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1 第七章第七章 波动波动 7.6 惠更斯原理与波的反射和折射惠更斯原理与波的反射和折射 7.2行波行波 简谐波简谐波7.1 机械波的形成和特征机械波的形成和特征 7.3 物体的弹性形变物体的弹性形变 7.4 波动方程与波速波动方程与波速 7.5 波的能量波的能量 7.7 波的叠加波的叠加 驻波驻波 7.11 多普勒效应多普勒效应 7.8-10 声波声波 地震波地震波 水波水波*7.13 孤子孤子 7.12 行波的叠加和群速度行波的叠加和群速度2波动：波动：振动的传播振动的传播 意义：意义：波动形式贯穿物理学各领域波动形式贯穿物理学各领域 机械波机械波 电磁波电磁波 热辐射热辐射 探求光的本质：探求光的本质：物质波与经典波有本质不同物质波与经典波有本质不同 某些形式可借鉴某些形式可借鉴 现代应用：精密测量现代应用：精密测量 信息技术信息技术37.1 机械波的形成和特征机械波的形成和特征一一.波的产生波的产生 1.机械波产生的条件机械波产生的条件 波源波源 弹性介质弹性介质真空真空2.电磁波电磁波 波源波源,不需传播介质不需传播介质二二.传播特征传播特征 实例：绳上的波实例：绳上的波 4t=T/4 t=T/2 t=3T/4 t=T t=00481620 12 245特征特征2.下游下游各质点的振动依次比上游的各质点的振动依次比上游的启动晚启动晚！t 时刻某质点的振动状态，时刻某质点的振动状态，经经t 传到下游传到下游 相距相距x 处处（t=x/u）1.1.行波是行波是振动状态的传播，振动状态的传播，而不是介质的传播。而不是介质的传播。各质元只在自己的平衡位置附近作振动。各质元只在自己的平衡位置附近作振动。换言之：波传播线上的任一质点换言之：波传播线上的任一质点 x,在在 t 时刻时刻的振动状态是上游的振动状态是上游x0 0处质点处质点,在在 t-t 时刻的时刻的振动状态。振动状态。6三三 、波的几何描述、波的几何描述球面波球面波平面波平面波波波线线 波面波面波线波线表示波的传播方向的射线表示波的传播方向的射线（波射线）（波射线）波面波面媒质振动相位相同的点组成的面媒质振动相位相同的点组成的面（同相面）（同相面）波阵面波阵面某时刻波到达的各点所构成的面某时刻波到达的各点所构成的面（波前）（波前）7四四 、波的分类、波的分类按波的性质按波的性质机械波机械波电磁波电磁波 纵波纵波按波线与振按波线与振动方向关系动方向关系横波横波【演示实验演示实验】横、纵波模型横、纵波模型8按波面形状按波面形状平面波平面波球面波球面波柱面波柱面波按复杂程度按复杂程度简谐波简谐波复波复波按持续时间按持续时间连续波连续波脉冲波脉冲波按是否传播按是否传播行波行波驻波驻波91、波速波速 u：振动状态传播的速度振动状态传播的速度。它它由介质的性质决定，与波源情况无关。由介质的性质决定，与波源情况无关。2、周期周期T ：一个完整的波通过波线上的某点所需的时间。一个完整的波通过波线上的某点所需的时间。它它由波源决定由波源决定（波源、观测者均不动时）（波源、观测者均不动时）频率频率 角频率角频率五、波的特征量五、波的特征量103、波长波长 波线上相邻的振动状态相同的两质元间的距离。波线上相邻的振动状态相同的两质元间的距离。它它由波源和介质共同决定由波源和介质共同决定波长表示波的波长表示波的空间周期性空间周期性xu117.2 行波行波 简谐波简谐波设设 为传播的物理量，它沿为传播的物理量，它沿 x 轴传播，则轴传播，则某种物理量的扰动的传播称为行波。某种物理量的扰动的传播称为行波。xxx+xt+t 时刻时刻xxft 时刻时刻一、行波一、行波为沿为沿+x 向传播的行波向传播的行波，u 为波速为波速。12 具有沿具有沿+x向传播的性质。向传播的性质。同理，同理，具有沿具有沿-x向传播的性质。向传播的性质。行波的波函数：行波的波函数：即即 描描述述行行波波传传播播时时，物物理理量量 随随位位置置和和时时间间的的变化。变化。13如果波传播的扰动是简谐振动的话，如果波传播的扰动是简谐振动的话，波称为波称为简谐波简谐波（余弦波，单色波）（余弦波，单色波）这样的这样的1.一维平面简谐波的波函数一维平面简谐波的波函数在在 x=0 处质元振动方程为处质元振动方程为则应有则应有：（因无吸收，故振幅因无吸收，故振幅 A不变不变）波函数波函数以机械波的横波为例，以机械波的横波为例，设平面波沿设平面波沿 x方向以方向以速度速度 u 传播传播，媒质均匀媒质均匀、无限大无限大，无吸收无吸收。二、简谐波二、简谐波14上面波函数式中的上面波函数式中的为波的为波的相位相位。波在某点的相位反映该点媒质的波在某点的相位反映该点媒质的“运动状态运动状态”。所以简谐波的传播也是媒质振动相位的传播。所以简谐波的传播也是媒质振动相位的传播。相速度（相速）相速度（相速）设设 t 时刻时刻 x 处的相位经处的相位经 dt 传到传到（x+dx）处处，则应有则应有于是得到于是得到 即即简谐波的波速就是相速简谐波的波速就是相速。152.一维简谐波函数的另一种常用的表示一维简谐波函数的另一种常用的表示 0 x沿波传播方向每增加沿波传播方向每增加 的距离的距离，相位落后相位落后2。说明说明：163、波函数的意义、波函数的意义（1）t=t0，y x 给出给出 t 时刻空间各点位移分布。时刻空间各点位移分布。（2）x=x0，y t 给出给出 x 点的振动函数。点的振动函数。T yt0振动曲线振动曲线 x =x0 x y0波动曲线波动曲线 t=t017 例例1 反射波在反射波在S处相位改变处相位改变。如图如图，已知已知：y0=Acos t ，波长为波长为 ，求：求：反射波函数反射波函数 y(x,t)解解：全反射全反射，A不变不变。全全反反射射壁壁(l-x)lx y0=Acost入入反反S0波由波由0 0经壁反射到经壁反射到 x 传播了距离传播了距离l+(l x)=2l x，相位落后了相位落后了2 (2l x)/，在壁处反射相位改变在壁处反射相位改变 ，“+”表示沿表示沿 x 方向传播方向传播取取+、均可均可18 例例2 yx0 已知：已知：一个向右传播的波在一个向右传播的波在 x=0 0点的点的解：解：yt-TTA0A-A较较0点相位点相位落后落后 /20yA0点初相位为点初相位为-/2向向+y方向运动方向运动t=0 t 0画出该波在画出该波在振动曲线如图所示振动曲线如图所示。t=0 时的波形曲线时的波形曲线。要求要求：19 4.一维波函数的另几种常见的表示式一维波函数的另几种常见的表示式 波数波数(wave number)空间因子空间因子振动因子振动因子（复振幅）（复振幅）（Re）（Re）207.3 物体的弹性变形物体的弹性变形 着重搞清着重搞清线变线变、切变切变和和体变体变的概念的概念，以及与三种变化相应的材料的弹性模量。以及与三种变化相应的材料的弹性模量。（自学书第自学书第7 7.3节节）(1)长变长变E -杨氏弹性模量杨氏弹性模量(长变长变应力应力)(长变长变应变应变)l0l0+l FFs21 dF切切F切切Ds(2)(2)切变切变(切变切变应力应力)(切变切变应变应变)G-切变切变弹性模量弹性模量P+P容变容变P+PP+PP+PV+V(3)容变容变(容容变变应力应力)(容容变变应变应变)K-容容变变弹性模量弹性模量22一、一维波动方程一、一维波动方程以任意一个沿以任意一个沿x x正方向传播的行波为例正方向传播的行波为例比较可得比较可得 波波动动方方程程，描描述述经经典典波波动动过过程程的的普普遍遍方方程程。任何行波，包括平面简谐波，都是它的解。任何行波，包括平面简谐波，都是它的解。，设，设u为波速为波速7.4 7.4 波动方程波动方程23 波波动动方方程程虽虽由由行行波波波波函函数数得得到到，但但其其解解并并不不限限于于行行波波。任任何何物物理理量量，无无论论是是位位移移，还还是是电电场场或或磁磁场场，只只要要它它与与坐坐标标、时时间间的的函函数数关关系系是是波波动动方方程程的的解解，那那么么该该物物理理量量的的运运动动形形式式就就一一定是波动。定是波动。波动：运动函数满足波动方程波动：运动函数满足波动方程的运动。的运动。24气体中气体中 液体中液体中（体积模量体积模量）二二.波速波速 u 与媒质性质的关系与媒质性质的关系 比热比比热比（公式不必记忆公式不必记忆）体变体变 pp ppV+V25固固体体中中（切变模量）（切变模量）（杨氏模量）（杨氏模量）书表书表2.2：（地震波传播地震波传播)弹性绳上的横波弹性绳上的横波 l 绳的线密度绳的线密度F F 绳的初始张力绳的初始张力，横波横波F切变切变 FSl l FF线变线变纵波纵波切应力切应力切应变切应变应力应力线应变线应变26一一.弹性波的能量弹性波的能量 能量密度能量密度波在弹性媒质中传播时波在弹性媒质中传播时,各质元都在振动各质元都在振动，随着波的行进随着波的行进,能量在传播。能量在传播。波的能量波的能量 =振动动能振动动能 +形变势能形变势能考虑细长棒上一段考虑细长棒上一段小质元小质元 x，如图如图：动能密度动能密度以沿以沿 x 轴传播的轴传播的平面简谐纵波平面简谐纵波为例：为例：sxx+x7.5 7.5 波的能量波的能量27小质元动能小质元动能当有平面波传播时当有平面波传播时，x 处，纵向位移处，纵向位移动能密度为动能密度为:sxx+xyy+y m28 势能密度势能密度考虑细棒上小质元的弹性长变考虑细棒上小质元的弹性长变 y，yF0 y F=k yxx+xyy+yS若两端弹性拉力由若两端弹性拉力由 0F,弹性势能弹性势能 =弹性拉力作的功弹性拉力作的功（变力的功）（变力的功）F=k y29因因所以所以棒中有纵波时棒中有纵波时 能量密度能量密度势能密度为势能密度为:30对沿对沿 x x 轴传播的平面简谐波轴传播的平面简谐波 y(x,t)=Acos(t-kx)wk、wp 均随均随 t t 周期性变化周期性变化,两者两者同相同大同相同大。为什么动能和势能之和不等于常数为什么动能和势能之和不等于常数,也不相互转化也不相互转化？E=u2;由于由于w=wk+wp=2A2sin2 (t-x/u)31w=2A2sin2 (t-x/u)角频率为角频率为 2 ;随着波形的传播随着波形的传播,能量能量“一堆堆一堆堆”地地向前传播向前传播,其传播速度也是其传播速度也是波速波速u；其能量密度其能量密度:o x(1/2)2A2w，y在在y=0 0处附近处附近，能量最集中（动能势能都最大能量最集中（动能势能都最大）。）。32二二.平均能流密度平均能流密度(波的强度波的强度)单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位面积的平均能量单位面积的平均能量,称为平均能流密度称为平均能流密度,又称为又称为 波的强度波的强度 I I。按周期平均的平均能量密度为按周期平均的平均能量密度为w=wk+wp=2A2sin2(t-kx)因为因为单位单位:W/m2uSux 平均能流密度平均能流密度(波的强度波的强度)即即 33 I u 媒质的特性阻抗媒质的特性阻抗 Z=u I A2例例.点波源，各向同性媒点波源，各向同性媒质中，球面简谐波的波函数：质中，球面简谐波的波函数：I 2 超声波比声波的强度大超声波比声波的强度大。利用利用 和能量守恒和能量守恒，对无吸收媒质对无吸收媒质：平面波平面波球面波球面波 柱面波柱面波 r 场点到波源的距离场点到波源的距离可以证明可以证明：34 媒质是要吸收波的能量的媒质是要吸收波的能量的 (内摩擦内摩擦,热传导热传导,分子碰撞等分子碰撞等)。波的能量衰减的规律为波的能量衰减的规律为证证明明:IoIu+dxx xAoAA+dA0 x *补充：波的吸收补充：波的吸收 35 固固 液液 入射角入射角 i 。全反射的一个重要应用是全反射的一个重要应用是光导纤维光导纤维（光纤），（光纤），irn1(大大)n2(小小)i=iC r=90 n1(大大)n2(小小)当入射当入射i 临界角临界角 iC C 时，将无折射光时，将无折射光 全反射。全反射。iC 临界角临界角它是现代光通信技术的重要器件。它是现代光通信技术的重要器件。42光缆光缆电缆电缆 图中细光缆和粗电缆图中细光缆和粗电缆 的通信容量相同的通信容量相同我国电信的主干线我国电信的主干线可达可达300公里。公里。也只有几十公里。也只有几十公里。而且损耗小。而且损耗小。光纤通信容量大，光纤通信容量大，在不加中继站的情在不加中继站的情况下，况下，光缆传输距离光缆传输距离而同轴而同轴电缆只几公里，电缆只几公里，微波微波早已全部为光缆。早已全部为光缆。437.77.7 波的叠加波的叠加 驻波驻波一一.波的叠加原理波的叠加原理 原理包含两方面内容：原理包含两方面内容：1）波的传播的独立性）波的传播的独立性各振源在介质中独立地激起相应频率的波；各振源在介质中独立地激起相应频率的波；每列波的传播特性不因其他波的存在而改变。每列波的传播特性不因其他波的存在而改变。红红、绿绿光束空间光束空间交叉相遇交叉相遇 听乐队演奏听乐队演奏 空中空中无线电波无线电波很多很多“目无它波！目无它波！”442）叠加）叠加在各波的在各波的相遇区相遇区，各点的振动是各列波，各点的振动是各列波单独单独在此激起的振动的合成。在此激起的振动的合成。线性叠加线性叠加 波的叠加原理是波的叠加原理是干涉、衍射的基本依据。干涉、衍射的基本依据。叠加原理由波动方程的线性所决定叠加原理由波动方程的线性所决定，度过大时，度过大时，媒质形变与弹力的关系不再呈线性，媒质形变与弹力的关系不再呈线性，叠加原理也就不再成立了。叠加原理也就不再成立了。当波强当波强45二二 .波的干涉现象波的干涉现象 波叠加时在空间出现波叠加时在空间出现稳定的振动加强和减稳定的振动加强和减弱弱的分布叫的分布叫波的干涉。波的干涉。水波盘中水波的干涉水波盘中水波的干涉46 相干条件相干条件：频率相同频率相同；振动方向相同振动方向相同；有固定的相位差有固定的相位差。强度分布强度分布P P点点：两同方向同两同方向同频率的频率的SHM的合成的合成47波程差波程差两波在两波在P P点的相位差：点的相位差：若初相差恒定，则相遇点的相位差恒定！若初相差恒定，则相遇点的相位差恒定！合振幅合振幅波源的初相差波源的初相差48相长干涉相长干涉相消干涉相消干涉相遇区不同场点：波程差不同，相位差不同相遇区不同场点：波程差不同，相位差不同强度不同强度不同49三三.驻波驻波就形成就形成驻波驻波，设两列行波分别沿设两列行波分别沿 x 轴的正向和反向传播轴的正向和反向传播，能够传播的波叫行波能够传播的波叫行波1.驻波的描述驻波的描述两列两列相干的行波相干的行波沿相反方向传播而叠加时沿相反方向传播而叠加时，它是一种常见的重要干涉现象它是一种常见的重要干涉现象。在在 x=0 处两波的初相均为处两波的初相均为 0：50yA合合A2A1 令令如图如图相位中无相位中无 x其绝对值为振幅其绝对值为振幅 不具备传不具备传 播的特征播的特征各点都做简谐振动，振幅随位置不同而不同。各点都做简谐振动，振幅随位置不同而不同。512At=0y0 x0t=T/8xx0t=T/20 xt=T/4波节波节波腹波腹 /4-/4x02A-2A振动范围振动范围/2xt=3T/8052各处不等大，出现了各处不等大，出现了波腹波腹（振幅最（振幅最大处）和大处）和波节波节（振幅最小处）。（振幅最小处）。没有没有x 坐标坐标，x=/2 波腹波腹 x=0 波腹波腹 x=3 /4,波节波节x=/4,波节波节(-)(-)(+)(+)（1）振幅振幅：（2）相位相位：故故没有了相位的传播没有了相位的传播。驻波是驻波是分段的振动分段的振动。两相邻波节间为一段两相邻波节间为一段，2.驻波的特点：驻波的特点：同一段振动相位相同同一段振动相位相同；相邻段振动相位相反相邻段振动相位相反：53合能流密度为合能流密度为但各质元间仍有能量的交换。但各质元间仍有能量的交换。（3）能量能量：平均说来没有能量的传播，平均说来没有能量的传播，能量由两端向中间传能量由两端向中间传，瞬时位移为瞬时位移为0，能量由中间向两端传能量由中间向两端传，势能势能动能动能。动能最大动能最大。势能为势能为0，动能动能势能势能。543、的情形的情形：设设典型的驻波典型的驻波行波行波此时总的仍可叫此时总的仍可叫“驻波驻波”，不过波节处有振动，不过波节处有振动。4、驻波的界面情况驻波的界面情况 位相突变位相突变（半波损失半波损失）0驻波驻波 z2z1x 特性阻抗特性阻抗位相突变位相突变 界面上总是界面上总是波节波节界面上总是界面上总是波腹波腹位相不变位相不变55波腹波腹相位不变相位不变波疏介质波疏介质波密介质波密介质x驻波驻波若忽略透射波，则入射和反射波的波形如下：若忽略透射波，则入射和反射波的波形如下：波节波节驻波驻波相位突变相位突变波疏介质波疏介质波密介质波密介质x“半波损失半波损失”（Z小）小）（Z大）大）（Z小）小）（Z大）大）56解解：1）余弦波沿余弦波沿 x 方向传播方向传播，1）1区入射波函数区入射波函数 y1；2）S1面上反射波面上反射波 y1，4）使两列反射波在使两列反射波在1 1区干涉相消的区干涉相消的Dmin=？3）S2面上反射回面上反射回1区的区的求求：1u1 3u3。a 点振点振 2u2 1u1dDlS1S2012axx3 3 3u3 y y1 y1 y1 如图示如图示，（设其振幅为设其振幅为A1）；）；波波（振幅振幅 例例 动为动为573）2）2u2 1u1dDlS1S2012axx3 3 3u3 y y1 y1 y1 584）如何使）如何使 和和 产生相消干涉：产生相消干涉：y 相长干涉：相长干涉：相消干涉：相消干涉：（k=0，1，2）令令令令其振其振59若要若要 和和 产生相消干涉，产生相消干涉，（k=0,1,2,）媒质媒质2可作为隐形涂层。可作为隐形涂层。应有：应有：60四、简正模式四、简正模式 波在一定边界内传播时就会形成各种驻波。波在一定边界内传播时就会形成各种驻波。如如两端固定的弦两端固定的弦，L或或系统的系统的固有频率固有频率F 弦中的张力弦中的张力 l 弦的线密度弦的线密度波速波速形成驻波必须满足以下条件形成驻波必须满足以下条件：61基频基频n=1二次二次谐频谐频n=2三次三次谐频谐频n=3 每种可能的每种可能的稳定振动方式稳定振动方式称作系统的一个称作系统的一个简正模式。简正模式。两端固定的弦两端固定的弦：62Ln=1,3L=nn=1,3L=n 三次三次 谐频谐频n=3n=3 三次三次谐频谐频n=1 基频基频基频基频n=1 边界情况不同，简正模式也不同边界情况不同，简正模式也不同：L637.8 声波声波 *地震波地震波 *水波水波声压：声压：（可正、可负）（可正、可负）声压振幅：声压振幅：声强声强 ：标准声强标准声强：这个声强人能够勉强听到，称为闻阈这个声强人能够勉强听到，称为闻阈。对声波，要求清楚如下概念：对声波，要求清楚如下概念：=1KHz（），64声强级声强级：正常说话正常说话60dB，噪声噪声70dB，炮声炮声120dB。65 由由于于波波源源和和观观察察者者的的运运动动，而而使使观观测测的的频频率不同于波源频率的现象。率不同于波源频率的现象。7.9 多普勒效应多普勒效应一、一、机械波的多普勒效应机械波的多普勒效应设运动在波源设运动在波源 S 和观测者和观测者R的连线方向上的连线方向上，以二者相向运动的方向为速度的正方向以二者相向运动的方向为速度的正方向。uvS 0vR 0SR(波的频率波的频率)（相对介质）（相对介质）（相对介质）（相对介质）（波源频率）（波源频率）（观测频率）（观测频率）66此时此时，vS=0vRu SRvR 0(R接近接近S)，vR 0,vS 0,68此时此时，（3）vR 0，vS 0，当当 vR =vS 时时（无相对运动）（无相对运动）速度速度vR、vS 是相对介质而言，并以相向为正。是相对介质而言，并以相向为正。69【例例】一一静静止止声声源源 S 频频率率 S=300Hz，声声速速 u=330m/s，观观察察者者 R 以以速速度度vR=60m/s 向向右右运运动动，反反射射壁壁以以v=100m/s 的速度的速度亦亦向右运动。向右运动。解：解：R收到的声源发射波的频率：收到的声源发射波的频率：反射壁收到的声源发射波的频率：反射壁收到的声源发射波的频率：求：求：R 测得的拍频测得的拍频 B=?vvRRS*u SR收到的反射壁反射波的频率：收到的反射壁反射波的频率：70拍频：拍频：实验上，测拍频实验上，测拍频反射壁的运动速度。反射壁的运动速度。71二、二、电磁波的多普勒效应电磁波的多普勒效应v(对对R)ScR当当 时，仍有时，仍有 横向多普勒效应横向多普勒效应 电磁波不同于机械波，不需要介质。由相电磁波不同于机械波，不需要介质。由相对论可导出：对论可导出：多普勒红移（多普勒红移（“大爆炸大爆炸”宇宙论）宇宙论）72三、三、冲击波冲击波 utSvS vSt 时，时，后发出的波面后发出的波面将超越先发出的波面，将超越先发出的波面，形成形成锥形波阵面冲击锥形波阵面冲击波波 冲击波带冲击波带 马赫数马赫数 对超音速飞机的最小对超音速飞机的最小飞行高度要有一定限制飞行高度要有一定限制。马赫锥马赫锥（Mach number）73作起始脉冲和截止脉冲作起始脉冲和截止脉冲。高能带电粒子在介质中的速度超过光在介质中高能带电粒子在介质中的速度超过光在介质中的速度时的速度时，将发生锥形的电磁波将发生锥形的电磁波切连柯夫辐射切连柯夫辐射。可用来探测高能带电粒子可用来探测高能带电粒子。脉冲重叠脉冲重叠，也可用来也可用来不易引起不易引起电磁激波电磁激波 切连柯夫辐射切连柯夫辐射(Cerenkov radiation)：它发光持续时间短它发光持续时间短（数量级数量级10-10s），），74*7.10 复波复波 群速度群速度 若若干干不不同同频频率率的的简简谐谐波波叠叠加加而而成成的的合合成成波波，它是它是非简谐波非简谐波。一、一、复波复波例如，两个频率相近的简谐波合成的复波为例如，两个频率相近的简谐波合成的复波为 y x 波群波群波群波群75二、二、色散色散 在在有有些些介介质质中中，波波速速除除了了与与介介质质有有关关外外，不不同频率简谐波的波速也不同同频率简谐波的波速也不同。能产生色散现象的介质称为能产生色散现象的介质称为色散介质色散介质。不产生色散现象的介质称为不产生色散现象的介质称为无色散介质无色散介质。这这种种波波速速与与波波的的频频率率（波波长长）有有关关的的现现象象称称为色散为色散 。76三、三、群速度群速度群速度定义为群速度定义为：对于无色散介质，相速为常数对于无色散介质，相速为常数，有有 即，即，在无色散介质中，群速度等于相速度在无色散介质中，群速度等于相速度。由由，得得波群波群、波包波包或或信号信号的传播速度的传播速度ug，称为，称为群速度群速度77色散越严重，即色散越严重，即 越大越大，ug 和和 u 相差越大相差越大。色色散散引引起起波波包包扩扩散散。色色散散严严重重波波包包扩扩散散消失，消失，群速的概念将失去意义群速的概念将失去意义。只有在只有在 较小的情况下，群速才有意义，较小的情况下，群速才有意义，波包才稳定。波包才稳定。在在色色散散介介质质中中，复复波波的的群群速速度度不不等于相速度等于相速度78*7.11 孤子孤子（soliton）（自学）（自学）