2018_2019学年高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式2课后习题新人教A版必修4.doc

3.1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式
课后篇巩固探究
A组　基础巩固
1.若sin=cos,则tan α=(　　)
A.-1 B.0 C. D.1
解析由已知得cos α-sin α=cos α-sin α,因此sin α=cos α,于是tan α=-1.
答案A
2.已知a=(2sin 35°,2cos 35°),b=(cos 5°,-sin 5°),则a·b=(　　)
A. B.1 C.2 D.2sin 40°
解析a·b=2sin 35°cos 5°-2cos 35°sin 5°=2sin(35°-5°)=2sin 30°=1.
答案B
3.若tan(α+β)=,tan(α-β)=,则tan 2α=(　　)
A. B. C. D.
解析tan 2α=tan [(α+β)+(α-β)]=.
答案D
4.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-cos(θ+15°)的值等于 (　　)
A.±1 B.1 C.-1 D.0
解析原式=sin [(θ+45°)+30°]+cos(θ+45°)-cos [(θ+45°)-30°]
=sin(θ+45°)+cos(θ+45°)+cos(θ+45°)-
=sin(θ+45°)+cos(θ+45°)-cos(θ+45°)-sin(θ+45°)=0.
答案D
5.设α∈,β∈,且tan α=,则(　　)
A.3α-β= B.3α+β=
C.2α-β= D.2α+β=
解析由tan α=,得,得sin αcos β-cos αsin β=cos α,sin(α-β)=sin.
又α∈,β∈,
故α-β=-β,即2α-β=.
答案C
6.化简:=　　　　　. 
解析原式=

==-1.
答案-1
7.已知tan(α+β)=,tan,则tan的值为　　　　　. 
解析因为tan(α+β)=,tan,
所以tan
=tan
=.
答案
8.若α是锐角,且满足sin,则cos α的值为　　　　　. 
解析∵α是锐角,∴-<α-.
又sin,
∴cos.
∴cos α=cos
=coscos-sinsin
=.
答案
9.tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°的值是　　　　　. 
解析∵tan 60°=,
∴tan 23°+tan 37°=tan 23°tan 37°,
∴tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°=.
答案
10.化简求值:
(1)sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β);
(2)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)cos(10°+α);
(3)cos 21°·cos 24°+sin 159°·sin 204°.
解(1)原式=sin(α+β+α-β)=sin 2α.
(2)原式=cos(70°+α)sin(10°+α)-sin(70°+α)cos(10°+α)
=sin [(10°+α)-(70°+α)]=sin(-60°)=-.
(3)原式=cos 21°cos 24°+sin(180°-21°)sin(180°+24°)=cos 21°cos 24°-sin 21°sin 24°
=cos(21°+24°)=cos 45°=.
11.已知cos α=-,tan β=,π<α<,0<β<,求α-β的值.
解法一由cos α=-,π<α<,得sin α=-,tan α=2,又tan β=,
于是tan(α-β)==1.
又由π<α<,0<β<,可得-<-β<0,
<α-β<,因此α-β=.
解法二由cos α=-,π<α<,得sin α=-.
由tan β=,0<β<,
得sin β=,cos β=.
所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
==-.
又由π<α<,0<β<,可得-<-β<0,<α-β<,因此,α-β=.
B组　能力提升
1.已知α∈,tan=-3,则sin α=(　　)
A. B.- C. D.±
解析tan α=tan
=-,因为α∈,
所以α∈,故sin α=.
答案A
2.导学号68254102设α,β都为锐角,且cos α=,sin(α+β)=,则sin β等于(　　)
A. B.
C. D.-
解析∵α为锐角,cos α=,∴sin α=.
∵α,β都为锐角,∴0<α+β<π.
∵sin(α+β)=,∴cos(α+β)=±.
当cos(α+β)=-时,sin β=sin[(α+β)-α]
=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α
=;
当cos(α+β)=时,sin β=sin[(α+β)-α]
=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α
==-,
与已知β为锐角矛盾.∴sin β=.
答案B
3.若将函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象向右平移φ个单位长度,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是 (　　)
A. B. C. D.
解析由题意f(x)=sin 2x+cos 2x=sin,将其图象向右平移φ个单位长度,得函数y=sinsin的图象,要使图象关于y轴对称,则-2φ=+kπ,解得φ=-,当k=-1时,φ取最小正值.
答案C
4.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=-,则cos αcos β=　　　　　. 
解析由已知得cos αcos β-sin αsin β=,cos αcos β+sin αsin β=-,
两式相加得2cos αcos β=0,故cos αcos β=0.
答案0
5.已知△ABC中,tan Atan B-tan A-tan B=,则C的大小为　　　　　. 
解析依题意,=-,即tan(A+B)=-,又0<A+B<π,所以A+B=,故C=π-A-B=.
答案
6.已知α,β均为锐角,且tan β=,求tan(α+β)的值.
解tan β==tan,因为α,β均为锐角,所以--α<,0<β<,
又y=tan x在上是单调函数,所以β=-α,即α+β=,tan(α+β)=1.
7.导学号68254103已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),|a-b|=.
(1)求cos(α-β)的值;
(2)若-<β<0<α<,且sin β=-,求sin α的值.
解(1)∵a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),
∴|a|=|b|=1,
∴|a-b|2=a2-2a·b+b2=1+1-2(cos αcos β+sin αsin β)=2-2cos(α-β).又∵|a-b|=,
∴|a-b|2=2-2cos(α-β)=,
∴cos(α-β)=.
(2)∵-<β<0<α<,∴0<α-β<π,
由cos(α-β)=可得sin(α-β)=,由sin β=-,可得cos β=,∴sin α=sin [(α-β)+β]
=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β
=.
8.已知函数f(x)=(cos x-sin x)sin-2asin x+b(a>0)有最大值1和最小值-4,求a,b的值.
解f(x)=(cos x-sin x)sin-2asin x+b=(cos2x-sin2x)-2asin x+b=(1-2sin2x)-2asin x+b=-(sin x+a)2++a2+b.
当a≥1时,f(x)的最小值等于f,最大值等于f,依题意得
解得a=,b=-1.
当0<a<1时,依题意可得
解得a=-1(舍去)或a=--1(舍去).
综上可得a=,b=-1.
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