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课时跟踪练(五)
A组 基础巩固
1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )
A．y＝2－x B．y＝x
C．y＝log2x D．y＝－
解析：只有y＝2－x与y＝x的定义域为R.
且y＝2－x是减函数，y＝x是增函数．
答案：B
2．已知函数f(x)＝ax＋logax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为( )
A. B. C．2 D．4
解析：f(x)＝ax＋logax在[1，2]上是单调函数，
所以f(1)＋f(2)＝loga2＋6，
即a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，
即(a－2)(a＋3)＝0，又a＞0，所以a＝2.
答案：C
3．(2019·湖北省高三起点调研)函数f(x)＝loga(x2－4x－5)(a>1)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)
C．(2，＋∞) D．(5，＋∞)
解析：由x2－4x－5>0，得x>5或x<－1.
且t＝x2－4x－5在区间(5，＋∞)上单调递增．
又y＝logat(a>1)在(0，＋∞)上是增函数．
所以f(x)的单调增区间是(5，＋∞)．
答案：D
4．(2019·唐山二模)函数y＝，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是( )
A．(1，2) B．(－1，2)
C．[1，2) D．[－1，2)
解析：函数y＝＝＝－1在区间(－1，＋∞)上是减函数．
当x＝2时，y＝0.
根据题意x∈(m，n]时，ymin＝0.
所以m的取值范围是－1＜m＜2.
答案：B
5．设函数f(x)＝若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，2]
C．[2，6] D．[2，＋∞)
解析：易知函数f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是增函数．
因为f(a＋1)≥f(2a－1)，
所以a＋1≥2a－1，解得a≤2.
故实数a的取值范围是(－∞，2]．
答案：B
6．函数f(x)＝－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．
解析：由于y＝在R上递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上递增，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3.
答案：3
7．设函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a的取值范围是________．
解析：f(x)＝＝a－，
因为函数f(x)在区间(－2，＋∞)上是增函数，
所以即即a≥1.
答案：[1，＋∞)
8．已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)＜2，则实数x的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)＜2得，f(x2－4)＜f(1)，所以0＜x2－4＜1，解得－＜x＜－2或2＜x＜.
答案：(－，－2)∪(2，)
9．已知函数f(x)＝－(a＞0，x＞0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．
(1)证明：设任意x2＞x1＞0，则x2－x1＞0，x1x2＞0，
因为f(x2)－f(x1)＝－＝－＝＞0，
所以f(x2)＞f(x1)，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)解：因为f(x)在上的值域是，又由(1)得f(x)在上是单调增函数，
所以f＝，f(2)＝2，易知a＝.
10．函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0<a<1)．
(1)求方程f(x)＝0的解；
(2)若函数f(x)的最小值为－1，求a的值．
解：(1)由得－3<x<1.
所以f(x)的定义域为(－3，1)．
f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3)．
令f(x)＝0，得－x2－2x＋3＝1，
解得x＝－1－或x＝－1＋，
经检验均满足原方程成立．
故f(x)＝0的解为x＝－1±.
(2)由(1)得f(x)＝loga[－(x＋1)2＋4]，x∈(－3，1)．
由于0<－(x＋1)2＋4≤4，且a∈(0，1)，
所以loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4.
因为函数f(x)的最小值为－1，所以loga4＝－1，解得a＝，
所以实数a的值为.
B组 素养提升
11．(2019·安阳一模)已知函数f(x)满足：①对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，都有>0；②对定义域内的任意x，都有f(x)＝f(－x)，则符合上述条件的函数是( )
A．f(x)＝x2＋|x|＋1 B．f(x)＝－x
C．f(x)＝ln|x＋1| D．f(x)＝cos x
解析：依题意知，f(x)是偶函数，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，显然，B中f(x)是奇函数，C中是非奇非偶函数，D中，f(x)＝cos x在(0，＋∞)上不单调，只有A满足．
答案：A
12．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2，2] B．[－1，1]
C．[0，4] D．[1，3]
解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
因为f(1)＝－1，所以f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．
又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，所以－1≤x－2≤1，
所以1≤x≤3.
答案：D
13．(2019·蚌埠二模)已知单调函数f(x)，对任意的x∈R都有f[f(x)－2x]＝6，则f(2)＝________．
解析：设t＝f(x)－2x，则f(x)＝2x＋t，f(t)＝6，且令x＝t，
则f(t)＝2t＋t＝6，因为f(x)是单调函数，f(2)＝22＋2＝6.
所以t＝2，即f(x)＝2x＋2，则f(2)＝4＋2＝6.
答案：6
14．已知函数f(x)＝a－.
(1)求f(0)；
(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)＜f(2)的x的范围．
解：(1)f(0)＝a－＝a－1.
(2)因为f(x)的定义域为R，
所以任取x1，x2∈R且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝，
因为y＝2x在R上单调递增且x1＜x2，
所以0＜2x1＜2x2，所以2x1－2x2＜0，2x1＋1＞0，2x2＋1＞0.
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
所以f(x)在R上单调递增．
(3)因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
即a－＝－a＋，
解得a＝1(或用f(0)＝0去解)．
所以f(ax)＜f(2)即为f(x)＜f(2)，
又因为f(x)在R上单调递增，所以x＜2.
所以不等式的解集为(－∞，2)．
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