资源描述
2．1 古典概型的特征和概率计算公式
填一填
1.古典概型的定义
如果一个试验满足：
(1)试验的所有可能结果只有________个，每次试验只出现其中的________个结果；
(2)每一个试验结果出现的可能性________．
我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型)．
2．古典概型的概率公式
对于古典概型，如果试验的所有可能结果(根本领件数)为n，随机事件A包含的根本领件数为m，那么事件A的概率规定为P(A)＝________.
判一判
1.任何一个事件都是一个根本领件．( )
2．每一个根本领件出现的可能性相等．( )
3．古典概型中的任何两个根本领件都是互斥的．( )
4．“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上〞是根本领件．( )
5．根本领件的个数可能有无限多个．( )
6．在掷骰子的试验中，共有6个根本领件，每一个根本领件的发生的概率都是.( )
7．古典概型中每个事件出现的可能性相等．( )
8．古典概型中根本领件总数为n，随机事件A假设包含k个根本领件，那么P(A)＝.( )
想一想
1.古典概型的定义是什么？
提示：一个试验满足①试验的所有可能只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；②每一个试验结果出现的可能性相同，把具有这两个特征的数学模型称为古典概型．
2．判断古典概型的方法有哪些？
提示：(1)一个试验是否为古典概型，在于是否具有两个特征：有限性和等可能性．
(2)并不是所有的试验都是古典概型，以下三类试验都不是古典概型：
①根本领件个数有限，但非等可能．
②根本领件个数无限，但等可能．
③根本领件个数无限，也不等可能．
3．求古典概型概率的步骤是什么？
提示：(1)先判断是否为古典概型；
(2)确定根本领件的总数n；
(3)确定事件A包含的根本领件个数m；
(4)计算事件A的概率，即P(A)＝.
4．列根本领件的三种方法及注意点是什么？
提示：(1)列举法：一一列出所有根本领件的结果，一般适用于较简单的问题．
(2)列表法：一般适用于较简单的试验方法．
(3)树状图法：一般适用于较复杂问题中根本领件个数的探求．
思考感悟
练一练
1．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5〞，那么事件A包含的根本领件数是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
2．有100张卡片(从1号到100号)，从中任取1张，取到的卡号是7的倍数的概率为( )
A. B.
C. D.
3．袋中装有质地、形状和大小完全相同的五个小球，其中黑球、红球、黄球各一个，白球两个．从中任取一个球，那么“取出的球是白球或黑球〞的概率为( )
A. B.
C. D.
4．以下是古典概型的是( )
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为根本领件时
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为根本领件时
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止
5．从甲、乙、丙三名学生中任选一名学生参加某项活动，那么甲被选中的概率为________.
知识点一
古典概型的判定
1．以下有关古典概型的四种说法：
①试验中所有可能出现的根本领件只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③每个根本领件出现的可能性相等；
④根本领件总数为n，假设随机事件A包含k个根本领件，那么事件A发生的概率P(A)＝.
其中所有正确说法的序号是( )
A．①②④ B．①③
C．③④ D．①③④
2．以下随机事件：
①某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；
②一个小组有男生5人，女生3人，从中任选1人进行活动汇报；
③一只使用中的灯泡寿命长短；
④抛出一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面的情况；
⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优〞或“差〞．
这些事件中，属于古典概型的有________.
知识点二
古典概型的概率计算
3.从甲、乙等5名学生中随机选出2名，那么甲被选中的概率为( )
A. B.
C. D.
4．某袋中有9个大小相同的球，其中有5个红球，4个白球，现从中任意取出1个，那么取出的球恰好是白球的概率为( )
A. B.
C. D.
综合知识
古典概型的特征和概率计算公式
5.先后抛掷均匀的壹分、贰分、伍分硬币各一次．
(1)一共可能出现多少种结果？
(2)出现“2枚正面朝上，1枚反面朝上〞的结果有多少种？
(3)出现“2枚正面朝上，1枚反面朝上〞的概率是多少？
6．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(2)假设从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率．
根底达标
1．袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从里面任意摸2个小球，不是根本领件的为( )
A．{正好2个红球} B．{正好2个黑球}
C．{正好2个白球} D．{至少1个红球}
2．以下试验是古典概型的是( )
A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向一个圆面内随机投一点
D．射击运发动向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，……，命中0环
3．一只蚂蚁在如下图的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，那么它能获得食物的概率为( )
A. B.
C. D.
4．两个骰子的点数分别为b，c，那么方程x2＋bx＋c＝0有两个实根的概率为( )
A. B.
C. D.
5．将一个各个面上涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从中任取一个小正方体，其中恰有3面涂有颜色的概率为( )
A. B.
C. D.
6．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )
A. B.
C. D.
7．甲、乙两人一起去游览公园，他们约定各自独立地从1号到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，那么最后一小时他们在同一个景点的概率是( )
A. B.
C. D.
8．古代“五行〞学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木、木克土，土克水，水克火，火克金〞，从这五种不同属性的物质中随机抽取两种，那么抽取的两种物质不相克的概率是________．
9．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，那么恰好选中2名女生的概率为________．
10．设a，b随机取自集合{1,2,3}，那么直线ax＋by＋3＝0与圆x2＋y2＝1有公共点的概率是________．
11．在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取2瓶，取到的全是已过保质期的饮料的概率为________．
12．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，那么以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．
13．某高速公路效劳区临时停车场按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费5元，超过1小时的局部每小时收费7元(缺乏1小时的局部按1小时计算)．现有甲、乙两人在该效劳区临时停车，两人停车都不超过4小时．
(1)假设甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于12元的概率为，求甲停车付费恰为5元的概率；
(2)假设每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车付费之和为38元的概率．
14．为迎接奥运会，某班开展了一次“体育知识竞赛〞，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩(总分值为100分，分数均为整数)进行统计，制成如下的频率分布表：
序号
分组(分数段)
频数(人数)
频率
1
[0,60)
a
0.1
2
[60,75)
15
0.3
3
[75,90)
25
b
4
[90,100]
c
d
合计
50
1
(1)求a，b，c，d的值；
(2)假设得分在[90,100]之间的有时机进入决赛，其中男女比例为23，如果一等奖只有两名，求获得一等奖的全部为女生的概率．
能力提升
15.甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，假设和为偶数那么甲赢，否那么乙赢．
(1)假设以A表示事件“和为6〞，求P(A)；
(2)假设以B表示事件“和大于4而小于9〞，求P(B)；
(3)这种游戏公平吗？试说明理由．
16．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的假设干次预赛成绩中随机抽取6次，得到甲、乙两位学生的成绩如下：
甲：69 78 79 79 87 88
乙：65 77 79 82 88 89
(1)现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均成绩状况和方差的角度考虑，你认为哪位学生的成绩更稳定？请说明理由．
(2)从乙同学不小于70分的预赛成绩中随机抽取2个成绩，列出所有结果，并求抽取的2个成绩均大于80分的概率．
2．1 古典概型的特征和概率计算公式
一测 根底过关
填一填
1．(1)有限 一 (2)相同
2.
判一判
1．× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.√
练一练
1．D 2.A 3.C 4.C 5.
二测 考点落实
1．解析：②中所说的事件不一定是根本领件，所以②不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确．应选D.
答案：D
2．解析：
题号
判断
原因分析
①
不属于
命中0环，1环，2环，…，10环的概率不一定相同
②
属于
任选1人与学生的性别无关，仍是等可能的
③
不属于
灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能
④
属于
该试验结果只有“正〞“反〞两种，且时机均等
⑤
不属于
该品牌月饼评“优〞与“差〞的概率不一定相同
答案：②④
3．解析：设这5名学生分别是甲、乙、丙、丁、戊，从中随机选出2名的方法有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共有10种，其中甲被选中有4种，所以所求概率为＝.
答案：B
4．解析：袋中有9个大小相同的球，从中任意取出1个，共有9种取法．取出的球恰好是白球，共有4种取法．故取出的球恰好是白球的概率为.应选C.
答案：C
5．解析：(1)先后抛掷壹分、贰分、伍分硬币时，可能出现的结果共有8种，即(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．
(2)用A表示事件“2枚正面朝上，1枚反面朝上〞，所有结果有3种，即(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．
(3)因为每种结果出现的可能性相等，所以事件A的概率P(A)＝.
6．解析：(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.
(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5,1所大学记为A6，那么抽取2所学校的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．
②从这6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种，所以P(B)＝＝.
三测 学业达标
1．解析：至少1个红球包含，一红一白或一红一黑或2个红球，所以{至少1个红球}不是根本领件，其它项中的事件都是根本领件．
答案：D
2．解析：对于A，发芽与不发芽概率不一定相同；对于B，摸到白球与黑球的概率相同，均为；对于C，根本领件有无限个；对于D，由于受射击运发动水平的影响，命中10环，命中9环，……，命中0环的概率不一定相等．
答案：B
3．解析：该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率P＝＝.
答案：C
4．解析：(b，c)共有36个结果，方程有解，那么Δ＝b2－4c≥0，∴b2≥4c，满足条件的数记为(b2,4c)，共有(4,4)，(9,4)，(9,8)，(16,4)，(16,8)，(16,12)，(16,16)，(25,4)，(25,8)，(25,12)，(25,16)，(25,20)，(25,24)，(36,4)，(36,8)，(36,12)，(36,16)，(36,20)，(36,24)，19个结果，P＝.
答案：C
5．解析：在这27个小正方体中，只有原正方体的8个顶点所对应的小正方体的3面是涂色的，故概率P＝.
答案：B
6．解析：袋中的1个红球、2个白球和3个黑球分别记为a，b1，b2，c1，c2，c3.
从袋中任取两球有{a，b1}，{a，b2}，{a，c1}，{a，c2}，{a，c3}，{b1，b2}，{b1，c1}，{b1，c2}，{b1，c3}，{b2，c1}，{b2，c2}，{b2，c3}，{c1，c2}，{c1，c3}，{c2，c3}，共15个根本领件．
其中满足两球颜色为一白一黑的有{b1，c1}，{b1，c2}，{b1，c3}，{b2，c1}，{b2，c2}，{b2，c3}，共6个根本领件．
所以所求事件的概率为＝.
答案：B
7．解析：甲、乙最后一小时所在的景点共有36种情况，甲、乙最后一小时在同一个景点共有6种情况．由古典概型的概率公式，知后一小时他们在同一个景点的概率是＝.
答案：D
8．解析：五种抽出两种的抽法有10种，相克的种数有5种，故不相克的种数有5种，故五种不同属性的物质中随机抽取两种，那么抽取的两种物质不相克的概率是.
答案：
9．解析：假设3名女生为a，b，c,2名男生为d，e，恰好选中2名女生的情况有：选a和b；a和c；b和c三种，总情况有a和b；a和c；a和d；a和e；b和c；b和d；b和e；c和d；c和e；d和e这10种．两者相比即为答案.
答案：
10．解析：将a，b的取值记为(a，b)，那么有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9种可能．
当直线与圆有公共点时，可得≤1，从而符合条件的有(1,3)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共5种可能，故所求概率为.
答案：
11．解析：设过保质期的2瓶记为a，b，没过保质期的3瓶用1,2,3表示，试验的结果为：
(1,2)，(1,3)，(1，a)，(1，b)，(2,3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)共10种结果，2瓶都过保质期的结果只有1个，∴P＝.
答案：
12．解析：从四条线段中任取三条有4种取法：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)．其中能构成三角形的取法有3种：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故所求概率为.
答案：
13．解析：(1)设“甲停车付费恰为5元〞为事件A，
那么P(A)＝1－＝，
所以甲停车付费恰为5元的概率是.
(2)设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a，b＝5,12,19,26.
那么甲、乙两人的停车费用构成的根本领件空间为(5,5)，(5,12)，(5,19)，(5,26)，(12,5)，(12,12)，(12,19)，(12,26)，(19,5)，(19,12)，(19,19)，(19,26)，(26,5)，(26,12)，(26,19)，(26,26)，共16种情形．
其中，(12,26)，(19,19)，(26,12)这3种情形符合题意．
故“甲、乙两人停车付费之和为38元〞的概率为P＝.
14．解析：(1)a＝50×0.1＝5，b＝＝0.5，c＝50－5－15－25＝5，d＝1－0.1－0.3－0.5＝0.1.
(2)把得分在[90,100]之间的五名学生分别记为男1，男2，女1，女2，女3.
事件“一等奖只有两名〞包含的所有事件为(男1，男2)，(男1，女1)，(男1，女2)，(男1，女3)，(男2，女1)，(男2，女2)，(男2，女3)，(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共10个根本领件；事件“获得一等奖的全部为女生〞包含(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共3个根本领件．
所以，获得一等奖的全部为女生的概率为P＝.
15．解析：将所有可能情况列表如下：
甲
乙
1
2
3
4
5
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
由上表可知，该试验共包括25个等可能发生的根本领件，属于古典概型．
(1)“和为6〞的结果有：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5种结果，故所求的概率为＝.
(2)“和大于4而小于9〞包含了(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共16个根本领件，所以P(B)＝.
(3)这种游戏不公平．因为“和为偶数〞包括13个根本领件，即甲赢的概率为，乙赢的概率为＝，所以它不公平．
16．解析：(1)甲＝×(69＋78＋79＋79＋87＋88)＝80，
s＝×[(69－80)2＋(78－80)2＋(79－80)2＋(79－80)2＋(87－80)2＋(88－80)2]＝40.
乙＝×(65＋77＋79＋82＋88＋89)＝80，
s＝×[(65－80)2＋(77－80)2＋(79－80)2＋(82－80)2＋(88－80)2＋(89－80)2]＝64.
∵甲＝乙，s<s，
∴甲学生的成绩更稳定．
(2)在乙同学的6次预赛成绩中，从不小于70分的成绩中随机抽取2个成绩，所有结果为(77,79)，(77,82)，(77,88)，(77,89)，(79,82)，(79,88)，(79,89)，(82,88)，(82,89)，(88,89)，共10个，2个成绩均大于80分的根本领件有(82,88)，(82,89)，(88,89)，共3个，∴抽出的2个成绩均大于80分的概率P＝.
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