高三数学一轮复习课时限时检测：第四单元第3节.doc

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高三数学一轮复习课时限时检测：第四单元 第3节

(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tanx的值等于(　　)
A．1　　　　　　　　　　B．－1
C. D.
解析：由|a·b|＝|a||b|知，a∥b.
所以sin2x＝2sin2x，
即2sinxcosx＝2sin2x，而x∈(0，π)，所以sinx＝cosx，
即x＝，故tanx＝1.
答案：A
2．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是(　　)
A．矩形 B．菱形
C．直角梯形 D．等腰梯形
解析：由＝知四边形ABCD为平行四边形，
又因为·＝0，即▱ABCD的两条对角线垂直，
所以四边形ABCD为菱形．
答案：B
3．(2010·湖南高考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于(　　)
A．－16 B．－8
C．8 D．16
解析：法一：因为cosA＝，
故·＝||||cosA＝||2＝16.
法二：在上的投影为||cosA＝||，
故·＝||||cosA＝||2＝16.
答案：D
4．在锐角△ABC中，＝a，＝b，S△ABC＝1，且|a|＝2，|b|＝，则a·b等于(　　)
A．－2 B．2
C．－ D.
解析：S△ABC＝||||sinA＝×2×sinA＝1，
∴sinA＝，
∵A为锐角，∴A＝.
∴a·b＝·＝|a||b|cos(π－A)
＝2×cos＝－2.
答案：A
5．设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中0<α<β<π，若|2a＋b|＝|a－2b|，则β－α＝(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：由|2a＋b|＝|a－2b|得3|a|2－3|b|2＋8a·b＝0，
而|a|＝|b|＝1，故a·b＝0，
∴cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，
即cos(α－β)＝0，由于0<α<β<π，
故－π<α－β<0，∴α－β＝－，即β－α＝.
答案：A
6．若△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且(＋)·＝0，则△ABC一定是(　　)
A．等腰直角三角形 B．非等腰直角三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
解析：由题意可知，在△ABC中，BC边上的中线又是BC边上的高，因此△ABC是等腰三角形，而三个内角A，B，C成等差数列，故角B为60°，所以△ABC一定是等边三角形．
答案：C
二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)
7．力F的大小为50 N，与水平方向的夹角为30°(斜向上)，使物体沿水平方向运动了20 m，则力F所做的功为________．
解析：设木块的位移为s，
则F·s＝|F|·|s|cos30°＝50×20×＝500(J)．
答案：500 J
8．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为________．
解析：∵a∥b，∴x＝4，∴b＝(4，－2)，
∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)．∵(a＋b)⊥(b－c)，
∴(a＋b)·(b－c)＝0，即6－3×(－2－y)＝0，∴y＝－4，
∴M(4，－4)，N(－4,4)．
故向量＝(－8,8)，||＝8.
答案：8
9．给出以下四个命题：
①对任意两个向量a，b都有|a·b|＝|a||b|；
②若a，b是两个不共线的向量，且＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A、B、C共线⇔λ1λ2＝－1；
③若向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，则a＋b与a－b的夹角为90°.
④若向量a、b满足|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝，则a，b的夹角为60°.
以上命题中，错误命题的序号是________．
解析：①错，∵|a·b|＝|a||b|·|cosθ|≤|a||b|.
②错．∵A、B、C共线，∴＝k，
∴∴λ1λ2＝1.
④错，∵|a＋b|2＝13，
∴|a|2＋|b|2＋2a·b＝13，
即a·b＝|a||b|·cosθ＝－6，
∴cosθ＝－，∴θ＝120°.
答案：①②④
三、解答题(共3个小题，满分35分)
10．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．
(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；
(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；
(3)求向量a在b方向上的投影．
解：(1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，
∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．
∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)a＝0a＝0.
(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，
由于a＋λb与a垂直，
∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.
(3)设向量a与b的夹角为θ，
向量a在b方向上的投影为|a|cosθ.
∴|a|cosθ＝＝＝－＝－.
11．设在平面上有两个向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α<360°)，b＝(－，)．
(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；
(2)当向量a＋b与a－b的模相等时，求α的大小．
解：(1)证明：因为(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－(＋)＝0，
故a＋b与a－b垂直．[来源:Z.xx.k.Com]
(2)由|a＋b|＝|a－b|，两边平方得
3|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋3|b|2，
所以2(|a|2－|b|2)＋4a·b＝0，
而|a|＝|b|，所以a·b＝0，
则(－)×cosα＋×sinα＝0，即cos(α＋60°)＝0，
∴α＋60°＝k·180°＋90°，即α＝k·180°＋30°，k∈Z，
又0°≤α＜360°，则α＝30°或α＝210°.
12．已知向量m＝(sin，1)，n＝(cos，cos2)．
(1)若m·n＝1，求cos(－x)的值；
(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．
解：(1)∵m·n＝1，即sincos＋cos2＝1，
即sin＋cos＋＝1，
∴sin(＋)＝.
∴cos(－x)＝cos(x－)＝－cos(x＋)
＝－[1－2sin2(＋)]
＝2·()2－1＝－.
(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，
由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC.
∴2sinAcosB－cosBsinC＝sinBcosC，
∴2sinAcosB＝sin(B＋C)，
∵A＋B＋C＝π，
∴sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0，
∴cosB＝，B＝，∴0＜A＜.
∴＜＋＜，＜sin(＋)＜1.
又∵f(x)＝m·n＝sin(＋)＋，
∴f(A)＝sin(＋)＋.
故函数f(A)的取值范围是(1，)．

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[来源:学科网ZXXK]