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6.1 不等式的性质及一元二次不等式
核心考点·精准研析
考点一 比较大小与不等式的性质
1.(2019·泉州模拟)若a>b>c,ac<0,则下列不等式一定成立的是 ( )
A.ab>0 B.bc<0
C.ab>ac D.b(a-c)>0
2.若a=2 0192 022×2 0222 019,b=2 0192 019×20232 022,则a b(用“>,<”填空).
3.设m=,n=,则m n(用“>,<”填空).
【解析】1.选C.因为a>b>c,ac<0,所以a>0,c<0,b的符号不确定,故A,B,D不正确,C中,a>0,故ab>ac,正确.
2.==<1,所以a<b.
答案:<
3.m-n=-=<0,所以m<n.
答案:<
1.用同向不等式求差范围的技巧
⇒⇒a-d<x-y<b-c.
这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到.
2.比较大小的三种常用方法
(1)作差法:直接作差判断正负即可.
(2)作商法:直接作商与1的大小比较,注意两式的符号.
(3)函数的单调性法:把比较的两个数看成一个函数的两个值,根据函数的单调性比较.
【秒杀绝招】
1.特殊值排除法解T1,取条件范围内的特殊值代入排除不成立的选项,即可得出正确选项.
2.转化法解T3,比较大小时可以结合函数的单调性,根据不等式的特点构造函数f(x)=解题.
考点二 一元二次不等式的解法
【典例】1.(2020·牡丹江模拟)不等式x(2-x)<0的解集是 ( )
A.(2,+∞) B.(-∞,2)
C.(0,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞)
2.若不等式ax2+2x+c<0的解集是∪,则不等式cx2-2x+a≤0的解集是 ( )
A. B.
C.[-2,3] D.[-3,2]
3.设a>1,则关于x的不等式(1-a)(x-a)<0的解集是 .
【解题导思】
序号
联想解题
1
由不等式想到x的系数变为正数后解不等式
2
由不等式的解集想到对应方程的根、根与系数的关系求系数
3
由不等式想到不等式变形、求根、根的大小写解集
【解析】1.选D.因为x(2-x)<0,
所以x(x-2)>0,所以x>2或x<0,
所以不等式的解集为(-∞,0)∪(2,+∞).
2.选C.不等式的解集是∪,
所以-和是方程ax2+2x+c=0的两个实数根,
由,解得:a=-12,c=2,
故不等式cx2-2x+a≤0,即2x2-2x-12≤0,
即x2-x-6≤0,解得-2≤x≤3,
所以所求不等式的解集是[-2,3].
3.因为a>1时,1-a<0,且a>,
则关于x的不等式可化为(x-a)>0,
解得x<或x>a,
所以不等式的解集为∪(a,+∞).
答案:∪(a,+∞)
1.解不含参数的一元二次不等式
首先将二次项的系数变为正数,若对应的方程有根,求根后根据图像写解集;若无根,直接根据图像写解集.
2.解含参数的一元二次不等式
(1)先讨论二次项系数为0的情况,二次项系数为零时不等式变为一次不等式或常数不等式,易得不等式的解集;
(2)再讨论二次项系数不为0的情况,利用“Δ”或“十字相乘法”求根,
若有根,则讨论根的大小后根据图像写解集;
若无根,则根据图像写解集.
1.(2019·西安模拟)不等式ax2+bx+c>0的解集为(-4,1),则不等式b(x2+1)-
a(x+3)+c>0的解集为( )
A.
B.
C.∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪
【解析】选B.因为不等式的解集为(-4,1),
则不等式对应方程的实数根为-4和1,且a<0;
由根与系数的关系知,,所以,
所以不等式化为3a(x2+1)-a(x+3)-4a>0,
化为3(x2+1)-(x+3)-4<0,即3x2-x-4<0,
解得-1<x<,
所以该不等式的解集为.
2.(2020·抚州模拟)设m=log0.30.6,n=log20.6,则 ( )
A.m-n>mn>m+n B.m-n>m+n>mn
C.mn>m-n>m+n D.m+n>m-n>mn
【解析】选B.因为m=log0.30.6>log0.31=0,n=log20.6<log21=0,所以mn<0,m-n>0,
因为-=-2log0.62=log0.60.25>0,=log0.60.3>0,
而log0.60.25>log0.60.3,
所以->>0,即m+n>0,
因为(m-n)-(m+n)=-2n>0,所以m-n>m+n,所以m-n>m+n>mn.
考点三 一元二次不等式恒成立问题
命
题
精
解
读
1.考什么:(1)求恒成立问题中的参数范围.
(2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养,以及数形结合、分类与整合等数学思想.
2.怎么考:与基本初等函数、导数结合考查一元二次不等式与其对应的函数、方程的关系问题.
学
霸
好
方
法
1.恒成立问题的解题思路
(1)利用等价条件直接求范围
(2)分离参数后转化为最值问题
(3)转化为相应的函数,利用函数的图像解题
(4)转换变元,利用转化后对应函数的性质解题
2.交汇问题: 与基本初等函数的定义域、值域交汇时,借助函数的性质解题.
在R上的恒成立问题
【典例】若关于x的不等式x2-ax-a>0的解集为(-∞,+∞),则实数a的取值范围为 .
【解析】设f(x)=x2-ax-a,则关于x的不等式x2-ax-a>0的解集为(-∞,+∞)⇔f(x)>0在(-∞,+∞)上恒成立⇔Δ=(-a)2-4×1×(-a)=a2+4a<0,解得-4<a<0.
答案:(-4,0)
在R上的恒成立问题列不等式组的依据是什么?
提示:在R上的恒成立,可以依据对应的二次函数的图像,列出等价条件求解.
给定区间上的恒成立问题
【典例】若不等式x2≥m+4x在[0,1]上恒成立,则实数m的取值范围是 ( )
A.(-∞,-3]∪[0,+∞) B.[-3,+∞)
C.[-3,0] D.(-∞,-3]
【解析】选D.因为不等式x2≥m+4x,在[0,1]上恒成立,
所以只需m≤(x2-4x)min,x∈[0,1],
令f(x)=x2-4x=(x-2)2-4,x∈[0,1],
所以f(x)min=f(1)=-3,
所以m≤-3.
定区间上的恒成立问题如何解?
提示:将参数分离出来后,转化为求另一侧函数的最值,是求参数范围的常用方法.
给定参数范围的恒成立问题
【典例】(2020·六安模拟)若不等式x2+px>4x+p-3,当0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是 ( )
A.[-1,3] B.(-∞,-1]
C.[3,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
【解析】选D.方法一:特殊值法:当x=-1时,由x2+px>4x+p-3,得p<4,故x=-1不符合条件,排除A,B;
当x=3时,由x2+px>4x+p-3,得p>0,故x=3不符合条件,排除C;
方法二:转换变元法:不等式变为p+x2-4x+3>0,当0≤p≤4时恒成立,
所以 即
解得x<-1或x>3.
1.在R上定义运算a※b=(a+1)b,若存在x∈[1,2]使不等式(m-x)※(m+x)<4成立,则实数m的取值范围为 ( )
A.(-3,2) B.(-1,2)
C.(-2,2) D.(1,2)
2.已知关于x的不等式x2-x+a-1≥0在R上恒成立,则实数a的取值范围是 .
【解析】1.选A.由题意知,不等式(m-x)※(m+x)<4化为(m-x+1)(m+x)<4,
即m2+m-4<x2-x;
设f(x)=x2-x,x∈[1,2],
则f(x)的最大值是f(2)=4-2=2;
令m2+m-4<2,即m2+m-6<0,
解得-3<m<2,
所以实数m的取值范围是(-3,2).
2.关于x的不等式x2-x+a-1≥0在R上恒成立,
所以二次函数的图像与x轴最多有一个交点,
所以判别式Δ=(-1)2-4(a-1)≤0,
解得a≥,所以a的取值范围为.
答案:
1.关于x的不等式x2-ax+a+3≥0在区间[-2,0]上恒成立,则实数a的取值范围是 .
【解析】由题得a≥=(x-1)++2
因为-2≤x≤0,所以-3≤x-1≤-1,
所以(x-1)++2
=-+2≤2-2=-2,
当x=-1时得到等号.所以a≥-2.
答案:a≥-2
2.要使不等式x2+(a-6)x+9-3a>0,|a|≤1恒成立,则x的取值范围为 .
【解析】不等式x2+(a-6)x+9-3a>0
变形为(x-3)a+x2-6x+9>0,
设f(a)=(x-3)a+x2-6x+9,
由|a|≤1,得-1≤a≤1,
则不等式恒成立,只需
即
解得 所以x<2或x>4.
答案:(-∞,2)∪(4,+∞)
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