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简单的三角恒等变换
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一、选择题
1．已知sin＝cos，则tan α＝( )
A．1 B．－1 C. D．0
B [∵sin＝cos，
∴cos α－sin α＝cos α－sin α，
即sin α＝cos α，
∴tan α＝＝－1.]
2．求值：＝( )
A．1 B．2
C. D.
C [原式＝
＝＝
＝
＝
＝＝.]
3．(2019·杭州模拟)若sin＝，则cos等于( )
A．－ B．－
C. D.
4．(2019·桐乡模拟)已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞2)的两根为tan A，tan B，且A，B∈，则A＋B＝( )
A．－ B．－
C. D.
B [由题可得，tan A＋tan B＝－3a＜－6，tan Atan B＝3a＋1＞7，所以tan A＜0，tan B＜0，所以A，B∈.因为tan(A＋B)＝＝＝1，且A＋B∈，所以A＋B＝－.]
5．若函数f(x)＝5cos x＋12sin x在x＝θ时取得最小值，则cos θ等于( )
A. B．－
C. D．－
B [f(x)＝5cos x＋12sin x
＝13＝13sin(x＋α)，
其中sin α＝，cos α＝，
由题意知θ＋α＝2kπ－(k∈Z)，
得θ＝2kπ－－α(k∈Z)，
所以cos θ＝cos＝cos
＝－sin α＝－.]
二、填空题
6．化简：＝ .
4sin α [＝
＝＝4sin α.]
7．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈，则α＋β＝ .
－π [依题意有
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
又
∴tan α＜0且tan β＜0，
∴－＜α＜0且－＜β＜0，
即－π＜α＋β＜0，结合tan(α＋β)＝1，
得α＋β＝－.]
8．函数y＝sin xcos的最小正周期是 ．
π [y＝sin xcos＝sin xcos x－sin2x＝sin 2x－·＝sin－，故函数f(x)的最小正周期T＝＝π.]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝2sin xsin.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．
[解](1)因为f(x)＝2sin x＝×＋sin 2x＝sin＋，
所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
10．已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．
[解](1)因为f(x)＝sin2x＋sin xcos x
＝－cos 2x＋sin 2x
＝sin＋，
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋.
由题意知－≤x≤m，
所以－≤2x－≤2m－.
要使f(x)在区间上的最大值为，
即sin在区间上的最大值为1，
所以2m－≥，
即m≥.
所以m的最小值为.
1．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，则α＋β＝( )
A. B.或－
C．－或 D．－
D [由题意得tan α＋tan β＝－3＜0，tan αtan β＝4＞0，所以tan(α＋β)＝＝，且tan α＜0，tan β＜0，又由α，β∈得α，β∈，所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－.]
2．若tan α＝2tan，则＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [∵cos＝cos＝sin，
∴原式＝＝＝.
又∵tan α＝2tan，∴原式＝＝3.]
3．已知A，B均为锐角，cos(A＋B)＝－，sin＝，则cos＝ .
[因为A，B均为锐角，cos(A＋B)＝－，sin＝，
所以＜A＋B＜π，＜B＋＜π，
所以sin(A＋B)＝＝，cos＝－＝－，
可得cos＝cos＝－×＋×＝.]
4．已知函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x，x∈R.
(1)求f的值；
(2)若sin α＝，且α∈，求f.
[解](1)f＝cos2＋sin cos
＝＋×＝.
(2)因为f(x)＝cos2x＋sin xcos x
＝＋sin 2x
＝＋(sin 2x＋cos 2x)＝＋sin，
所以f＝＋sin
＝＋sin＝＋.
又因为sin α＝，且α∈，
所以cos α＝－，
所以f＝＋
＝.
1．已知α∈，β∈，且cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)＝ .
－ [∵α∈，－α∈，
cos＝，∴sin＝－，
∵sin＝－，∴sin＝，
又∵β∈，＋β∈，
∴cos＝，
∴cos(α＋β)＝cos
＝×－×＝－.]
2．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．
(1)求sin 2α－tan α的值；
(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域．
[解](1)∵角α的终边经过点P(－3，)，
∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－.
(2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，
∴g(x)＝cos－2cos2x＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin－1.
∵0≤x≤，
∴－≤2x－≤.
∴－≤sin≤1，
∴－2≤2sin－1≤1，
故函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域是[－2,1]．
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