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第一节 直线与直线方程
授课提示：对应学生用书第353页
[A组 基础保分练]
1．已知直线l过点（0，0）和（3，1），则直线l的斜率为（ ）
A．3 B．
C．－ D．－3
解析：由斜率公式可得，直线l的斜率k＝＝．
答案：B
2．（2021·泰安模拟）倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是（ ）
A．x－y＋1＝0 B．x－y－＝0
C．x＋y－＝0 D．x＋y＋＝0
解析：由于倾斜角为120°，故斜率k＝－．又直线过点（－1，0），所以方程为y＝－（x＋1），即x＋y＋＝0．
答案：D
3．（2021·广州质检）若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为（1，－1），则直线l的斜率为（ ）
A． B．－
C．－ D．
解析：依题意，设点P（a，1），Q（7，b），则有解得从而可知直线l的斜率为＝－．
答案：B
4．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是（ ）
解析：直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0分别化为l1：y＝－ax－b，l2：y＝－bx－a，可知，l1的斜率与l2的截距相同，l1的截距与l2的斜率相同，据此可判断出：只有B满足上述条件．
答案：B
5．（2021·济南调研）在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O（0，0），M（－1，3），点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为（ ）
A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
解析：因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3（x＋1），即3x－y＋6＝0．
答案：C
6．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是（ ）
A．[－2，2] B．（－∞，－2]∪[2，＋∞）
C．[－2，0）∪（0，2] D．（－∞，＋∞）
解析：令x＝0，得y＝，
令y＝0，得x＝－b，
所以所求三角形的面积为|－b|＝b2，且b≠0，b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2，0）∪（0，2]．
答案：C
7．过点M（3，－4），且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_________．
解析：若直线过原点，则k＝－，所以y＝－x，即4x＋3y＝0．若直线不过原点，设直线方程为＋＝1，即x＋y＝a．则a＝3＋（－4）＝－1，所以直线的方程为x＋y＋1＝0．
答案：4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0
8．过点A（2，1），其倾斜角是直线l1：3x＋4y＋5＝0的倾斜角的一半的直线l的方程为_________．
解析：设直线l和l1的倾斜角分别为α，β，
则α＝∈，又tan β＝－，则－＝，解得tan α＝3或tan α＝－（舍去）．
由点斜式得y－1＝3（x－2），即3x－y－5＝0．
答案：3x－y－5＝0
9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
（1）过定点A（－3，4）；
（2）斜率为．
解析：（1）设直线l的方程为y＝k（x＋3）＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3，3k＋4，由已知，得（3k＋4）×＝±6，解得k1＝－或k2＝－．
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0．
（2）设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，
所以b＝±1．
所以直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0．
10．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P（1，0）作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．
解析：由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
kOB＝tan（180°－30°）＝－，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x．
设A（m，m），B（－n，n），
所以AB的中点C，
由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得
解得m＝，所以A（，）．
又P（1，0），所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝（x－1），
即直线AB的方程为（3＋）x－2y－3－＝0．
[B组 能力提升练]
1．过点（－10，10）且在x轴上的截距是在y轴上的截距的4倍的直线的方程为（ ）
A．x－y＝0
B．x＋4y－30＝0
C．x＋y＝0或x＋4y－30＝0
D．x＋y＝0或x－4y－30＝0
解析：由题意，当直线经过原点时，直线的方程为x＋y＝0；当直线不经过原点时，设直线的方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝，此时直线的方程为＋＝1，即x＋4y－30＝0．
答案：C
2．（2021·成都诊断）设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（ ）
A． B．[－1，0]
C．[0，1] D．
解析：由题意知y′＝2x＋2，设P（x0，y0），则k＝2x0＋2．因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－．
答案：A
3．已知动直线l：ax＋by＋c－2＝0（a＞0，c＞0）恒过点P（1，m）且点Q（4，0）到动直线l的最大距离为3，则＋的最小值为（ ）
A． B．
C．1 D．9
解析：因为动直线l：ax＋by＋c－2＝0（a＞0，c＞0）恒过点P（1，m），所以a＋bm＋c－2＝0，又点Q（4，0）到动直线l的最大距离为3，所以 ＝3，解得m＝0，所以a＋c＝2，则＋＝（a＋c）·＝≥＝，当且仅当c＝2a＝时取等号．
答案：B
4．若直线l：kx－y＋2＋4k＝0（k∈R）交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，则当△AOB的面积取最小值时直线l的方程为（ ）
A．x－2y＋4＝0 B．x－2y＋8＝0
C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＋8＝0
解析：由l的方程，得A，B（0，2＋4k）．
依题意得解得k＞0．因为S＝|OA|·|OB|＝·|2＋4k|＝·＝≥×（2×8＋16）＝16，当且仅当16k＝，即k＝时等号成立．此时l的方程为x－2y＋8＝0．
答案：B
5．已知三角形的三个顶点A（－5，0），B（3，－3），C（0，2），则BC边上中线所在的直线方程为_________．
解析：BC的中点坐标为M，所以BC边上中线AM所在直线斜率为k＝＝－，所以AM所在直线方程为y＝－（x＋5），即x＋13y＋5＝0．
答案：x＋13y＋5＝0
6．已知直线l过坐标原点，若直线l与线段2x＋y＝8（2≤x≤3）有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_________．
解析：设直线l与线段2x＋y＝8（2≤x≤3）的公共点为P（x，y），
则点P（x，y）在线段AB上移动，且A（2，4），B（3，2），
设直线l的斜率为k，
又kOA＝2，kOB＝．
如图所示，可知≤k≤2．
∴直线l的斜率的取值范围是．
答案：
7．过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴正半轴于A，B两点，求使：
（1）△AOB面积最小时l的方程；
（2）|PA|·|PB|最小时l的方程．
解析：设直线l的方程为y－1＝k（x－2）（k＜0），
则l与x轴、y轴正半轴分别交于A，B（0，1－2k）．
（1）S△AOB＝（1－2k）
＝×≥×（4＋4）＝4．
当且仅当－4k＝－，即k＝－时取最小值，此时直线l的方程为y－1＝－（x－2），
即x＋2y－4＝0．
（2）|PA|·|PB|＝ ·
＝ ≥4，
当且仅当＝4k2，即k＝－1时取得最小值，此时直线l的方程为y－1＝－（x－2），即x＋y－3＝0．
[C组 创新应用练]
1．经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是（ ）
A．6x－4y－3＝0 B．3x－2y－3＝0
C．2x＋3y－2＝0 D．2x＋3y－1＝0
解析：因为抛物线y2＝2x的焦点坐标为，直线3x－2y＋5＝0的斜率为，所以所求直线l的方程为y＝，化为一般式，得6x－4y－3＝0．
答案：A
2．已知函数f（x）＝asin x－bcos x（a≠0，b≠0），若f＝f，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为（ ）
A． B．
C． D．
解析：由f＝f知函数f（x）的图像关于x＝对称，所以f（0）＝f，所以a＝－b，由直线ax－by＋c＝0知其斜率k＝＝－1，所以直线的倾斜角为．
答案：D
3．如图，在两条互相垂直的道路l1，l2的一角，有一个电线杆，电线杆底部到道路l1的垂直距离为4米，到道路l2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为 米．
解析：如图建立平面直角坐标系，设人行道所在直线方程为y－4＝k（x－3）（k＜0），所以A，B（0，4－3k），所以△ABO的面积S＝（4－3k）＝，因为k＜0，所以－9k－≥2＝24，当且仅当－9k＝－，即k＝－时取等号．此时，A（6，0），B（0，8），所以人行道的长度为＝10米．
答案：10
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