2022年高考数学一轮复习热点难点精讲精析选修系列(第3部分几何证明选讲).docx

2022年高考一轮复习热点难点精讲精析：
选修系列〔第3局部：几何证明选讲〕
一、相似三角形的判定及有关性质
〔一〕平行线〔等〕分线段成比例定理的应用
〖例〗如图，F为边上一点，连DF交AC于G，延长DF交CB的延长线于E。求证：DG·DE=DF·EG
思路解析：由于条件中有平行线，考虑平行线〔等〕分线段定理及推论，利用相等线段〔平行四边形对边相等〕，经中间比代换，证明线段成比例，得出等积式。
解答：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，AD=BC，∵AD∥BC，∴，
又∵AB∥DC，∴∴，即DG·DE=DF·EG。
〔二〕相似三角形判定定理的应用
〖例〗如图，BD、CE是⊿ABC的高，求证：⊿ADE∽⊿ABC。
解答：
〔三〕相似三角形性质定理的应用
〖例〗⊿ABC是一块锐角三角形余料，边BC=12cm，高AD=8cm,要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求这个正方形的边长。
思路解析：利用相似三角形的性质定理找到所求正方形边长与条件的关系即可解得。
解答：设正方形PQMN为加工成的正方形零件，边QM在BC上，顶点P、N分别在AB、AC上，⊿ABC的高AD与边PN相交于点E，设正方形的边长为xcm，
∵PN∥BC，∴⊿APN∽⊿ABC。∴∴。解得x=4.8(cm).
答：加工成的正方形零件的边长为4.8cm。
〔四〕直角三角形射影定理的应用
〖例〗如图，在Rt⊿ABC中，∠BAC=900，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，求证：AD3=BC·BE·CF。
思路解析：题目中有直角三角形和斜边上的高符合直角三角形射影定理的两个条件，选择适宜的直角三角形是解决问题的关键。
解答：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=900，在Rt⊿ADB中，∵DE⊥AB，由射影定理得BD2=BE·AB，
同理CD2=CF·AC，∴BD2·CD2= BE·AB·CF·AC ①
又在Rt⊿ABC中，AD⊥BC，∴AD2=BD·DC ②
由①②得AD4= BD2·CD2 =BE·AB·CF·AC= BE·AB·AD·BC
∴AD3=BC·BE·CF
二、直线与圆的位置关系
〔一〕圆周角定理的应用
〖例〗如图，⊙是⊿ABC的外接圆，CD是AB边上的高，AE是⊙的直径。求证：AC·BC=AE·CD。
解答：连接EC，
∴∠B=∠E。∵AE是⊙的直径，∴∠ACE=900。∵CD是AB边上的高，∴∠CDB=900。在⊿AEC与⊿CBD中，∠E=∠B，∠ACE=∠CDB，∴⊿AEC∽⊿CBD。∴，即AC·BC=AE·CD。
〔二〕圆内接四边形及判定定理的应用
〖例〗如图，AP是⊙的切线，P为切点，AC是⊙的割线，与⊙交于B，C两点，圆心在∠PAC的内部，点M是BC的中点。
〔1〕证明：A，P，，M四点共圆；
〔2〕求∠OAM+∠APM的大小。
思路解析：要证A、P、、M四点共圆，可考虑四边形APOM的对角互补；根据四点共圆，同弧所对的圆周角相等，进行等量代换，进而求出∠OAM+∠APM的大小。
解答：〔1〕连接OP，OM，
因为AP与⊙相切于点P，所以OP⊥AP，因为M是⊙的弦BC的中点，所以OM⊥BC，于是∠OPA+∠OMA=1800。由圆心在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆。
〔2〕由〔1〕得A，P，，M四点共圆，所以∠OAM=∠OPM，由〔1〕得OP⊥AP，由圆心在∠PAC的内部，可知∠OPM+∠APM=900，所以∠OPM+∠APM=900。
〔三〕圆的切线的性质及判定的应用
〖例〗AB是⊙的直径，BC是⊙的切线，切点为B，OC平行于弦AD〔如图〕。求证：DC是⊙的切线。
解答：连接OD。
∵OA=OD，∴∠1=∠2，∵AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠3=∠4。又OB=OD，OC=OC，∴⊿OBC≌⊿ODC，∴∠OBC=∠ODC。∵BC是⊙的切线，∴∠OBC=900，∴∠ODC=900，∴DC是⊙的切线。
〔四〕与圆有关的比例线段
〖例〗如下列图，⊙与⊙相交于A、B两点，过点A作⊙的切线交⊙于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙、⊙于点D、E，DE与AC相交于点P。
〔1〕求证：AD∥EC；
〔2〕假设AD是⊙的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长。
解答：〔1〕连接AB，
∵AC是⊙的切线，∴∠BAC=∠D。又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC。
〔2〕设BP=x,PE=y.∵PA=6，PC=2，∴由相交弦定理得PA·PC=BP·PE，xy=12 ①
∵AD∥EC,∴②
由①②可得，，
∴DE=9+x+y=16.
∵AD是⊙的切线，DE是⊙的割线，∴AD2=DB·DE=9×16，∴AD=12。