2020届高考数学总复习课时跟踪练五函数的单调性与最值文含解析新人教A版.doc

课时跟踪练(五)
A组　基础巩固
1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是(　　)
A．y＝2－x B．y＝x
C．y＝log2x D．y＝－
解析：只有y＝2－x与y＝x的定义域为R.
且y＝2－x是减函数，y＝x是增函数．
答案：B
2．已知函数f(x)＝ax＋logax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为(　　)
A. B. C．2 D．4
解析：f(x)＝ax＋logax在[1，2]上是单调函数，
所以f(1)＋f(2)＝loga2＋6，
即a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，

即(a－2)(a＋3)＝0，又a＞0，所以a＝2.
答案：C
3．(2019·湖北省高三起点调研)函数f(x)＝loga(x2－4x－5)(a>1)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)
C．(2，＋∞) D．(5，＋∞)
解析：由x2－4x－5>0，得x>5或x<－1.
且t＝x2－4x－5在区间(5，＋∞)上单调递增．
又y＝logat(a>1)在(0，＋∞)上是增函数．
所以f(x)的单调增区间是(5，＋∞)．
答案：D
4．(2019·唐山二模)函数y＝，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是(　　)
A．(1，2) B．(－1，2)
C．[1，2) D．[－1，2)
解析：函数y＝＝＝－1在区间(－1，＋∞)上是减函数．
当x＝2时，y＝0.
根据题意x∈(m，n]时，ymin＝0.
所以m的取值范围是－1＜m＜2.
答案：B
5．设函数f(x)＝若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．(－∞，2]
C．[2，6] D．[2，＋∞)
解析：易知函数f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是增函数．
因为f(a＋1)≥f(2a－1)，
所以a＋1≥2a－1，解得a≤2.
故实数a的取值范围是(－∞，2]．
答案：B
6．函数f(x)＝－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．
解析：由于y＝在R上递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上递增，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3.
答案：3
7．设函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a的取值范围是________．
解析：f(x)＝＝a－，
因为函数f(x)在区间(－2，＋∞)上是增函数，
所以即即a≥1.
答案：[1，＋∞)
8．已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)＜2，则实数x的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)＜2得，f(x2－4)＜f(1)，所以0＜x2－4＜1，解得－＜x＜－2或2＜x＜.
答案：(－，－2)∪(2，)
9．已知函数f(x)＝－(a＞0，x＞0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．
(1)证明：设任意x2＞x1＞0，则x2－x1＞0，x1x2＞0，
因为f(x2)－f(x1)＝－＝－＝＞0，
所以f(x2)＞f(x1)，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)解：因为f(x)在上的值域是，又由(1)得f(x)在上是单调增函数，

所以f＝，f(2)＝2，易知a＝.
10．函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0＋4≤4，且a∈(0，1)，
所以loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4.
因为函数f(x)的最小值为－1，所以loga4＝－1，解得a＝，
所以实数a的值为.
B组　素养提升
11．(2019·安阳一模)已知函数f(x)满足：①对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，都有>0；②对定义域内的任意x，都有f(x)＝f(－x)，则符合上述条件的函数是(　　)
A．f(x)＝x2＋|x|＋1 B．f(x)＝－x
C．f(x)＝ln|x＋1| D．f(x)＝cos x
解析：依题意知，f(x)是偶函数，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，显然，B中f(x)是奇函数，C中是非奇非偶函数，D中，f(x)＝cos x在(0，＋∞)上不单调，只有A满足．
答案：A
12．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)
A．[－2，2] B．[－1，1]
C．[0，4] D．[1，3]
解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
因为f(1)＝－1，所以f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．
又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，所以－1≤x－2≤1，
所以1≤x≤3.
答案：D
13．(2019·蚌埠二模)已知单调函数f(x)，对任意的x∈R都有f[f(x)－2x]＝6，则f(2)＝________．
解析：设t＝f(x)－2x，则f(x)＝2x＋t，f(t)＝6，且令x＝t，
则f(t)＝2t＋t＝6，因为f(x)是单调函数，f(2)＝22＋2＝6.
所以t＝2，即f(x)＝2x＋2，则f(2)＝4＋2＝6.
答案：6
14．已知函数f(x)＝a－.
(1)求f(0)；
(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)＜f(2)的x的范围．
解：(1)f(0)＝a－＝a－1.
(2)因为f(x)的定义域为R，
所以任取x1，x2∈R且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝，
因为y＝2x在R上单调递增且x1＜x2，
所以0＜2x1＜2x2，所以2x1－2x2＜0，2x1＋1＞0，2x2＋1＞0.
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
所以f(x)在R上单调递增．
(3)因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
即a－＝－a＋，
解得a＝1(或用f(0)＝0去解)．
所以f(ax)＜f(2)即为f(x)＜f(2)，
又因为f(x)在R上单调递增，所以x＜2.
所以不等式的解集为(－∞，2)．