初中数学函数专题总结.doc

一次函数
1、定义与定义式:
自变量x与因变量y有如下关系:y=kx+b(k,b为常数,k≠0)
则称y就是x得一次函数,特别地,当b=0时,y就是x得正比例函数。
2、一次函数得性质:
y得变化值与对应得x得变化值成正比例,比值为k,即 △y/△x=k
3、一次函数得图象及性质:
1) 作法与图形:(1)列表(一般找4-6个点);(2)描点;(3)连线,可以作出一次函数得图象。(用平滑得直线连接)
2) 性质:在一次函数图象上得任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b。
3) k,b与函数图象所在象限。
当k＞0时,直线必通过一、三象限,y随x得增大而增大;
当k＜0时,直线必通过二、四象限,y随x得增大而减小。
当b＞0时,直线必通过一、二象限;
当b＜0时,直线必通过三、四象限。
当b=0时,直线通过原点O(0,0)表示得就是正比例函数得图象。这时,当k＞0时,直线只通过一、三象限;当k＜0时,直线只通过二、四象限。
4、在y=kx+b中,两个坐标系必定经过(0,b)与(-b/k,0)两点

k>0,b>0 k>0,b<0 k<0,b>0 k<0,b<0
反比例函数
1、 反比例函数:一般地,如果两个变量x、y之间得关系可以表示成y=kx-1(k为常数,k≠0)得形式,那么称y就是x得反比例函数
反比例函数得图像为双曲线。
2、 反比例函数得概念需注意以下几点:(1)(k为常数,k≠0); (2)自变量x得取值范围就是x≠0得一切实数;(3)因变量y得取值范围就是y≠0得一切实数.
3、 因为在y=k/x(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数得图象不可能与x轴相交,也不可能与y轴相交、
4、 在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,过点P,Q分别作x轴,y轴得平行线,与坐标轴围成得矩形面积为S1,S2则S1＝S2=|K|

二次函数
1. 一般地,自变量x与因变量y,y就是x得函数之间存在如下关系:y=ax^2+bx+c (a≠0)a,b,c为常数,a≠0,则称y为x得二次函数。
2. 二次函数得三种表达式
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
顶点式:y=a(x-h)^2+k [抛物线得顶点P(h,k)] 对于二次函数y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为 (-b/2a,(4ac-b^2)/(4a))
交点式:y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1,0)与 B(x2,0)得抛物线]
其中x1,2= (-b±√(b^2－4ac))/(2a) (即一元二次方程求根公式)
注:在3种形式得互相转化中,有如下关系:
h =-b/2a
k =(4ac-b²)/4a
x1,x2 =(-b±√b²-4ac)/2a二次函数得图像
3、 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2得图像,
二次函数可以瞧出,二次函数得图像就是一条抛物线。
二次函数标准画法步骤
(在平面直角坐标系上)
(1)列表
(2)描点
(3)连线
4、 抛物线得性质
1、抛物线就是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一得交点为抛物线得顶点P。特别地,当b=0时,抛物线得对称轴就是y轴(即直线x=0)
2、抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )
当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上。
3、二次项系数a决定抛物线得开口方向与大小。
当a＞0时,抛物线向上开口;当a＜0时,抛物线向下开口。|a|越大,则抛物线得开口越小。
4、一次项系数b与二次项系数a共同决定对称轴得位置。
当a与b同号时(即ab＞0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab＜0),对称轴在y轴右。
5、常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
6、抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac＞0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b^2-4ac＜0时,抛物线与x轴没有交点。
当a>0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a;在{x|x<-b/2a}上就是减函数,在{x|x>-b/2a}上就是增函数;抛物线得开口向上;函数得值域就是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时,抛物线得对称轴就是y轴,这时,函数就是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c,
当y=0时,二次函数为关于x得一元二次方程(以下称方程),
即ax^2+bx+c=0此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点得横坐标即为方程得根。