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2.3.4 平面向量共线的坐标表示
课后篇巩固探究
1.已知向量a=(-1,m),b=(-m,2m+3),且a∥b,则m等于( )
A.-1 B.-2 C.-1或3 D.0或-2
解析由已知得-(2m+3)+m2=0,
∴m=-1或m=3.
答案C
2.若a=(6,6),b=(5,7),c=(2,4),则下列结论成立的是 ( )
A.a-c与b共线 B.b+c与a共线
C.a与b-c共线 D.a+b与c共线
解析∵b=(5,7),c=(2,4),∴b-c=(3,3).
∴b-c=a.∴a与b-c共线.
答案C
3.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若a-2b与非零向量ma+nb共线,则等于( )
A.-2 B.2 C.- D.
解析因为向量a=(2,3),b=(-1,2),
所以a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1),ma+nb=(2m-n,3m+2n).
因为a-2b与非零向量ma+nb共线,
所以,解得14m=-7n,=-.
答案C
4.已知a=(-2,1-cos θ),b=,且a∥b,则锐角θ等于( )
A.45° B.30°
C.60° D.30°或60°
解析由a∥b,得-2×=1-cos2θ=sin2θ,
∵θ为锐角,∴sin θ=.∴θ=45°.
答案A
5.已知点A(,1),B(0,0),C(,0).设∠BAC的平分线AE与BC相交于点E,设=λ,则λ等于( )
A.2 B. C.-3 D.-
解析如图,由已知得,∠ABC=∠BAE=∠EAC=30°,∠AEC=60°,|AC|=1,
∴|EC|=.
∵=λ,λ<0,∴|λ|==3.
∴λ=-3.
答案C
6.(2018全国Ⅲ高考)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= .
解析2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ),
由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=.
答案
7.已知平面向量a=(2,1),b=(m,2),且a∥b,则3a+2b= .
解析因为向量a=(2,1),b=(m,2),且a∥b,
所以1·m-2×2=0,解得m=4.所以b=(4,2).
故3a+2b=(6,3)+(8,4)=(14,7).
答案(14,7)
8.导学号68254080已知=(-2,m),=(n,1),=(5,-1),若点A,B,C在同一条直线上,且m=2n,则m+n= .
解析 =(n,1)-(-2,m)=(n+2,1-m),
=(5,-1)-(n,1)=(5-n,-2).
因为A,B,C共线,
所以共线,
所以-2(n+2)=(1-m)(5-n). ①
又m=2n, ②
解①②组成的方程组得
所以m+n=9或m+n=.
答案9或
9.已知点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).
(1)求实数x的值,使向量共线;
(2)当向量共线时,点A,B,C,D是否在一条直线上?
解(1)=(x,1),=(4,x).
∵,∴x2=4,x=±2.
(2)由已知得=(2-2x,x-1),
当x=2时,=(-2,1),=(2,1),
∴不平行,此时A,B,C,D不在一条直线上.
当x=-2时,=(6,-3),=(-2,1),
∴,此时A,B,C三点共线.
又,
∴A,B,C,D四点在一条直线上.
综上,当x=-2时,A,B,C,D四点在一条直线上.
10.导学号68254081
如图,已知△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),,AD与BC相交于点M,求点M的坐标.
解因为(0,5)=,所以C.
因为(4,3)=,
所以D.
设M(x,y),则=(x,y-5),-(0,5)=.
因为,所以-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20. ①
因为,
所以x-4=0,即7x-16y=-20. ②
联立①②,解得x=,y=2,故点M的坐标为.
11.如图,已知四边形ABCD是正方形,,||=||,EC的延长线交BA的延长线于点F,求证:AF=AE.
证明建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,则A(-1,1),B(0,1),设点E的坐标为(x,y)(x>0),
则=(x,y-1),=(1,-1).
∵,∴x×(-1)-1×(y-1)=0. ①
又||=||,∴x2+y2=2. ②
由①②联立,解得点E的坐标为.
设点F的坐标为(x',1),
由=(x',1)和共线,
得x'-=0,∴x'=-(2+),
∴点F的坐标为(-2-,1).
∴=(-1-,0),,
∴||=1+=||,即AF=AE.
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