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课时跟踪练(二十七)
A组 基础巩固
1．已知下列各式：①＋＋；②＋＋＋；③＋＋＋；④－＋－，其中结果为零向量的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：由题知结果为零向量的是①④.
答案：B
2．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的是( )
A．a＝2b B．a∥b
C．a＝－b D．a⊥b
解析：由＋＝0得＝－≠0，即a＝－·|a|≠0，则a与b共线且方向相反，因此当向量a与向量b共线且方向相反时，能使＋＝0成立．
观察选项，C项中a，b共线且方向相反．
答案：C
3．已知＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则下列一定共线的三点是( )
A．A，B，C B．A，B，D
C．B，C，D D．A，C，D
解析：因为＝＋＋＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3，又，有公共点A，所以A，B，D三点共线．
答案：B
4．(2019·辽宁葫芦岛模拟)在△ABC中，G为重心，记＝a，＝b，则＝( )
A.a－b B.a＋b
C.a－b D.a＋b
解析：因为G为△ABC的重心，
所以＝(＋)＝a＋b，
所以＝＋＝－b＋a＋b＝a－b.
答案：A
5．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )
A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a
解析：对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．
答案：B
6．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2＝2＋，则( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的反向延长线上
C．点P在线段AB的延长线上
D．点P不在直线AB上
解析：因为2＝2＋，所以2＝，所以点P在线段AB的反向延长线上．
答案：B
7.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：因为O为BC的中点，
所以＝(＋)
＝(m＋n)＝＋，
因为M，O，N三点共线，所以＋＝1，所以m＋n＝2.
答案：B
8．(2019·广州模拟)设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：因为D为AB的中点，则＝(＋)，
又＋＋2＝0，
所以＝－，所以O为CD的中点．
又因为D为AB的中点，
所以S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，
则＝4.
答案：B
9.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有________个．
解析：根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量相等的向量有，，，共3个．
答案：3
10．(2019·河北武邑中学质检)在锐角△ABC中，＝3 ，＝x＋y(x，y∈R)，则＝________．
解析：由题设可得＋＝3(－)，
即4＝3＋，
亦即＝＋，
则x＝，y＝.故＝3.
答案：3
11．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．
解析：因为λa＋b与a＋2b平行，所以 λa＋b＝t(a＋2b)，
即λa＋b＝ta＋2tb，所以 解得
答案：
12．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
解析：＝＋＝＋
＝＋(－)＝－＋，
因为＝λ1＋λ2，
所以λ1＝－，λ2＝，
因此λ1＋λ2＝.
答案：
B组 素养提升
13．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为( )
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或－
解析：由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k<0)成立，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．
整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.
由于a，b不共线，所以有
整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.
又因为k<0，所以λ<0，故λ＝－.
答案：B
14．(2019·孝感二模)设D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，则＋2＋3＝( )
A. B.
C. D.
解析：因为D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，所以＋2＋3＝(＋)＋2×(＋)＋3×(＋)＝＋＋＋＋＋＝＋＋＝＋＝.
答案：D
15．已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________．
解析：由已知条件得＋＝－，如图，延长AM交BC于D点，则D为BC的中点．
同理，E、F分别是AC、AB的中点，
因此点M是△ABC的重心．
所以＝＝(＋)，则m＝3.
答案：3
16．(2019·中原名校联考)如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝________
解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝－，所以λ＝，μ＝－，故λ2＋μ2＝＋＝.
答案：
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