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景德镇高专物理系景德镇高专物理系第第10章章 波动波动wave 景德镇高专物理系景德镇高专物理系本章要点：1.波动的基本概念及机械波传播的物理本质2.描写波动的物理量极其关系3.平面简谐波的波动方程4.波的能量5.惠更斯原理6.波的干涉景德镇高专物理系景德镇高专物理系振动的传播过程称为波动。波动是一种常见的物质运动形式，如空气中的声波，水面的涟漪等，这些是机械振动在媒质中的传播，称为机械波。波动并不限于机械波，太阳的热辐射，各种波段的无线电波，光波、x射线、射线等也是一种波动，这类波是周期性变化的电场和磁场在空间的传播，称为电磁波。近代物理的理论揭示，微观粒子乃至任何物质都具有波动性，这种波称为物质波。以上种种波动过程，它们产生的机制、物理本质不尽相同，但是它们却有着共同的波动规律，即都具有一定的传播速度，且都伴随着能量的传播，都能产生反射、折射、干涉和衍射等现象，并且有着共同的数学表达式。景德镇高专物理系景德镇高专物理系10.1 机械波的几个概念some concept of mechanical wave 景德镇高专物理系景德镇高专物理系10.1.1 机械波的形成mechanical wave 形成机械波必需有振源和传播振动的媒质。引起波动的初始振动物称为振源。振动赖以传播的媒介物则称为媒质。在弹性媒质中，各质点间是以弹性力互相联系着的。整个媒质在宏观上呈连续状态。当某质元A受外界扰动而偏离原来的平衡位置，其周围的质元就将对它作用一个弹性力以对抗这一扰动，使该质元回复到原来的平衡位置，并在平衡位置附近作振动。弹性力与位移之间的关系满足胡克定律。与此同时，当A偏离其平衡位置时，A点周围的质元也受到A所作用的弹性力，于是周围的质元也离开各自的平衡位置，并使周围质元对与其邻接的外围质元作用弹性力，从而由近及远地使周围质元、外围质元以及更外围质元，都在弹性力的作用下陆续振动起来。就是说，介质中一个质元的振动引起邻近质元的振动，邻近质元的振动又引起较远质元的振动，于是振动就以一定的速度由近及远地向外传播出去而形成波。应当注意，波动只是振动状态的传播，介质中各质元并不随波前进，各质元只以周期性变化的振动速度在各自的平衡位置附近振动。振动状态的传播速度称为波速。它与质元的振动速度是不同的，不要把两者混淆起来。景德镇高专物理系景德镇高专物理系10.1.2横波与纵波transverse wave longitudinal wave 机械波可分为横波与纵波两大类。质元的振动方向和波的传播方向相互垂直的波称为横波，如绳中传播的波。其外形特征是具有凸起的波峰和凹下的波谷。质元的振动方向和波的传播方向一致的波称为纵波，如空气中传播的声波。纵波的外形特征是具有“稀疏”和“稠密”的区域。尽管这两种波具有不同的特点，但其波动过程的本质却是一致的。故我们以横波为例，分析机械波的形成与传播。景德镇高专物理系景德镇高专物理系如图10-1所示，绳的一端固定，另一端握在手中并不停地上下抖动，使手拉的一端作垂直于绳索的振动，我们可以看到一个接一个的波形沿着绳索向固定端传播形成绳索上的横波。景德镇高专物理系景德镇高专物理系t1=0时刻，质元1的振动状态为：位置y1=0，速度v1=vm，现以1、2、3、4对质元进行编号。以质元1的平衡位置为坐标原点O，向上为Y轴的正向，质元依次排列的方向为X轴的正向。设在某一时刻t=0，质元1受扰动得到一向上的速度vm而开始作振幅为A的简谐振动。由于质元间弹性力的作用，在t=0以后相继的几个特定时刻，绳中各质元的位置将有如图10-1所示的排列。相应的相位为（t1+）=。t2=时刻，质元1的振动状态为：位置y2=A，速度v2=0，相应的相位为（t2+）=。质元1 在t1=0时刻的振动状态已传至质元4，质元4的振动相位为。景德镇高专物理系景德镇高专物理系t3=时刻，质元1的振动状态为：y3=0，v3=vm，相应的相位为（t3+）=。质元1在t1=0时刻的振动状态已传至质元7，质元7的振动相位为，质元1在t2=时刻的振动状态已传至质元4，质元4的振动相位为。t4=时刻，质元1的振动状态为：y4=A，v4=0，相应的相位为（t4+）=。质元1在t1=0时刻的振动状态已传至质元10，质元10的振动相位为，质元1在t2=时刻的振动状态已传至质元7，质元7的振动相位为，质元1在t3=时刻的振动状态已传至质元4，质元4的振动相位为。当t5=T时，质元1完成一次全振动回到起始的振动状态，而它所经历过的各个振动状态均传至相应的质元。如果振源持续振动，振动过程便不断地在绳索上向前传播。景德镇高专物理系景德镇高专物理系10.1.3 波长 波的周期和频率 波速wavelength period frequency wave velocity波长、波的周期（或频率）和波速是描述波动的三个重要物理量。在同一波线上两个相邻的、相位差为2的振动质元之间的距离（即一个“波”的长度），叫做波长，用表示。显然，横波上相邻两个波峰之间的距离，或相邻两个波谷之间的距离，都是一个波长；纵波上相邻两个密部或相邻两个疏部对应点之间的距离，也是一个波长。波的周期，是波前进一个波长的距离所需要的时间，用T表示。周期的倒数叫做波的频率，用表示，即=1/T，频率等于单位时间内波动传播距离中完整波的数目。由于波源作一次完全振动，波就前进一个波长的距离，所以波的周期（或频率）等于波源的振动周期（或频率）。景德镇高专物理系景德镇高专物理系在波动过程中，某一振动状态（即振动相位）在单位时间内所传播的距离叫做波速，用v表示。故波速也称为相速。波速的大小取决于介质的性质，在不同的介质中，波速是不同的，例如，在标准状态下，声波在空气中传播的速度为331ms-1，而在氢气中传播的速度是1263ms-1。在一个周期内，波前进一个波长的距离，故有 或 （10-1）景德镇高专物理系景德镇高专物理系以上两式具有普遍的意义，对各类波都适用。必须指出，波速与介质有关，而波的频率是波源振动的频率，与介质无关。因此，由式（10-1）可知，同一频率的波，其波长将随介质的不同而不同。景德镇高专物理系景德镇高专物理系例10-1 在室温下，已知空气中的声速v1为340ms-1，水中的声速v2为1450 ms-1，求频率为200Hz和2000Hz的声波在空气中和在水中的波长各为多少？解 由式（10-1）可得频率为200Hz和2000Hz的声波在空气中的波长各为景德镇高专物理系景德镇高专物理系频率为200Hz和2000Hz的声波在水中的波长各为可见，同一频率的声波，在水中的波长比在空气中的波长要长得多。景德镇高专物理系景德镇高专物理系可以证明，固体内横波和纵波的传播速度v分别为（横波）（纵波）式中G、Y和 分别为固体的切变弹性模量、杨氏弹性模量和密度。景德镇高专物理系景德镇高专物理系在液体和气体内，纵波的传播速度为（纵波）式中B为容变弹性模量。以上各式说明，机械波的波速决定于介质的性质，而与振源无关。关于介质的切变弹性模量G、杨氏弹性模量Y和容变弹性模量B这里就不作介绍了。景德镇高专物理系景德镇高专物理系10.2 平面简谐波 planar simple harmonic wave 景德镇高专物理系景德镇高专物理系10.2.1 平面简谐波的表达式planar simple harmonic wave expression 一般地说，介质中各个质元的振动情况是很复杂的，由此所产生的波动也很复杂，本节只讨论一种最简单最基本的波，即在均匀、无吸收的介质中，当波源作谐振动时，波所经历的所有质元都按余弦（或正弦）规律振动，则在此介质中所形成的波，称为简谐波。可以证明，任何复杂的波都可以看成是由若干频率不同的简谐波叠加而成的。因此，讨论简谐波具有特别重要的意义。景德镇高专物理系景德镇高专物理系1.波振面和波射线景德镇高专物理系景德镇高专物理系下面先介绍描述波动传播时常用的几个概念我们把在波动过程中，振动相位相同的点连成的面称为波阵面或波面，有时又把波面中最前面的那个波面称为波前。由于波阵面上各点的相位相同，所以波阵面是同相面。我们把波阵面是平面的波动称为平面波，波阵面是球面的波动称为球面波。如图10-2。波的传播方向称为波线或波射线。在各向同性的介质中，波线总是与波阵面垂直，平面波的波线是垂直于波阵面的平行直线，球面波的波线是以波源为中心从中心向外的径向直线。关于波阵面推进的规律，我们在讨论惠更斯原理时再作介绍。景德镇高专物理系景德镇高专物理系2.平面简谐波动方程现在我们来定量描述前进中的波动，亦即要用数学函数式描述介质中各质元的位移是怎样随着时间而变化的。这样的函数式称为波动方程。对于平面波而言，在所有的波线上，振动传播的情况都是相同的，因此可将平面简谐波简化为一维简谐波来进行研究。设有一平面简谐波沿某一方向向前传播，任取一条波线，在这条波线上，任取一质元的平衡位置作为坐标原点O，波线的方向为X轴正方向，质元向上振动的方向为Y轴的正方向，如图10-3所示。选择某一时刻作为起始时刻，O点处（即x=0处）质元的振动方程可表示为y0=Acos（t+）景德镇高专物理系景德镇高专物理系假定介质是均匀无限大、无吸收的，那么各点的振幅将保持不变。为了找出在OX轴上任一质元在任一时刻的位移，我们在OX轴正向上任取一平衡位置在x处的质元，显然，当振动从点O传至该处，该质元将以相同的振幅和频率重复点O的振动。因为振动从点O传播到该点的时间为 这表明当点O振动了t时间，x处的该点只振动了的时间，即该点的相位落后（tx/u），于是x处的点在时刻t的位移为（10-2）这就是沿X轴正方向传播的平面简谐波的波动方程。景德镇高专物理系景德镇高专物理系若平面简谐波是沿X轴负向传播，与原点O处质元的振动方程y0=Acos（t+）相比，X轴上任一点x处质元的振动方程为（10-2）利用关系式和uT=，可以将平面简谐波的波动方程改写成多种形式：（10-2a）（10-2b）（10-2c）景德镇高专物理系景德镇高专物理系如果改变计时起点，使原点O处质元振动的初相位为零（=0），则x处的振动规律是式（10-2）到（10-2c）为平面简谐波动方程的几种不同表示形式，都是标准式。纵波的平面简谐波动方程具有同样的形式。这时质元的振动方向和波动的传播方向一致。应注意的是，y仍然表示质元的位移，x依旧表示波动传播方向上某质元在平衡位置时的坐标。景德镇高专物理系景德镇高专物理系例10-2 已知波动方程y=5cos（2.50t0.01x）cm。求波长、周期和波速。解 方法一（比较系数法）写由波动方程y=5cos（2.50t0.01x）可成与标准波动方程 相比较，有景德镇高专物理系景德镇高专物理系方法二（由各物理量的定义解）（1）波长是指同一时刻t，波线上相位差为2的两点间的距离，即（2.50t0.01x1）（2.50t0.01x2）=2得 =x2 x1=200 cm（2）周期为相位传播一个波长所需的时间（T=t2 t1），即时刻t1点x1的相位在时刻t2=t1+T传至点x2处，则有（2.50t10.01x1）=（2.50t20.01x2）得 T=t2 t1=0.8 s（3）波速为振动状态（相位）传播的速度，即时刻t1点x1的相位在时刻t2传至点x2处，得景德镇高专物理系景德镇高专物理系 例10-3一横波沿绳子传播时的波动方程为y=0.05cos（10t4x），式中x、y以米计，t以秒计。（1）求此波的振幅、波速、频率和波长；（2）求绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；（3）求x1=0.2 m处的质点，在t1=1 s时的相位，这一相位所代表的运动状态如何？（4）此相位所代表的运动状态在t2=1.5 s时刻到达哪一点？景德镇高专物理系景德镇高专物理系解（1）一般所用的方法是将给定的方程和标准的波动方程相比较，从而求出各参量。现在y=0.05cos（10t4x）=所以，此波向X轴正方向传播，而A=0.05 m，u=2.5 ms-1，=5 Hz，=0.5 m（2）平衡位置在x处的质元在任意时刻的速度和加速度分别为景德镇高专物理系景德镇高专物理系由给定的方程和标准的波动方程相比较，还有 =10 rads-1 故，各质点振动时的最大速度和最大加速度vm=A=0.0510=1.57 ms-1 am=A2=0.05（10）2=49.3 ms-2（3）x1=0.2 m，t1=1 s时的相位为=10t4x=9.2此相位所代表的运动状态为位移 y=A cos=0.05 cos9.2=0.04 m振动速度 v=A sin=0.05 10 sin 9.2=9.23 ms-1 说明此质点处在平衡位置下方0.04m处，以9.23 ms-1的速度向上运动。景德镇高专物理系景德镇高专物理系（4）波速u也即相位传播速度，在时间间隔内相位传播的距离为=ux1+=1.45 m=2.5（1.51）=1.25 mx=即t2=1.5 s时刻，此相位所描述的运动状态传至离原点1.45 m处。景德镇高专物理系景德镇高专物理系*10.2.2 波动微分方程wave differential equation 把式（10-2）分别对t和x求二阶偏导数，得到比较上列两式，即得（10-3）景德镇高专物理系景德镇高专物理系如果从式（10-2）出发，所得的结果完全相同，仍是式（10-3）。任一平面波，如果不是简谐波，也可以认为是许多不同频率的平面余弦波的合成，在对t和x偏微分两次后，所得的结果将仍是式（10-3）。所以式（10-3）反映一切平面波的共同特征，称为平面波的波动微分方程。可以证明，在三维空间中传播的一切波动过程，只要介质是无吸收的各向同性均匀介质，都适合下式：景德镇高专物理系景德镇高专物理系式中为了避免混淆，改用代表振动位移。任何物质运动，只要它的运动规律符合上式，就可肯定它是以u为传播速度的波动过程。研究球面波时，可将上式化为球坐标的形式，并注意到各个径向方向上的波的传播完全相同，即可得到球面波的波动方程为式中仍以代表振动位移，而r代表沿一半径方向上离点波源的距离。与式（10-3）相比，即可得到与式（10-2）相对应的球面余弦波波动表式如下：景德镇高专物理系景德镇高专物理系上式告诉我们，球面波的振幅与距离r成反比，随着r的增加，振幅逐渐减小。式中常量a的数值等于r为单位长度处的振幅，a不代表振幅，才代表振幅。景德镇高专物理系景德镇高专物理系10.3 波的能量wave energy在波动中，波源的振动通过弹性介质由近及远地一层接着一层地传播出去，使介质中各质元依次在各自的平衡位置附近振动，因而介质中质元具有动能，同时介质因发生形变而具有势能。所以，波动过程也是能量传播的过程。假设平面简谐横波在密度为的均匀媒质中传播，其波动方程为景德镇高专物理系景德镇高专物理系由于振动，平衡位置在x处的质元在任意时刻的速度为设每个质元的体积为dV，则质量为dm=dV，显然，所有质元都在与传播方向垂直的方向上作持续的简谐振动，每个质元具有的动能为（10-4）（10-5）（注：势能的推导比较复杂，这里只给结果，不作推导。）景德镇高专物理系景德镇高专物理系质元的总能量为它的动能和势能之和（10-6）由式（10-4）和（10-5）可知，一质元的动能和势能的时间关系式是相同的，两者不仅同相，而且大小总是相等。它们同时达到最大值，同时为零。因为在波动中与势能相联的是质元间的相对位移（体积元的形变y/x）。借助于波形图不难看出，在最大位移处的质元，速度为零，动能为零，同时y/x也为零，所以弹性势能也为零。而在平衡位置处的质元，速度最大，动能最大，同时波形曲线较陡，y/x有最大值，所以弹性势能也最大。体积元的总机械能是随时间而变化的，它在零和最大值之间周期地变化着。这一点与单个谐振子的情形完全不同。后者，动能最大时势能为零，势能最大时动能为零。为什么会有这个不同呢？因为简谐振动的能量是指一个作谐振动的孤立系统的能量，在振动过程中，它的总能量是守恒的，即动能的增加必以势能的减少作为代价，反之亦然。而现在我们所研究的质元是处于媒质的整体之中，每个质元与其他的质元以弹性力相联系，它不是孤立的。在波动中，沿着波前进的方向，每个质元不断地从后面的质元中吸取能量而改变本身的运动状态，又不停地向前面的质元放出能量而迫使它们改变运动状态，这样，能量就伴随着振动状态从媒质的一部分传至另一部分。景德镇高专物理系景德镇高专物理系由式（10-6）可知，对于某一体积元来说，总能量随t作周期性变化。这说明任一体积元都在不断地接受和放出能量。总之，从能量的角度来看，波动和振动也是有区别的。波动任一体积元的总能量是时间的函数。这表明波动传播能量，振动系统并不传播能量。介质中单位体积的波动能量，称为波的能量密度W，即 W=（10-7）能量密度在一个周期内的平均值，称为平均能量密度，用表示 w（10-8）景德镇高专物理系景德镇高专物理系这一公式虽然是从平面简谐横波的特殊情况导出的，但是机械波的能量与振幅的平方、频率的平方都成正比的结论却是对于所有弹性波都是适用的。以上对机械波动过程的定量讨论，基本上适用于电磁波。但电磁波是通过电场强度E和磁场强度H的周期性的变化来描述的。因为电磁场具有能量，所以伴随着电磁波的传播，电磁场的能量也就随之向前传播。电磁波的能量密度为电场与磁场的能量密度之和，即景德镇高专物理系景德镇高专物理系 10.4惠更斯原理Huygens principle前面讲过，波动的起源是波源的振动，波的传播是由于介质中质元之间的相互作用。介质中任一点的振动将引起邻近质元的振动，因而在波的传播过程中，介质中任何一点都可以看作新的波源。例如，水面上有一波传播（图10-4），在前进中遇到障碍物AB，AB上有一小孔，小孔的孔径a比波长小。这样，我们就可看到，穿过小孔的波是圆形的，与原来波的形状无关，这说明小孔可看作新波源。景德镇高专物理系景德镇高专物理系惠更斯（C.Hygens）总结了上述现象，提出了关于波的传播规律：在波的传播过程中，波阵面（波前）上的每一点都可以看作是发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波的包迹就成为新的波阵面，这就是惠更斯原理。设S1为某一时刻t的波阵面，根据惠更斯原理，S1上的每一点发出的球面子波，经时间后形成半径为u的球面，在波的前进方向上，这些子波的包迹S2就成为t+时刻的新波阵面。惠更斯原理对任何波动过程都是适用的，不论是机械波还是电磁波，只要知道某一时刻的波阵面，就可根据这一原理用几何方法来决定任一时刻的波阵面，因而在很广泛的范围内解决了波的传播问题。图10-5中用惠更斯原理描绘出球面波和平面波的传播。根据惠更斯原理，还可以简捷地用作图的方法说明波在传播中发生的衍射、散射、反射和折射等现象。应该指出，惠更斯原理并没有说明各个子波在传播中对某一点的振动究竟有多少贡献。我们将在下一章波动光学中介绍菲涅耳对惠更斯原理所作的补充。景德镇高专物理系景德镇高专物理系10.5 波的干涉wave interference景德镇高专物理系景德镇高专物理系实验表明，当有几列波同时在空间同一介质中传播、相遇，每一列波都将独立地保持自己原有的特性（频率、波长、振动方向等），互不相干地独立向前传播，就像在各自的路程中，并没有遇到其他波一样，这称为波传播的独立性。在管弦乐队合奏或几个人同时讲话时，我们能够辨别出各种乐器或各个人的声音，这就是波的独立性的例子。通常天空中同时有许多无线电波在传播，我们能随意接收到某一电台的广播，这是电磁波传播的独立性的例子。由于这种独立传播，在相遇的区域内，任一点处质元的振动为各列波单独在该点引起的振动的合振动，即在任一时刻，该点处质元的振动位移是各个波在该点所引起的位移的矢量和。这一规律称为波的叠加原理。波的叠加原理是大量实验事实的总结，它是波动所遵循的基本规律。弹性机械波，电磁波，乃至物质波皆服从这一规律。当两列波满足一定条件时，在两波交叠地区，由于波的叠加而出现一种特殊现象，此现象称为波的干涉。10.5.1 波的叠加波的叠加 wave superposition 景德镇高专物理系景德镇高专物理系10.5.2 波的干涉wave interference一般地说，振幅、频率、相位等都不相同的几列波在某一点叠加时，情形是很复杂的。下面只讨论一种最简单而又最重要的情形，即两列频率相同、振动方向相同、相位相同或相位差恒定的简谐波的叠加。满足这些条件的两列波在空间任何一点相遇时，该点的两个分振动也有恒定相位差。但是对于空间不同的点，有着不同的恒定相位差。因而在空间某些点处，振动始终加强，而在另一些点处，振动始终减弱或完全抵消。这种现象称为干涉现象。能产生干涉现象的波称为相干波，相应的波源称为相干波源。景德镇高专物理系景德镇高专物理系设有两个相干波源S1和S2，它们在同一均匀媒质中所发出的相干波在空间某点p相遇，两波在该点引起振动的表式即振动方程分别为式中A1和A2为两列波在p点引起振动的振幅，1和2为两个波源的初相位，并且（21）是恒定的，r1和r2为p点到两个波源的距离。P点的振动为两个同方向，同频率振动的合成，由式（9-11），其合振幅为景德镇高专物理系景德镇高专物理系式中为两个分振动在p点的相位差，其值为即（10-9）式中（21）为两振源之间的相位差，r2r1为两波源至p点的波程差，波程差记作，=r2r1，为波程差引起的相位差。引用9.1.4中的结论，可得：当=2k，k=0,1,2,则p点的合振幅A=A1+A2，振动得到加强。景德镇高专物理系景德镇高专物理系当=（2k+1），k=0,1,2,则p点的合振幅A=振动减弱。若两波源具有相同的初相位，即2=1；则式（10-9）演变为（10-10）这是一个重要公式，它把波程差与相位差直接联系起来，由此得出当两个相干波源具有相同的初相位时，若 =r2r1=k （k=0,1,2）则 A=A1+A2 （10-11）若 =r2r1=(2k+1)/2 （k=0,1,2）则 A=（10-12）（10-12）景德镇高专物理系景德镇高专物理系由上面分析可知，两列相干波源为同相位时，在两列波的叠加的区域内，在波程差等于零或等于波长的整数倍的各点，振幅最大；在波程差等于半波长的奇数倍的各点，振幅最小。由此可见，在两波交迭地区，两相干波所分别激发的分振动的相位差仅与各点的位置有关，因此各点的合振幅随位置而异，但确定点的合振幅不随时间变化。有些点的振幅始终最大，即A=A1+A2，有些点的振幅始终最小，即A=，形成一种特殊的不随时间变化的稳定分布，这一现象就是波的干涉。干涉现象是波动遵从叠加原理的表现，是波动形式所独具的重要特征之一。因为只有波动的合成，才能产生干涉现象。干涉现象对于光学、声学等都非常重要，对于近代物理学的发展也有重大的作用。某种物质运动若能产生干涉现象便可证明其具有波动的本质。景德镇高专物理系景德镇高专物理系本章小结：1.机械波的形成 形成机械波必需有振源和传播振动的媒质2.横波与纵波 质元的振动方向和波的传播方向相互垂直的波称为横波。其外形特征是具有凸起的波峰和凹下的波谷。质元的振动方向和波的传播方向一致的波称为纵波。纵波的外形特征是具有“稀疏”和“稠密”的区域3.描述波动的几个物理量波长 在同一波线上两个相邻的、相位差为2的振动质元之间的距离，叫做波长，用表示周期 波前进一个波长的距离所需要的时间，用T表示频率 周期的倒数叫做波的频率，用表示，即=1/T，频率等于单位时间内波动传播距离中完整波的数目。波的周期（或频率）等于波源的振动周期（或频率）波速 在波动过程中，某一振动状态（即振动相位）在单位时间内所传播的距离叫做波速，用v表示。景德镇高专物理系景德镇高专物理系它们的关系是 或两式具有普遍的意义，对各类波都适用4.平面简谐波动方程描述介质中各质元的位移随时间而变化的数学函数式称为波动方程，其标准式有式中x前的符号应用：当平面简谐波向+x方向传播时，x前的符号取负；反之取正景德镇高专物理系景德镇高专物理系*5.波动微分方程 6.波的能量介质中单位体积的波动能量，称为波的能量密度W，w=能量密度在一个周期内的平均值，称为平均能量密度，用 w 表示 w景德镇高专物理系景德镇高专物理系7.惠更斯（C.Hygens）原理 在波的传播过程中，波阵面（波前）上的每一点都可以看作是发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波的包迹就成为新的波阵面，这就是惠更斯原理8.波的干涉 两列频率相同、振动方向相同、相位相同或相位差恒定的简谐波在空间相遇时，在空间某些点处，振动始终加强，而在另一些点处，振动始终减弱或完全抵消，这种现象称为干涉现象。能产生干涉现象的波称为相干波，相应的波源称为相干波源 当两个相干波源具有相同的初相位时，若 =r2r1=k （k=0,1,2）则 A=A1+A2 若 =r2r1=(2k+1)/2 （k=0,1,2）则 A=即，两列相干波源为同相位时，在两列波的叠加的区域内，在波程差等于零或等于波长的整数倍的各点，振幅最大；在波程差等于半波长的奇数倍的各点，振幅最小 景德镇高专物理系景德镇高专物理系习 题10-1（1）波动与振动有什么区别和联系？平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同？有什么联系？（2）简谐振动的表示式里有几个独立变量？简谐波的表示式里有几个独立变量？怎样理解一个简谐波表示式的意义？怎么看出它表示了一个“跑动着”的波呢？（3）波动方程 中的 表示了什么？如果把此式改写为 景德镇高专物理系景德镇高专物理系式中的 又表示了什么？如果t增加，x也增加，但相应的 值并没有变化，由此能从这波动方程明确什么现象？（4）波动方程中的位移y相对于哪一点、哪一平衡位置而言？位移的方向又是怎样的？一个简谐纵波的数学表示式是怎样的？一个简谐横波的数学表示式又是怎样的？写给你一个波动方程 你可这方程知道这波动的哪些量、哪些情况？你能知道它代表纵波或横波吗？景德镇高专物理系景德镇高专物理系10-2（1）设在某一时刻，一个向右传播的平面余弦横波的波形曲线的一部分如本题图（a）中所示，试分别说明图中A、B、C、D、E、F、G、H、I各质点在该时刻的运动方向。在1/4周期前和1/4周期后，这波的波形又是怎样的？（2）设在某一时刻，一个向右传播的平面余弦纵波的y-x曲线的一部分如本题图（b）中所示，试画出图线上A、B、CM各点所代表的媒质质点的实际位置和运动方向的图形；并将这图形和它们平衡位置的图形作比较，说明这纵波在该时刻的疏部和密部各在哪些部位。此外，再画出1/4周期前和1/4周期后，各质点的实际位置图形，说明疏部和密部的传播情况。景德镇高专物理系景德镇高专物理系10-3 波源作谐振动，其振动方程为y=410-3cos240 t（m），它所形成的波以30 ms-1的速度沿一直线行进，（1）求波的周期及波长；（2）写出波动方程。10-4 有一个一维简谐波的波源，其频率为250 Hz，波长为0.1m，振幅为0.02m，求：（1）距波源1.0 m处一点的振动方程及振动速度；（2）t=0.1 s时的波形方程，并作图；（3）波的传播速度。10-5 波源的振动方程为y=610-2cos（m），它所形成的波以2.0 ms-1的速度在一直线上传播，求：（1）距波源6.0 m处一点的振动方程；（2）该点与波源的相位差；（3）该点的振幅和频率；（4）此波的波长。景德镇高专物理系景德镇高专物理系10-6 一横波沿x轴正方向行进，波速为100 ms-1，且沿x轴每一米长度内含有50个波长，振幅为310-2m，设t=0时，位于坐标原点的质点通过平衡位置向垂直x轴向上的方向运动，求波动方程。10-7 已知波源在原点（x=0）的平面简谐波的方程为y=Acos（Bt Cx），式中A、B、C为正值恒量。试求：（1）波的振幅、波速、频率、周期及波长；（2）写出传播方向上距波源l处一点的振动方程；（3）任何时刻，在波传播方向上相距为D的两点的相位差。10-8 一个平面简谐波的波动方程为y=0.08cos（4t2x），式中x、y以米计，t以秒计。（1）求x=0.2 m处的质点，在t=2.1 s时的相位，这一相位所描述的运动状态如何？（2）此相位值在哪一时刻传到0.4 m处？10-9 一平面波在介质中以速度u=20 ms-1沿x轴负方向传播如本题图，已知在传播路径上的某点A的振动方程为y=3cos4t（1）如以点A为坐标原点，写出波动方程；（2）如以距点A 5 cm处的点B为坐标原点，写出波动方程；（3）写出在传播方向上点B、点C和点D的振动方程。景德镇高专物理系景德镇高专物理系10-10 平面简谐波的波动方程为y=8cos2（2 tx/100）cm，求（1）t=2.1 s时波源及距波源0.10 m处的相位；（2）离波源0.80 m及0.30 m两处的相位差。10-11 为了保持波源的振动不变，需要消耗4w的功率。若波源发出的是球面波（设介质不吸收波的能量）求距离5 m和10 m处的能流密度。10-12 有一波在介质中传播，其波速v=103 ms-1，振幅A=1.010-4 m，频率=103 Hz。若介质的密度为800 kgm-3，求（1）该波的能流密度；（2）一分钟内垂直通过一面积S=4.010-4 m2的总能量。10-13 本题图中，A和B是两个同相位的波源，相距d=0.10 m，同时以30Hz的频率发出 景德镇高专物理系景德镇高专物理系波动，波速是0.50 ms-1，p点位于与A B成30角与A相距为4 m处，求两波通过p点的相位差。10-14 两相干波源分别位于P、Q两点处，它们相距。由P、Q发出频率为、波长为的两列相干波，R为PQ连线上的一点，求（1）自P、Q发出的两列波在R处的相位差；（2）两波在R处干涉时的合振幅。10-15 波源位于同一介质中的A、B两点如本题图，其振幅相等，频率皆为100 Hz，B比A的相位超前。若A、B相距30 m，波速为400 ms-1，试求AB连线上因干涉而静止的各点的位置。景德镇高专物理系景德镇高专物理系