资源描述
单元质检二 函数
(时间:100分钟 满分:150分)
单元质检卷第3页
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.设集合M={x|2x-1<1,x∈R},N={x|lox<1,x∈R},则M∩N等于( )
A. B.(0,1) C. D.(-∞,1)
答案:A
解析:M={x|x<1},N=,
则M∩N=,故选A.
2.(2015山西大同高三调研)已知函数f(x)=则f(5)的值为( )
A. B. C.1 D.
答案:C
解析:f(5)=f(5-1)=f(4)=f(4-1)=f(3)=sin=1,故选C.
3.(2015北京延庆模拟)下列函数是奇函数,并且在定义域上是增函数的是( )
A.y=- B.y=ln |x|
C.y=sin x D.y=
答案:D
解析:∵y=ln|x|为偶函数,故排除B;y=-,y=sin x在其定义域上无单调性,故排除A,C,选D.
4.(2015河北邯郸高三摸底)函数f(x)=2x-tan x在上的图像大致为( )
答案:D
解析:函数f(x)=2x-tan x是奇函数,其图像关于原点成中心对称,
又f-tan-1>0,当x→时,f(x)→-∞,故选D.
5.若方程lo(a-2x)=2+x有解,则a的最小值为( )
A.2 B.1 C. D.〚导学号32470564〛
答案:B
解析:若方程lo(a-2x)=2+x有解,
则=a-2x有解,
即+2x=a有解,
∵+2x≥1,
当且仅当=2x,即x=-1时,等号成立,故a的最小值为1,故选B.
6.(2015河北正定中学月考)已知函数f(x)=-sin x,则f(x)在[0,2π]上的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4〚导学号32470565〛
答案:B
解析:函数f(x)=-sin x在[0,2π]上的零点个数为函数y=的图像与函数y=sin x的图像在[0,2π]内的交点个数,在同一坐标系内画出两个函数的图像如图所示,由图像可知,两函数在区间[0,2π]内有两个不同的交点,故选B.
7.(2015北京昌平区高三质检)某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)是( )
A.略有盈利 B.略有亏损
C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况
答案:B
解析:设这只股票购进价格为a,则这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%)后的价格为a(1+0.1)n(1-0.1)n=a(1-0.01)n<a.所以该股民这只股票有亏损.
8.
如图,把周长为1的圆的圆心C放在y轴上,顶点A(0,1),一动点M从A开始逆时针绕圆运动一周,记的长为x,直线AM与x轴交于点N(t,0),则函数t=f(x)的图像大致为( )
〚导学号32470566〛
答案:D
解析:当x由0→时,t从-∞→0是增加的;当x由→1时,t从0→+∞是增加的,故排除A,B,C,故选D.
9.(2015辽宁五校联考)设函数f(x)=loga|x|在(-∞,0)上是增加的,则f(a+1)与f(2)的大小关系是( )
A.f(a+1)>f(2)
B.f(a+1)<f(2)
C.f(a+1)=f(2)
D.不能确定〚导学号32470567〛
答案:A
解析:由已知得0<a<1,所以1<a+1<2,又易知函数f(x)为偶函数,故可以判断f(x)在(0,+∞)上是减少的,所以f(a+1)>f(2).
10.某公司租地建仓库,已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站( )
A.5千米处 B.4千米处
C.3千米处 D.2千米处
答案:A
解析:设仓库到车站距离为x千米,由题意得,y1=,y2=k2x,其中x>0,当x=10时,代入两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,可得k1=20,k2=,y1+y2=x≥2=8,当且仅当x,即x=5时取等号,故选A.
11.已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设a=f(log47),b=f(lo3),c=f(0.2-0.6),则a,b,c的大小关系是( )
A.c<b<a B.b<c<a
C.c<a<b D.a<b<c
答案:A
解析:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x).
又∵f(x)在(-∞,0]上递增,且关于y轴对称,
∴f(x)在(0,+∞)上递减.
∵log47=log2>1,
而f(lo3)=f(-log23)=f(log23),且log23>1,
又∵<3,∴1<log2<log23<2.
而f(x)在(0,+∞)上递减,
∴f(log2)>f(log23),即a>b.
又∵0.2-0.6=>2,
∴1<log23<0.2-0.6.
∴f(log23)>f(0.2-0.6),故b>c.∴a>b>c.
12.(2015山西忻州一中月考)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,对于任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立;当x1,x2∈[0,3],且x1≠x2时,都有>0.给出下列四个命题:①f(3)=0;②直线x=-6是函数y=f(x)图像的一条对称轴;③函数y=f(x)在[-9,-6]上为增函数;④函数y=f(x)在[0,2 014]上有335个零点.其中正确命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4〚导学号32470571〛
答案:B
解析:令x=-3,得f(3)=f(-3)+f(3),又y=f(x)是偶函数,故f(3)=0,①正确;
因为f(x+6)=f(x),所以y=f(x)是周期为6的周期函数,因为x=0是一条对称轴,故x=-6是函数y=f(x)图像的一条对称轴,②正确;
函数y=f(x)在[-9,-6]上的单调性与[-3,0]的单调性相同,因为函数在[0,3]上递增,故在[-3,0]上递减,③错误;y=f(x)在每个周期内有一个零点,区间[0,6),[6,12),…,[2 004,2 010)分别有一个零点,共有335个周期,在区间[2 010,2 014)内有一个零点为2 013,故零点共有336个,④错误.
综上所述,正确的命题为①②.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2015北京,文10)2-3,,log25三个数中最大的数是 .
答案:log25
解析:2-3=<1,>1,log25>log24>2>,
所以log25最大.
14.定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+5)=16,当x∈(-1,4]时,f(x)=x2-2x,则函数f(x)在[0,2 013]上的零点个数是 .〚导学号32470568〛
答案:604
解析:由f(x)+f(x+5)=16,可知f(x-5)+f(x)=16,
则f(x+5)-f(x-5)=0,所以f(x)是以10为周期的周期函数.在一个周期(-1,9]上,函数f(x)=x2-2x在x∈(-1,4]区间内有3个零点,在x∈(4,9]区间内无零点,故f(x)在一个周期上仅有3个零点,由于区间(3,2 013]中包含201个周期,
又x∈[0,3]时也存在一个零点x=2,故f(x)在[0,2 013]上的零点个数为3×201+1=604.
15.(2015甘肃天水一中模拟)函数f(x)=的图像关于原点对称,g(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数,则a+b= .〚导学号32470569〛
答案:
解析:∵f(x)=的图像关于原点对称,
∴函数f(x)是奇函数,
∴f(0)=0,a=1.
∵g(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数,
∴g(-x)=g(x)对任意的x都成立,
∴lg(10-x+1)-bx=lg(10x+1)+bx,
∴lg=lg(10x+1)+2bx,
∴-x=2bx对一切x恒成立,∴b=-,
∴a+b=.
16.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,任意x∈R,f(x-1)=f(x+1)成立,当x∈(0,1)且x1≠x2时,有<0.给出下列命题:
(1)f(1)=0;
(2)f(x)在[-2,2]上有5个零点;
(3)点(2 014,0)是函数y=f(x)图像的一个对称中心;
(4)直线x=2 014是函数y=f(x)图像的一条对称轴.
则正确命题的序号是 .〚导学号32470570〛
答案:(1)(2)(3)
解析:令f(x-1)=f(x+1)中x=0,得f(-1)=f(1),
∵f(-1)=-f(1),∴2f(1)=0,
∴f(1)=0,故(1)正确;
由f(x-1)=f(x+1)得f(x)=f(x+2),
∴f(x)是周期为2的周期函数,
∴f(2)=f(0)=0,
又当x∈(0,1)且x1≠x2时,有<0,∴函数在区间(0,1)上递减,可作函数的简图如图:
由图知(2)(3)也正确,(4)不正确,所以命题正确的序号为(1)(2)(3).
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)函数f(x)=m+logax(a>0,且a≠1)的图像过点(8,2)和(1,-1).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)令g(x)=2f(x)-f(x-1),求g(x)的最小值及取得最小值时x的值.
解:(1)由
解得m=-1,a=2,
故函数解析式为f(x)=-1+log2x.
(2)g(x)=2f(x)-f(x-1)
=2(-1+log2x)-[-1+log2(x-1)]
=log2-1(x>1).
∵=(x-1)++2
≥2+2=4,
当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立.
而函数y=log2x在(0,+∞)上递增,
则log2-1≥log24-1=1,
故当x=2时,函数g(x)取得最小值1.〚导学号32470572〛
18.(12分)已知关于x的二次函数f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t.
(1)求证:对于任意t∈R,方程f(x)=1必有实根;
(2)若<t<,求证:方程f(x)=0在区间(-1,0)及上各有一个实根.
证明:(1)由于f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t,
∴f(x)=1⇔(x+2t)(x-1)=0,(*)
∴x=1是方程(*)的根,即f(1)=1.
因此x=1是方程f(x)=1的实根,
即f(x)=1必有实数根.
(2)当<t<时,f(-1)=3-4t>0,
f(0)=1-2t=2<0,
f(2t-1)+1-2t=-t>0,
又函数f(x)的图像连续不间断,
因此f(x)=0在区间(-1,0)及上各有一个实根.〚导学号32470573〛
19.(12分)已知函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab(a≠0),当x∈(-3,2)时,f(x)>0;当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0.
(1)求f(x)在[0,1]内的值域;
(2)c为何值时,不等式ax2+bx+c≤0在[1,4]上恒成立?
解:由题意得x=-3和x=2是函数f(x)的零点且a≠0,则
解得
∴f(x)=-3x2-3x+18.
(1)如图所示,由图像知,函数在[0,1]上递减,
∴当x=0时,y=18;当x=1时,y=12,
∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18].
(2)(方法一)令g(x)=-3x2+5x+c.
∵g(x)在上递减,
要使g(x)≤0在[1,4]上恒成立,则需要g(x)max=g(1)≤0,
即-3+5+c≤0,解得c≤-2.
∴当c≤-2时,不等式ax2+bx+c≤0在[1,4]上恒成立.
(方法二)不等式-3x2+5x+c≤0在[1,4]上恒成立,
即c≤3x2-5x在[1,4]上恒成立.令g(x)=3x2-5x,
∵x∈[1,4],且g(x)在[1,4]上递增,
∴g(x)min=g(1)=3×12-5×1=-2,
∴c≤-2.
即c≤-2时,不等式ax2+bx+c≤0在[1,4]上恒成立.〚导学号32470574〛
20.(12分)已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值-(t≠0),且f(1)=0.
(1)求y=f(x)的表达式;
(2)若函数y=f(x)在区间上的最小值为-5,求此时t的值.
解:(1)设f(x)=a(a>0).
因为f(1)=0,所以(a-1)=0.
又t≠0,所以a=1,
所以f(x)=(t≠0).
(2)因为f(x)=(t≠0),
当<-1,即t<-4时,
f(x)min=f(-1)==-5,
所以t=-;
当-1≤,即-4≤t≤-1时,f(x)min=f=-=-5,
所以t=±2(舍去);
当,即t>-1时,
f(x)min=f=-5,
所以t=-(舍去).
综上,得t=-.〚导学号32470575〛
21.(12分)(2015兰州一中高三月考)某旅游风景区有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超出6元,则每超过1元,租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金x(元)只取整数,并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得).
(1)求函数y=f(x)的解析式及其定义域;
(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时,才能使一日的净收入最多?
解:(1)当x≤6时,y=50x-115,令50x-115>0,解得x>2.3.
∵x∈N+,∴x≥3,
∴3≤x≤6,x∈N+,
当x>6时,y=[50-3(x-6)]x-115.
令[50-3(x-6)]x-115>0,有3x2-68x+115<0,上述不等式的整数解为2≤x≤20(x∈N+),
∴6<x≤20(x∈N+).
故y=
定义域为{x|3≤x≤20,x∈N+}.
(2)对于y=50x-115(3≤x≤6,x∈N+).
显然当x=6时,ymax=185(元),
对于y=-3x2+68x-115=-3(6<x≤20,x∈N+).
当x=11时,ymax=270(元).
∵270>185,
∴当每辆自行车的日租金定在11元时,才能使一日的净收入最多.〚导学号32470576〛
22.(12分)已知函数f(x)满足f(x)+3f(-x)=8ax2-(a∈R).
(1)求f(x)的解析式;
(2)试判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)若函数f(x)始终满足x1-x2与f(x1)-f(x2)同号(其中x1,x2∈,x1≠x2),求实数a的取值范围.
解:(1)因为f(x)+3f(-x)=8ax2-,①
所以f(-x)+3f(x)=8ax2+.②
由①②可解得f(x)=2ax2+.
(2)由(1)得f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
当a=0时,f(x)=, f(-x)==-=-f(x),
故当a=0时f(x)为奇函数;
当a≠0时,f(x)=2ax2+(a≠0,x≠0),f(-1)=2a-1,f(1)=2a+1,
∴f(-1)≠f(1),f(-1)≠-f(1),
∴当a≠0时,函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(3)由题意可知,函数f(x)在x∈[3,+∞)上为增函数.
设3≤x1<x2,要使函数f(x)在x∈[3,+∞)上为增函数,
(方法一)则f(x1)-f(x2)=2a-2a
=[2ax1x2(x1+x2)-1]<0,
∵x1-x2<0,x1x2>9,
∴2ax1x2(x1+x2)>1.
∵x1+x2>6,∴x1x2(x1+x2)>54,
∴.
要使a>,
则a的取值范围是.
(方法二)则f'=4ax-≥0在[3,+∞)上恒成立,
所以4a≥在[3,+∞)上恒成立,
所以4a≥,所以a的取值范围是.
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