=0时,g(x)min=1.
6.已知函数f(x)=4tan xsin·cos.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间上的单调性.
解(1)f(x)的定义域为.
f(x)=4tan xcos xcos
=4sin xcos
=4sin x
=2sin xcos x+2sin2x-
=sin 2x+(1-cos 2x)-
=sin 2x-cos 2x=2sin.
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)令z=2x-,函数y=2sin z的单调递增区间是,k∈Z.由-+2kπ≤2x-+2kπ,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
设A=,B=x-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,易知A∩B=.所以,当x∈时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.
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