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课时跟踪训练(十三)
(时间45分钟)
题型对点练(时间20分钟)
题组一 函数y＝Asin(ωx＋φ)中参数的物理意义
1．函数f(x)＝2sin(x∈(0，＋∞))的周期、振幅、初相分别是( )
A.，2， B．4π，2，
C．4π，2，－ D．2π，2，－
[解析] 周期T＝＝4π，振幅为2，初相为－.
[答案] C
2．函数y＝－2sin的周期、振幅依次是( )
A．2π，－2 B．2π，2
C．π，2 D．π，－2
[解析] 周期T＝＝π，振幅为2，应选C.
[答案] C
3．最大值为，周期为，初相为的函数表达式可表示为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
[解析] A＝，＝⇒ω＝6，φ＝，C项正确．
[答案] C
题组二 由图象确定函数解析式
4．以下函数中，图象的一局部如下图的是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝cos
[解析] 由图知T＝4×＝π，
∴ω＝＝2.
又x＝时，y＝1，经验证，可得D项解析式符合题目要求．
[答案] D
5．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如下图，那么f等于( )
A. B．0
C．2 D．－2
[解析] 解法一：由图可知，T＝－＝π，即T＝，∴ω＝＝3.
∴y＝2sin(3x＋φ)，将代入上式得，sin＝0，
又是图象上升的趋势的点，
∴＋φ＝2kπ，k∈Z，那么φ＝2kπ－.
∴f＝2sin＝0.
解法二：由图可知，T＝－＝π，
即T＝.
又由正弦图象性质可知，假设f(x0)＝0，那么f＝0.
∴f＝f＝0.
[答案] B
6．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的局部图象如下图，那么ω，φ的值分别是( )
A．2，－ B．2，－
C．4，－ D．4，
[解析] T＝－，T＝π，
∴ω＝2，∴2×＋φ＝，∴φ＝－，应选A.
[答案] A
题组三 三角函数图象的对称性
7．函数y＝sin的图象的一条对称轴是( )
A．x＝－ B．x＝
C．x＝－ D．x＝
[解析] ∵x－＝kπ＋，k∈Z，
∴x＝kπ＋，k∈Z，
令k＝－1，得x＝－.
[答案] C
8．函数y＝sin与y轴最近的对称轴方程是________．
[解析] 令2x－＝kπ＋(k∈Z)，
∴x＝＋(k∈Z)．
由k＝0，得x＝；由k＝－1，得x＝－.
[答案] x＝－
9．函数y＝sin的对称中心是______________________，对称轴方程是______________________．
[解析] 函数的对称中心：x＋＝kπ，k∈Z，
∴x＝2kπ－，k∈Z，即(k∈Z)，
对称轴方程：x＋＝kπ＋，k∈Z，
∴x＝2kπ＋，k∈Z.
[答案] k∈Z x＝2kπ＋，(k∈Z)
综合提升练(时间25分钟)
一、选择题
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一局部如下图，那么它的解析式是( )
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
[解析] 由图象知，A＝2，T＝2＝4，∴ω＝＝，∴解析式可写成y＝2sin.将看作函数图象的第一个特殊点代入上式，得×＋φ＝2kπ，k∈Z.
∵|φ|<，∴φ＝.
∴解析式为y＝2sin，应选B.
[答案] B
2．上图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点( )
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
[解析] 由图象可知A＝1，T＝－＝π，
∴ω＝＝2.∵图象过点，
∴sin＝0，∴＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z.
∴y＝sin
＝sin.
故将函数y＝sinx先向左平移个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得原函数的图象．
[答案] A
3．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x＝对称；(3)在上单调递增〞的一个函数是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
[解析] 由(1)知T＝π＝，ω＝2，排除A.由(2)(3)知x＝时，f(x)取最大值，验证知只有C符合要求．
[答案] C
二、填空题
4．函数y＝sin的图象在(－π，π)上有________条对称轴．
[解析] ∵2x－＝＋kπ，k∈Z，
∴x＝＋，k∈Z，
k＝－2时，x＝－；k＝－1时，x＝－；
k＝0时，x＝；k＝1时，x＝.
∴在(－π，π)上有4条对称轴．
[答案] 4
5．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点，那么函数解析式为f(x)＝________.
[解析] 由函数图象上相邻最高点和最低点距离为2，得 ＝2.
解得T＝4，∴ω＝＝，∴f(x)＝sin.
又∵函数图象过点，∴f(2)＝sin＝－sinφ＝－.
又∵－≤φ≤，∴φ＝，∴f(x)＝sin.
[答案] sin
三、解答题
6．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的局部图象如下图．
(1)求f(x)的解析式；
(2)写出f(x)的递增区间．
[解] (1)易知A＝，T＝4×[2－(－2)]＝16.
∴ω＝＝，
∴f(x)＝sin，又(－2,0)
代入(－2,0)得：sin＝0，
∴－＋φ＝2kπ，φ＝2kπ＋，k∈Z.
又－<φ<，∴φ＝
令－＋φ＝0，∴φ＝，
∴f(x)＝sin.
(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得：16k－6≤x≤16k＋2，k∈Z，
∴f(x)的递增区间为[16k－6,16k＋2]，k∈Z.
7．函数f(x)＝2sin＋1(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间．
[解] (1)∵f(x)为偶函数，
∴φ－＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝kπ＋(k∈Z)．
又0<φ<π，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin＋1＝2cosωx＋1.
又函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为，∴T＝＝2×，
∴ω＝2，∴f(x)＝2cos2x＋1，
∴f＝2cos＋1＝＋1.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到函数f的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f的图象，
所以g(x)＝f＝2cos2＋1
＝2cos＋1.
当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，
即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减．
∴函数g(x)的单调递减区间是
(k∈Z)．
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