资源描述
平面向量的根本定理及坐标表示
课时作业
1．向量a，b满足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，那么b＝( )
A．(－3,4) B．(3,4)
C．(3，－4) D．(－3，－4)
答案 A
解析 由a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，所以b＝(－6,8)＝(－3,4)．
2．A(1,4)，B(－3,2)，向量＝(2,4)，D为AC的中点，那么＝( )
A．(1,3) B．(3,3)
C．(－3，－3) D．(－1，－3)
答案 B
解析 设C(x，y)，那么＝(x＋3，y－2)＝(2,4)，所以解得即C(－1,6)．
由D为AC的中点可得点D的坐标为(0,5)，所以＝(0＋3,5－2)＝(3,3)．
3．(2022·吉林白山模拟)AC为平行四边形ABCD的一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，那么＝( )
A．(2,4) B．(3,7)
C．(1,1) D．(－1，－1)
答案 D
解析 ∵＝－＝(－1，－1)，∴＝＝(－1，－1)．
4．向量与向量a＝(1，－2)反向共线，||＝2，点A的坐标为(3，－4)，那么点B的坐标为( )
A．(1,0) B．(0,1)
C．(5，－8) D．(－8,5)
答案 A
解析 依题意，设＝λa，其中λ<0，那么有||＝|λa|＝－λ|a|，即2＝－λ，∴λ＝－2，∴＝－2a＝(－2,4)，因此点B的坐标是(－2,4)＋(3，－4)＝(1,0)．应选A.
5．点O为正六边形ABCDEF的中心，那么可作为基底的一对向量是( )
A.， B.，
C.， D.，
答案 B
解析 如图，在正六边形ABCDEF中，与，与，与共线，不能作为基底向量，与不共线，可以作为基底向量．应选B.
6．在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP＝AB，BQ＝BC，假设＝a，＝b，那么P＝( )
A.a＋b B．－a＋b
C.a－b D．－a－b
答案 A
解析 由题意知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
7．假设α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，那么称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标．现向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，那么a在基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为( )
A．(2,0) B．(0，－2)
C．(－2,0) D．(0,2)
答案 D
解析 由，可得a＝－2p＋2q＝(－2,2)＋(4,2)＝(2,4)．设a＝xm＋yn，那么(2,4)＝x(－1,1)＋y(1,2)＝(－x＋y，x＋2y)，∴解得x＝0，y＝2.应选D.
8．(2022·德州模拟)如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，那么向量a可用基底e1，e2表示为( )
A．e1＋e2 B．－2e1＋e2
C．2e1－e2 D．2e1＋e2
答案 B
解析 由题意可取e1＝(1,0)，e2＝(－1,1)，a＝(－3,1)，设a＝xe1＋ye2＝x(1,0)＋y(－1,1)＝(x－y，y)，即解得故a＝－2e1＋e2.
9．在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面第一象限内一点且∠AOC＝，|OC|＝2，假设 ＝λ＋μ，那么λ＋μ＝( )
A．2 B.
C．2 D．4
答案 A
解析 因为|OC|＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又因为＝λ＋μ，所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，所以λ＋μ＝2.
10．(2022·益阳市高三期末)在△ABC中，M为AC的中点，＝，＝x＋y，那么x＋y＝( )
A．1 B.
C. D.
答案 B
解析 如图，∵M为AC的中点，＝，
∴＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.
又＝x＋y，且，不共线，
∴根据平面向量根本定理得，x＝－1，y＝，
∴x＋y＝.应选B.
11．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，假设＝x＋(1－x)，那么x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 解法一：由有＋＝x＋－x，那么＝x(－)＝x＝－3x，
因为0<－3x<1，所以x∈.
解法二：设＝y，因为＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y).
因为＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，所以y∈.因为＝x＋(1－x)，
所以x＝－y，所以x∈.应选D.
12．在等腰直角△ABC中，AC＝BC，D在AB边上且满足＝t＋(1－t)，假设∠ACD＝60°，那么t的值为( )
A. B.－1
C. D.
答案 A
解析 由题意知∠ACB＝90°，建立如下图的平面直角坐标系，设AC＝BC＝1，那么C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，直线AB的方程为x＋y＝1，直线CD的方程为y＝x，联立解得，x＝，y＝，故D，故＝，＝(1,0)，＝(0,1)，故＝t＋(1－t)＝(t,1－t)，故＝(t,1－t)，故t＝.
13．(2022·江苏无锡模拟)向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，假设ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，那么m－n的值为________．
答案 －3
解析 ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
∴∴∴m－n＝2－5＝－3.
14．梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，那么点D的坐标为________．
答案 (2,4)
解析 因为在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，所以＝2.
设点D的坐标为(x，y)，
那么＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)，
＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，
所以(4－x,2－y)＝2(1，－1)，
即(4－x,2－y)＝(2，－2)，
所以解得故点D的坐标为(2,4)．
15．向量a，b，c在正方形网格中的位置如下图．假设c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，那么＝________.
答案 4
解析 以向量a和b的交点为坐标原点建立如下图的坐标系，设每个小正方形的边长为1个单位，那么A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，所以a＝＝(－1，1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．由c＝λa＋μb可得
解得所以＝4.
16．(2022·石家庄重点高中摸底)在▱ABCD中，M为BC的中点，假设＝λ＋μ，那么λμ＝________.
答案
解析 ＝＋＝＋，①
＝＋＝－，②
由①②消去得2＋＝3，
即＝＋，∴λ＝，μ＝.故λμ＝.
17．a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)假设＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．
解 (1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，
∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，∴k＝－.
(2)＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)．
＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝.
18．假设点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)假设N为AB的中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，求x，y的值．
解 (1)由＝＋，可知M，B，C三点共线．
如图令＝λ得＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，所以λ＝，所以＝，即面积之比为1∶4.
(2)由＝x＋y得＝x＋，＝＋y，
由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线
⇒⇒
19．(2022·启东模拟)如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．
(1)设＝λ，将用λ，，表示；
(2)设＝x，＝y，证明：＋是定值．
解 (1)＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.
(2)证明：由(1)，得＝(1－λ)＋λ
＝(1－λ)x＋λy，①
∵G是△OAB的重心，
∴＝＝×(＋)
＝＋.②
而，不共线，
∴由①②，得解得
∴＋＝3(定值)．
20．(2022·衡水中学调研)如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.假设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
解 解法一：如图，作平行四边形OB1CA1，那么＝＋，因为与的夹角为120°，与的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.
在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|OC|＝2，
所以|OB1|＝2，|B1C|＝4，
所以|OA1|＝|B1C|＝4，所以＝4＋2，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.
解法二：以O为坐标原点，建立如下图的平面直角坐标系，那么A(1,0)，B，C(3，)．
由＝λ＋μ，得解得
所以λ＋μ＝6.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
