高优指导2021版高考数学一轮复习第五章平面向量单元质检文北师大版.doc

单元质检五　平面向量
(时间:45分钟　满分:100分)
　单元质检卷第10页　 
一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)
1.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2=0,则有(　　)

A.=2 B.
C.=3 D.2
答案:B
解析:由2=0,得=-2=2,
即=2=2,所以,即O为AD的中点.
2.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则=(　　)
A.-a2 B.-a2 C.a2 D.a2
答案:D
解析:如图,设=a,=b.

则=()·=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos 60°=a2+a2=a2.
3.(2015广东梅州模拟)已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上存在一点P使有最小值,则P点的坐标是(　　)
A.(-3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0)〚导学号32470601〛
答案:C
解析:设P点坐标为(x,0),
则=(x-2,-2),=(x-4,-1).
=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.
当x=3时,有最小值1.∴点P坐标为(3,0).
4.已知|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则向量a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
答案:B
解析:因为a·(b-a)=a·b-a2=2,
所以a·b=3.
所以cos<a,b>=.
所以<a,b>=.
5.(2015广东深圳模拟)已知||=||=2,点C在线段AB上,且||的最小值为1,则|-t|(t∈R)的最小值为(　　)
A. B. C.2 D.〚导学号32470602〛
答案:B
解析:依题意,可将点A,B置于圆x2+y2=4上;由点C在线段AB上,且||的最小值为1,得原点O到线段AB的距离为1,∠AOB=180°-2×30°=120°,(-t)2=4+4t2-2t×22cos 120°=4t2+4t+4=4+3的最小值是3,
因此|-t|的最小值是.
6.平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(-2)·()=0,则△ABC的形状是(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.无法确定
答案:B
解析:由(-2)·()=0,得[()+()]·()=0,
所以()·()=0.
所以||2-||2=0.
所以||=||,故△ABC是等腰三角形.
二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)
7.(2015山东,文13)过点P(1,)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则=　　　　　. 
答案:
解析:

由题意可作图,
∵OA=1,AP=,
又∵PA=PB,
∴PB=.
∴∠APO=30°.
∴∠APB=60°.
∴=||·||cos 60°=.
8.(2015山西第三次四校联考)圆O为△ABC的外接圆,半径为2,若=2,且||=||,则向量在向量方向上的投影为　　　　　.〚导学号32470603〛 
答案:3
解析:∵=2,∴O是BC的中点,故△ABC为直角三角形.在△AOC中,有||=||,∴∠B=30°.由定义,向量在向量方向上的投影为||cos B=2=3.
三、解答题(本大题共3小题,共44分)
9.(14分)(2015河南漯河调研)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(2,1),A(1,0),B(cos θ,t).
(1)若a∥,且||=|,求向量的坐标;
(2)若a∥,求y=cos2θ-cos θ+t2的最小值.
解:(1)∵=(cos θ-1,t),a∥,
∴2t-cos θ+1=0,∴cos θ-1=2t.①
又∵||=|,
∴(cos θ-1)2+t2=5.②
由①②,得5t2=5,∴t2=1.∴t=±1.
当t=1时,cos θ=3(舍去);
当t=-1时,cos θ=-1,
∴B(-1,-1),∴=(-1,-1).
(2)由(1)可知t=,
∴y=cos2θ-cos θ+
=cos2θ-cos θ+
=
=,
∴当cos θ=时,ymin=-.
10.(15分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程;
(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.
解:(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,
所以圆心为C(0,4),半径为4.
设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y).
由题设知=0,
故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,
即(x-1)2+(y-3)2=2.
由于点P在圆C的内部,
所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆.
由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,
又P在圆N上,从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-,故l的方程为y=-x+.
又|OM|=|OP|=2,O到l的距离为,|PM|=,
所以△POM的面积为.〚导学号32470604〛
11.(15分)(2015广东惠州模拟)已知向量=(λcos α,λsin α)(λ≠0),=(-sin β,cos β),其中O为坐标原点.
(1)若β=α-,求向量的夹角;
(2)若||≥2||对任意实数α,β恒成立,求实数λ的取值范围.
解:(1)设向量的夹角为θ,
则cos θ=,
当λ>0时,cos θ=,θ=;
当λ<0时,cos θ=-,θ=.
故当λ>0时,向量的夹角为;
当λ<0时,向量的夹角为.
(2)=(-sin β-λcos α,cos β-λsin α).
||≥2||对任意的α,β恒成立,
即(λcos α+sin β)2+(λsin α-cos β)2≥4对任意的α,β恒成立,
即λ2+1+2λsin(β-α)≥4对任意的α,β恒成立,
所以
解得λ≥3或λ≤-3.
故所求实数λ的取值范围是(-∞,-3]∪[3,+∞).

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