资源描述
考点一 集合
一、选择题
1．(2019·福建龙岩、漳州5月模拟)已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|2x－3>0}，则A∪B＝( )
A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)
C. D.
答案 B
解析 因为B＝{x|2x－3>0}＝，所以A∪B＝[1，＋∞)，故选B.
2．(2019·辽宁双基测试)已知全集U＝{2,4,6,8,10}，集合A，B满足∁U(A∪B)＝{8,10}，A∩∁UB＝{2}，则集合B＝( )
A．{4,6} B．{4} C．{6} D．∅
答案 A
解析 作出Venn图(如图)，则∁UB＝[∁U(A∪B)]∪[A∩(∁UB)]＝{2,8,10}，所以B＝{4,6}，故选A.
3．(2019·山东日照5月校际联考)已知全集U＝R，集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x≥1}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A．{－1} B．{0}
C．{－1,0} D．{－1,0,1}
答案 C
解析 阴影部分表示集合为A∩(∁RB)，又∁RB＝{x|x＜1}，则A∩∁RB＝{－1,0}，故选C.
4．设集合P＝{x|x<1}，Q＝{x|x2<1}，则( )
A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁RQ D．Q⊆∁RP
答案 B
解析 依题意得Q＝{x|－1<x<1}，因此Q⊆P，故选B.
5．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合M＝{1,4}，N＝{2,3}，则集合{5,6}＝( )
A．M∪N B．(∁UM)∪(∁UN)
C．M∩N D．(∁UM)∩(∁UN)
答案 D
解析 由题意，全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合M＝{1,4}，N＝{2,3}，观察知，集合{5,6}＝∁U(M∪N)，又∁U(M∪N)＝(∁UM)∩(∁UN)，∴(∁UM)∩(∁UN)＝{5,6}，故选D.
6．设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P∪Q＝( )
A．{3,0} B．{3,0,1}
C．{3,0,2} D．{3,0,1,2}
答案 B
解析 ∵P∩Q＝{0}，∴log2a＝0，∴a＝1，从而b＝0，∴P∪Q＝{3,0,1}，故选B.
7．(2019·湖北部分重点中学第二次联考)已知集合A＝{x|2x－4<0}，B＝{x|2x<1}，则以下结论正确的是( )
A．A∩B＝∅ B．A∩B＝{x|x<0}
C．A∪B＝{x|x<0} D．A∪B＝R
答案 B
解析 由题意得A＝{x|x<2}，B＝{x|x<0}，所以A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<2}．故选B.
8．(2019·山东烟台5月适应性练习(二))设集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，x≤3}，则集合(∁RA)∩B＝( )
A．{x|x<3} B．{x|x≤3}
C．{x|0<x<3} D．{x|0<x≤3}
答案 C
解析 因为A＝{x|y＝}＝{x|x≥3}⇒∁RA＝{x|x<3}，B＝{y|y＝2x，x≤3}＝{y|0<y≤8}，所以(∁RA)∩B＝{x|0<x<3}，故选C.
二、填空题
9．设集合M＝，N＝{x|0<x<2}，则M∪N＝________.
答案 {x|0≤x<2}
解析 由题意得M＝{x|0≤x<1}，又∵N＝{x|0<x<2}，∴M∪N＝{x|0≤x<2}．
10．已知全集U＝{2,3，x2＋2x－3}，集合A＝{2，|x＋7|}，且有∁UA＝{5}，则x的值为________．
答案 －4
解析 由题意得
由|x＋7|＝3，得x＝－4或－10，
由x2＋2x－3＝5，得x＝－4或2，
所以x＝－4.
11．(2019·广西柳州1月模拟)已知集合A＝{(x，y)|y＝x－1}，B＝{(x，y)|y＝－2x＋5}，则A∩B＝________.
答案 {(2,1)}
解析 由得x＝2，y＝1，故A∩B＝{(2,1)}．
12．(2019·广东湛江高考测试(二))已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，则集合A∩B的子集个数为________．
答案 4
解析 ∵A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，∴B＝{－1,1,3,5}，∴A∩B＝{1,3}，则该集合的子集个数为22＝4.
三、解答题
13．已知集合A＝{x|0<2x＋a≤3}，B＝.
(1)当a＝1时，求(∁RB)∪A；
(2)若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，A＝{x|0<2x＋1≤3}＝.
∵B＝，
∴∁RB＝.
∴(∁RB)∪A＝{x|x≤1或x≥2}．
(2)若A∩B＝A，则A⊆B.
∵A＝{x|0<2x＋a≤3}＝，
∴解得－1<a≤1.
∴实数a的取值范围是(－1,1]．
14．设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<0}．
(1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B；
(2)若(∁RA)∩B＝B，求实数a的取值范围．
解 (1)∵A＝，
当a＝－4时，B＝{x|－2<x<2}，
∴A∩B＝，A∪B＝{x|－2<x≤3}．
(2)∁RA＝，
当(∁RA)∩B＝B时，B⊆∁RA，即A∩B＝∅.
①当B＝∅，即a≥0时，满足B⊆∁RA；
②当B≠∅，即a<0时，B＝{x|－<x<}，要使B⊆∁RA，需≤，解得－≤a<0.
综上可得，实数a的取值范围是a≥－.
一、选择题
1．(2019·江西重点中学盟校第一次联考)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝，则A∩B＝( )
A．{2,3} B．{1,2,3,4}
C．{1,2,3} D．{1,2,3,5}
答案 A
解析 解不等式>0得1<x<4，所以B＝＝{2,3}，因为A＝{1,2,3,4,5}，所以A∩B＝{2,3}．故选A.
2．(2019·宁夏石嘴山三中三模)若集合A＝{1，x,4}，B＝{1，x2}，且B⊆A，则x＝( )
A．2 B．2，－2 C．2，－2,0 D．2，－2,0,1
答案 C
解析 因为B⊆A，所以x2∈{1，x,4}．当x2＝1时，与B＝{1，x2}矛盾；当x2＝x时，x＝0或x＝1(与A＝{1，x,4}矛盾，舍去)，即x＝0时，满足B⊆A；当x2＝4时，x＝2或x＝－2，都满足B⊆A.所以x＝0或x＝2或x＝－2.故选C.
3．(2019·安徽定远月考)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x<a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(3，＋∞)
答案 D
解析 由题意得A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，又A∩B＝A，则A⊆B，数形结合得a>3，故选D.
4. 若集合M，N，P是全集S的子集，则图中阴影部分表示的集合是( )
A．(M∩N)∩∁SP
B．(M∩N)∪P
C．(M∩N)∩P
D．(M∩N)∪∁SP
答案 A
解析 图中阴影部分表示的集合是(M∩N)∩∁SP.
5．集合M＝，N＝，则( )
A．M＝N B．M⊇N
C．M⊆N D．M∩N＝∅
答案 C
解析 集合M＝，N＝，2k＋1是奇数，k＋2是整数，所以M⊆N.
6．已知集合M＝，N＝，则M∩N＝( )
A．∅ B．{(3,0)，(0,2)}
C．[－2,2] D．[－3,3]
答案 D
解析 因为集合M＝{x|－3≤x≤3}，N＝R，所以M∩N＝[－3,3]，故选D.
7．(2019·内蒙古呼和浩特六中月考)设A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围是( )
A．[1,3] B．[1，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(1,3)
答案 B
解析 ∵A∪B＝A，∴B⊆A，当B＝∅时，2a＞a＋3，解得a＞3；当B≠∅时，解得1≤a≤3.综上有a≥1，故选B.
8．(2019·安徽定远重点中学期中)设A是自然数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k2∉A，且∉A，那么k是A的一个“酷元”，给定S＝{x∈N|y＝lg (36－x2)}，设M⊆S，且集合M中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
答案 C
解析 依题意得S＝{0,1,2,3,4,5}，由题意知，集合M不能含有0,1，也不能同时含有2,4，即集合M可以是{2,3}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，共5个．故选C.
二、填空题
9．已知集合A＝{x|x2＋x＝0}，若集合B满足{0}B⊆A，则集合B＝________.
答案 {－1,0}
解析 ∵解方程x2＋x＝0，得x＝－1或x＝0，∴集合A＝{－1,0}，又集合B满足{0}B⊆A，∴集合B＝{－1，0}．
10．已知全集为R，集合A＝，B＝{x|x2－x－2>0}，则A∩(∁RB)＝________.
答案 [0,2]
解析 A＝{x|x≥0}，B＝{x|x>2或x<－1}，∁RB＝{x|－1≤x≤2}，A∩(∁RB)＝{x|0≤x≤2}．
11．(2019·山西晋城二模)若集合A＝{x|x≥3－2a}，B＝{x|(x－a＋1)(x－a)≥0}，A∪B＝R，则a的取值范围为________．
答案
解析 因为A＝{x|x≥3－2a}，B＝{x|x≥a或x≤a－1}，A∪B＝R，所以3－2a≤a－1，解得a≥.
12．有54名学生，其中会打篮球的有36人，会打排球的人数比会打篮球的人数多4人，另外这两种球都不会的人数比都会的人数的还少1，则既会打篮球又会打排球的人数为________．
答案 28
解析 设54名学生组成的集合为I，组成会打篮球的同学的集合为A，组成会打排球的同学的集合为B，作出相应的Venn图(如图)，
则两种球都会打的同学集合为A∩B，并设此集合的元素个数为x，则两种球都不会的同学集合为(∁IA)∩(∁IB)，其元素个数为x－1；只会打篮球的同学集合为A∩(∁IB)，其元素个数为36－x；只会打排球的同学集合为(∁IA)∩B，其元素个数为40－x，则(36－x)＋(40－x)＋x＋＝54，解得x＝28，所以既会打篮球又会打排球的有28人．
三、解答题
13．设非空集合A＝{x|－2≤x≤a}，B＝{y|y＝2x＋3，x∈A}，C＝{y|y＝x2，x∈A}，若B∪C＝B，求实数a的取值范围．
解 因为A＝{x|－2≤x≤a}，B＝{y|y＝2x＋3，x∈A}，
所以B＝{y|－1≤y≤2a＋3}．
又B∪C＝B，所以C⊆B.
①当－2≤a<0时，C＝{y|a2≤y≤4}，
所以2a＋3≥4，所以a≥，与条件矛盾；
②当0≤a≤2时，C＝{y|0≤y≤4}，
所以4≤2a＋3，解得a≥，此时≤a≤2；
③当a>2时，C＝{y|0≤y≤a2}，
所以a2≤2a＋3，可得－1≤a≤3，此时2<a≤3.
综合①②③，实数a的取值范围为.
14．已知三个集合A＝{x∈R|log3(x2－5x＋9)＝1}，B＝{x∈R|2x2－4＝1}，C＝{x∈R|x2－ax＋a2－19>0}．
(1)求A∩B；
(2)已知A∩C＝∅，B∩C＝∅，求实数a的取值范围．
解 (1)∵A＝{x∈R|x2－5x＋9＝3}＝{2,3}，
B＝{x∈R|x2－4＝0}＝{2，－2}，∴A∩B＝{2}．
(2)∵A∩C＝∅，B∩C＝∅，
∴2∉C，－2∉C,3∉C，
∵C＝{x∈R|x2－ax＋a2－19>0}，
∴即
解得－2≤a≤3.
所以实数a的取值范围是[－2,3]．
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