2022年重庆市高考数学试卷(理科).docx

2022年重庆市高考数学试卷理科一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.15分集合A=1，2，3，B=2，3，那么AA=BBAB=CABDBA25分在等差数列an中，假设a2=4，a4=2，那么a6=A1B0C1D635分重庆市2022年各月的平均气温数据的茎叶图如，那么这组数据的中位数是A19B20C21.5D2345分“x1是“x+20的A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件55分某几何体的三视图如下列图，那么该几何体的体积为ABCD65分假设非零向量，满足|=|，且3+2，那么与的夹角为ABCD75分执行如下列图的程序框图，假设输出k的值为8，那么判断框图可填入的条件是AsBsCsDs85分直线x+ay1=0是圆C：x2+y24x2y+1=0的对称轴，过点A4，a作圆C的一条切线，切点为B，那么|AB|=A2B6C4D295分假设tan=2tan，那么=A1B2C3D4105分设双曲线=1a0，b0的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D假设D到直线BC的距离小于a+，那么该双曲线的渐近线斜率的取值范围是A1，00，1B，11，+C，00，D，+二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.115分设复数a+bia，bR的模为，那么a+biabi=125分的展开式中x8的系数是用数字作答135分在ABC中，B=120，AB=，A的角平分线AD=，那么AC=三、考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，假设三题全做，那么按前两题给分145分如题图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，假设PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2：1，那么BE=155分直线l的参数方程为t为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，那么直线l与曲线C的交点的极坐标为16假设函数fx=|x+1|+2|xa|的最小值为5，那么实数a=四、解答题：本大题共6小题，共75分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤1713分端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个求三种粽子各取到1个的概率；设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望1813分函数fx=sinxsinxcos2xI求fx的最小正周期和最大值；II讨论fx在，上的单调性1913分如题图，三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC=3，ACB=D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2证明：DE平面PCD求二面角APDC的余弦值2012分设函数fx=aR假设fx在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=fx在点1，f1处的切线方程；假设fx在3，+上为减函数，求a的取值范围2112分如题图，椭圆=1ab0的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1假设|PF1|=2+|=2，求椭圆的标准方程；假设|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率e2212分在数列an中，a1=3，an+1an+an+1+an2=0nN+假设=0，=2，求数列an的通项公式；假设=k0N+，k02，=1，证明：2+2+2022年重庆市高考数学试卷理科参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.15分集合A=1，2，3，B=2，3，那么AA=BBAB=CABDBA【分析】直接利用集合的运算法那么求解即可【解答】解：集合A=1，2，3，B=2，3，可得AB，AB=2，3，BA，所以D正确应选：D【点评】此题考查集合的根本运算，根本知识的考查25分在等差数列an中，假设a2=4，a4=2，那么a6=A1B0C1D6【分析】直接利用等差中项求解即可【解答】解：在等差数列an中，假设a2=4，a4=2，那么a4=a2+a6=2，解得a6=0应选：B【点评】此题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力35分重庆市2022年各月的平均气温数据的茎叶图如，那么这组数据的中位数是A19B20C21.5D23【分析】根据中位数的定义进行求解即可【解答】解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，那么中位数为，应选：B【点评】此题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决此题的关键比较根底45分“x1是“x+20的A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件【分析】解“x+20，求出其充要条件，再和x1比较，从而求出答案【解答】解：由“x+20得：x+21，解得：x1，故“x1是“x+20的充分不必要条件，应选：B【点评】此题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道根底题55分某几何体的三视图如下列图，那么该几何体的体积为ABCD【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可【解答】解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，所求几何体的体积为：=应选：A【点评】此题考查三视图与直观图的关系，组合体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键65分假设非零向量，满足|=|，且3+2，那么与的夹角为ABCD【分析】根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可【解答】解：3+2，3+2=0，即3222=0，即=3222=2，cos，=，即，=，应选：A【点评】此题主要考查向量夹角的求解，利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解决此题的关键75分执行如下列图的程序框图，假设输出k的值为8，那么判断框图可填入的条件是AsBsCsDs【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当S时，退出循环，输出k的值为8，故判断框图可填入的条件是S【解答】解：模拟执行程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此S=此时k=6，因此可填：S应选：C【点评】此题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键85分直线x+ay1=0是圆C：x2+y24x2y+1=0的对称轴，过点A4，a作圆C的一条切线，切点为B，那么|AB|=A2B6C4D2【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay1=0经过圆C的圆心2，1，求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值【解答】解：圆C：x2+y24x2y+1=0，即x22+y12 =4，表示以C2，1为圆心、半径等于2的圆由题意可得，直线l：x+ay1=0经过圆C的圆心2，1，故有2+a1=0，a=1，点A4，1AC=2，CB=R=2，切线的长|AB|=6应选：B【点评】此题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于根底题95分假设tan=2tan，那么=A1B2C3D4【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的根本关系式结合条件以及积化和差个数化简求解即可【解答】解：tan=2tan，那么=3应选：C【点评】此题考查两角和与差的三角函数，积化和差以及诱导公式的应用，考查计算能力105分设双曲线=1a0，b0的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D假设D到直线BC的距离小于a+，那么该双曲线的渐近线斜率的取值范围是A1，00，1B，11，+C，00，D，+【分析】由双曲线的对称性知D在x轴上，设Dx，0，那么由BDAB得=1，求出cx，利用D到直线BC的距离小于a+，即可得出结论【解答】解：由题意，Aa，0，Bc，Cc，由双曲线的对称性知D在x轴上，设Dx，0，那么由BDAB得=1，cx=，D到直线BC的距离小于a+，cx=|a+，c2a2=b2，01，双曲线的渐近线斜率的取值范围是1，00，1应选：A【点评】此题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定D到直线BC的距离是关键二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.115分设复数a+bia，bR的模为，那么a+biabi=3【分析】将所求利用平方差公式展开得到a2+b2，恰好为复数的模的平方【解答】解：因为复数a+bia，bR的模为，所以a2+b2=3，那么a+biabi=a2+b2=3；故答案为：3【点评】此题考查了复数的模以及复数的乘法运算；属于根底题125分的展开式中x8的系数是用数字作答【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于8，求得r的值，即可求得展开式中的x8的系数【解答】解：由于的展开式的通项公式为 Tr+1=，令15=8，求得r=2，故开式中x8的系数是 =，故答案为：【点评】此题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于根底题135分在ABC中，B=120，AB=，A的角平分线AD=，那么AC=【分析】利用条件求出A，C，然后利用正弦定理求出AC即可【解答】解：由题意以及正弦定理可知：，即，ADB=45，A=18012045，可得A=30，那么C=30，三角形ABC是等腰三角形，AC=2=故答案为：【点评】此题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力三、考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，假设三题全做，那么按前两题给分145分如题图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，假设PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2：1，那么BE=2【分析】利用切割线定理计算CE，利用相交弦定理求出BE即可【解答】解：设CE=2x，ED=x，那么过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，由切割线定理可得PA2=PCPD，即36=33+3x，x=3，由相交弦定理可得9BE=CEED，即9BE=63，BE=2故答案为：2【点评】此题考查切割线定理、相交弦定理，考查学生的计算能力，比较根底155分直线l的参数方程为t为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，那么直线l与曲线C的交点的极坐标为2，【分析】求出直线以及曲线的直角坐标方程，然后求解交点坐标，转化我2极坐标即可【解答】解：直线l的参数方程为t为参数，它的直角坐标方程为：xy+2=0；曲线C的极坐标方程为，可得它的直角坐标方程为：x2y2=4，x0由，可得x=2，y=0，交点坐标为2，0，它的极坐标为2，故答案为：2，【点评】此题考查曲线的极坐标方程直线的参数方程与普通方程的互化，根本知识的考查16假设函数fx=|x+1|+2|xa|的最小值为5，那么实数a=6或4【分析】分类讨论a与1的大小关系，化简函数fx的解析式，利用单调性求得fx的最小值，再根据fx的最小值等于5，求得a的值【解答】解：函数fx=|x+1|+2|xa|，故当a1时，fx=，根据它的最小值为fa=3a+2a1=5，求得a=6当a=1时，fx=3|x+1|，它的最小值为0，不满足条件当a1时，fx=，根据它的最小值为fa=a+1=5，求得a=4综上可得，a=6 或a=4，故答案为：6或4【点评】此题主要考查对由绝对值的函数，利用单调性求函数的最值，表达了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题四、解答题：本大题共6小题，共75分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤1713分端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个求三种粽子各取到1个的概率；设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望【分析】根据古典概型的概率公式进行计算即可；随机变量X的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望【解答】解：令A表示事件“三种粽子各取到1个，那么由古典概型的概率公式有PA=随机变量X的取值为：0，1，2，那么PX=0=，PX=1=，PX=2=，X012PEX=0+1+2=【点评】此题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决此题的关键1813分函数fx=sinxsinxcos2xI求fx的最小正周期和最大值；II讨论fx在，上的单调性【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得fx的最小正周期和最大值根据2x0，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得fx在上的单调性【解答】解：函数fx=sinxsinxx=cosxsinx1+cos2x=sin2xcos2x=sin2x，故函数的周期为=，最大值为1当x 时，2x0，故当02x时，即x，时，fx为增函数；当2x时，即x，时，fx为减函数【点评】此题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题1913分如题图，三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC=3，ACB=D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2证明：DE平面PCD求二面角APDC的余弦值【分析】由条件易得PCDE，CDDE，由线面垂直的判定定理可得；以C为原点，分别以，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，易得，的坐标，可求平面PAD的法向量，平面PCD的法向量可取，由向量的夹角公式可得【解答】证明：PC平面ABC，DE平面ABC，PCDE，CE=2，CD=DE=，CDE为等腰直角三角形，CDDE，PCCD=C，DE垂直于平面PCD内的两条相交直线，DE平面PCD由知CDE为等腰直角三角形，DCE=，过点D作DF垂直CE于F，易知DF=FC=FE=1，又由EB=1，故FB=2，由ACB=得DFAC，故AC=DF=，以C为原点，分别以，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，那么C0，0，0，P0，0，3，A，0，0，E0，2，0，D1，1，0，=1，1，0，=1，1，3，=，1，0，设平面PAD的法向量=x，y，z，由，故可取=2，1，1，由知DE平面PCD，故平面PCD的法向量可取=1，1，0，两法向量夹角的余弦值cos，=二面角APDC的余弦值为【点评】此题考查二面角，涉及直线与平面垂直的判定，建系化归为平面法向量的夹角是解决问题的关键，属难题2012分设函数fx=aR假设fx在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=fx在点1，f1处的切线方程；假设fx在3，+上为减函数，求a的取值范围【分析】Ifx=，由fx在x=0处取得极值，可得f0=0，解得a可得f1，f1，即可得出曲线y=fx在点1，f1处的切线方程；II解法一：由I可得：fx=，令gx=3x2+6ax+a，由gx=0，解得x1=，x2=对x分类讨论：当xx1时；当x1xx2时；当xx2时由fx在3，+上为减函数，可知：x2=3，解得即可解法二：“别离参数法：由fx在3，+上为减函数，可得fx0，可得a，在3，+上恒成立令ux=，利用导数研究其最大值即可【解答】解：Ifx=，fx在x=0处取得极值，f0=0，解得a=0当a=0时，fx=，fx=，f1=，f1=，曲线y=fx在点1，f1处的切线方程为，化为：3xey=0；II解法一：由I可得：fx=，令gx=3x2+6ax+a，由gx=0，解得x1=，x2=当xx1时，gx0，即fx0，此时函数fx为减函数；当x1xx2时，gx0，即fx0，此时函数fx为增函数；当xx2时，gx0，即fx0，此时函数fx为减函数由fx在3，+上为减函数，可知：x2=3，解得a因此a的取值范围为：解法二：由fx在3，+上为减函数，fx0，可得a，在3，+上恒成立令ux=，ux=0，ux在3，+上单调递减，au3=因此a的取值范围为：【点评】此题考查了导数的运算法那么、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、“别离参数法、推理能力与计算能力，属于难题2112分如题图，椭圆=1ab0的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1假设|PF1|=2+|=2，求椭圆的标准方程；假设|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率e【分析】由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|，求出a，再根据2c=|F1F2|=2，求出c，进而求出椭圆的标准方程；由椭圆的定义和勾股定理，得|QF1|=|PF1|=4a2|PF1|，解得|PF1|=22a，从而|PF2|=2a|PF1|=21a，再一次根据勾股定理可求出离心率【解答】解：由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|=2+2=4，故a=2，设椭圆的半焦距为c，由PF2PF1，因此2c=|F1F2|=2，即c=，从而b=1，故所求椭圆的标准方程为连接F1Q，由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a，从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|，有|QF1|=4a2|PF1|，又由PQPF1，|PF1|=|PQ|，知|QF1|=|PF1|=4a2|PF1|，解得|PF1|=22a，从而|PF2|=2a|PF1|=21a，由PF2PF1，知2c=|F1F2|=，因此e=【点评】此题考查了椭圆的定义2a=|PF1|+|PF2|，椭圆的标准方程，直角三角形的勾股定理，属于中档题2212分在数列an中，a1=3，an+1an+an+1+an2=0nN+假设=0，=2，求数列an的通项公式；假设=k0N+，k02，=1，证明：2+2+【分析】把=0，=2代入数列递推式，得到 nN+，分析an0后可得an+1=2annN+，即an是一个公比q=2的等比数列从而可得数列的通项公式；把代入数列递推式，整理后可得nN进一步得到=，对n=1，2，k0求和后放缩可得不等式左边，结合，进一步利用放缩法证明不等式右边【解答】解：由=0，=2，有 nN+假设存在某个n0N+，使得，那么由上述递推公式易得，重复上述过程可得a1=0，此与a1=3矛盾，对任意nN+，an0从而an+1=2annN+，即an是一个公比q=2的等比数列故证明：由，数列an的递推关系式变为，变形为：nN由上式及a1=30，归纳可得3=a1a2anan+10=，对n=1，2，k0求和得：=另一方面，由上已证的不等式知，得=2+综上，2+2+【点评】此题考查了数列递推式，考查了等比关系确实定，训练了放缩法证明数列不等式属难度较大的题目