2022高考数学一轮复习统考第5章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用课时作业含解析北师大版.doc

第3讲 平面向量的数量积及应用
课时作业
1．(2022·吉林市调研)如果向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，那么以下结论正确的选项是(　　)
A．|a|＝|b| B．a·b＝2
C．(a－b)⊥b D．a∥b
答案　C
解析　|a|＝2，|b|＝，A错误；a·b＝2，B错误；(a－b)·b＝(1，－1)·(1,1)＝0，∴(a－b)⊥b，C正确．应选C.
2．假设|a|＝2，|b|＝，a与b的夹角θ＝150°，那么a·(a－b)＝(　　)
A．1 B．－1
C．7 D．－7
答案　C
解析　a·(a－b)＝a2－a·b＝4－2××＝7.应选C.
3．(2022·全国卷Ⅱ)＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，那么·＝(　　)
A．－3 B．－2
C．2 D．3
答案　C
解析　∵＝－＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)，||＝1，∴＝1，∴t＝3，∴＝(1,0)，∴·＝2×1＋3×0＝2.应选C.
4．如下图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，那么·＝(　　)
A．2 B.
C. D.
答案　D
解析　·＝(＋)·＝·＋·＝·＝·＝||||·cos∠BDA＝||2＝.应选D.
5．向量＝，＝，那么∠ABC＝(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．120°
答案　A
解析　cos∠ABC＝＝，所以∠ABC＝30°.应选A.
6．(2022·郑州模拟)向量a与b的夹角为，|a|＝，那么a在b方向上的投影为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　∵a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝cos＝.应选C.
7．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，那么a·b＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．5
答案　A
解析　由|a＋b|＝得a2＋b2＋2a·b＝10，①
由|a－b|＝得a2＋b2－2a·b＝6，②
①－②得4a·b＝4，所以a·b＝1.应选A.
8．(2022·山东济南模拟)非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.假设n⊥(tm＋n)，那么实数t的值为(　　)
A．4 B．－4
C. D．－
答案　B
解析　由n⊥(tm＋n)可得n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，所以t＝－＝－＝－＝－3×＝－3×＝－4.应选B.
9．(2022·北京高考)设点A，B，C不共线，那么“与的夹角为锐角〞是“|＋|>||〞的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　因为点A，B，C不共线，由向量加法的三角形法那么，可知＝－，所以|＋|>||等价于|＋|>|－|，因模为正，故不等号两边平方得2＋2＋2||||cosθ>2＋2－2||·||cosθ(θ为与的夹角)，整理得4||||·cosθ>0，故cosθ>0，即θ为锐角．又以上推理过程可逆，所以“与的夹角为锐角〞是“|＋|>||〞的充分必要条件．应选C.
10．(2022·温州模拟)如图，△AOB为等腰直角三角形，OA＝1，OC为斜边AB的高，点P在射线OC上，那么·的最小值为(　　)
A．－1 B．－
C．－ D．－
答案　B
解析　设||＝t≥0，因为＝－，那么·＝(－)·＝2－·＝t2－t＝2－≥－，当t＝时取等号，所以·的最小值为－.应选B.
11．向量a，b满足|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，那么|b|的取值范围为(　　)
A．[1,2] B．[2,4]
C. D.
答案　D
解析　由题意知b≠0，设向量a，b的夹角为θ，因为(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝0，又|a|＝1，所以1－|b|cosθ－2|b|2＝0，所以|b|cosθ＝1－2|b|2.因为－1≤cosθ≤1，所以－|b|≤1－2|b|2≤|b|，所以≤|b|≤1，所以|b|的取值范围是.
12．(2022·天津高考)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.假设点E为边CD上的动点，那么·的最小值为(　　)
A. B.
C. D．3
答案　A
解析　解法一：如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，那么A(1，0)，B，C(0，)，令E(0，t)，t∈[0，]，∴·＝(－1，t)·＝t2－t＋，
∵t∈[0，]，∴当t＝－＝时，·取得最小值，(·)min＝－×＋＝.应选A.
解法二：令＝λ(0≤λ≤1)，由可得DC＝，
∵＝＋λ，
∴＝＋＝＋＋λ，
∴·＝(＋λ)·(＋＋λ)
＝·＋||2＋λ·＋λ2||2
＝3λ2－λ＋.
当λ＝－＝时，·取得最小值.
13．(2022·全国卷Ⅲ)向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，那么cos〈a，b〉＝________.
答案　－
解析　∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，|a|＝＝2，|b|＝＝10.∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
14．(2022·南宁模拟)平面向量α，β，且|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，那么|2α＋β|＝________.
答案　
解析　由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0，所以α·β＝，所以(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4×12＋22＋4×＝10，所以|2α＋β|＝.
15．(2022·江苏高考)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.假设·＝6·，那么的值是________．
答案　
解析　解法一：如图1，过点D作DF∥CE交AB于点F，由D是BC的中点，可知F为BE的中点．又BE＝2EA，那么知EF＝EA，从而可得AO＝OD，那么有＝＝(＋)，＝－＝－，∴6·＝(＋)·＝2－2＋·＝·，整理可得2＝32，∴＝.
解法二：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图2所示．
设E(1,0)，C(a，b)，那么
B(3,0)，D.
⇒O.
∵·＝6·，
∴(3,0)·(a，b)＝6·(a－1，b)，
即3a＝6，
∴a2＋b2＝3，∴AC＝.∴＝＝.
16．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为线段BC上的点，那么·的最小值为________．
答案　
解析　解法一：如图，设＝λ(0≤λ≤1)，
那么＝＋λ，
＝＋＝＋(λ－1)，
∴·＝(＋λ)·[＋(λ－1)]．
又||＝2，||＝1，且AB⊥BC即·＝0，
∴·＝4＋λ(λ－1)＝λ2－λ＋4＝2＋.
∴当λ＝时，·的最小值为.
解法二：如图建立平面直角坐标系，那么A(0,0)，B(2,0)，D(0,1)，
设E(2，y)(0≤y≤1)，
那么＝(2，y)，＝(2，y－1)，
∴·＝y2－y＋4＝2＋.
∴当y＝时，·的最小值为.