人教版高中数学《抛物线的焦点弦及其性质》课例实录.doc

在运动变化中寻找定量规律抛物线的焦点弦及其性质的课例实录在学习了抛物线的简单几何性质后，笔者发现学生在处理运动变化的问题时常常心存畏惧，不敢下手。临渊羡鱼，不如退而结网，基于此点，笔者专门设计了这节课，希望他们在解决问题的过程中，能够加强信心，以致信手拈来，轻松上阵。笔者从教材中的一道例题入手开始：一、从课本例题中展开 教师：本题是课本中的一个例题，这里，是怎么来解决问题的？学生1：用抛物线的定义，结合图形来处理的。教师：在一定的条件下，可以利用图形来求解过焦点的弦长问题。那么，如果题目中的条件稍作变化，如：y2=8x, 怎么办？学生2：可以，复制一下上题的解题思路即可。教师：那么，题目中的数字如为参数，即：变题：斜率为k的直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段的长。请大家求解，看看结果如何！ 通过简短的运算，学生们很快计算出来教师：有谁能归纳一下上面这一类题的共性？学生3：都是求弦长，都可以通过来求解。教师：当抛物线的标准方程发生变化的时候，弦长也在发生相应的变化，这是一种相对变化。但弦长又是相对确定的，可以用来给出。二、乘胜追击教师：我们从课本中的例题出发，发现了一个很有用的式子，这个式子对往后的解题很有指导意义。现在请大家再接再厉，继续发掘。变式：弦AB所在直线的倾斜角为，则弦长可以用倾斜角来表示吗？学生纷纷表示可以一试。FBAoyx评论：1、本题若设直线的斜率k为参数，那么就要讨论斜率不存在时的情形，否则就会导致解法不完善，而以倾斜角为参数，就不必讨论时的情形。 2、本题的结论是。当直线的倾斜角变化的时候，焦点弦长相应变化，但在运动变化当中，结论是不变的，结果是确定的。教师：这种规律不仅在本题中有，在教材P119的习题8.5中也出现了。简单证明如下： 教师启发：从上可得纵坐标的乘积的一个定值，大家能不能作个推广？学生4：由（*）可知，。教师：通过以上的学习，可以看到某些过抛物线焦点的直线问题，虽然相应的条件并不确定，如斜率K，焦参数P，但最终所得的结论的相对确定，有规律的，亦即在运动变化中蕴藏着恒定的结论，将貌似复杂的问题归于简单。掌握这一点，将使我们获益非浅。三、引申性质请大家再来挖掘开垦，在焦点弦长中还有什么是不变的，有定论的，也可以结合以前的习题在寻找。通过师生共同努力，最后归纳得到以下一些规律：1、 以AB为直径的圆和抛物线的准线相切；2、 焦点F对A、B在准线上射影的张角为90O 3、4、5、 等教师：以上几个性质请大家任取三条证明一下，在证明过程中来感受数学的复杂与简单，不定与定。在运动中去寻找定量规律，使得问题回归到本原的状态。四、异曲同工，夯实巩固