中考隐形圆问题.doc

2019中考数学复习　隐形圆问题大全
一 定点+定长
1、依据:到定点得距离等于定长得点得集合就是以定点为圆心定长为半径得圆。

２、应用:
(１)如图,四边形ABＣＤ中,ＡB=AC=AD=２,BC＝1,ＡB∥CD,求ＢD得长。

简析:因ＡB＝AＣ＝AD＝２,知Ｂ、C、Ｄ在以A为圆2为半径得圆上,由ＡＢ∥CD得DE=ＢC=１,易求BD=。

(2)如图,在矩形ＡBCD中,AB=4,ＡD＝6,Ｅ就是ＡB边得中点,F就是线段BC边上得动点,将△ＥＢF沿EF所在直线折叠得到△EB′Ｆ,连接B′Ｄ,则B′D得最小值就是         、    　

简析:E为定点,ＥB′为定长,B′点路径为以E为圆心EB′为半径得圆,作穿心线DE得最小值为。

(３)ΔAＢC中,AB=4,AＣ=２,以BC为边在ΔABC外作正方形ＢCDE,BＤ、CE交于点O,则线段AO得最大值为    　 　 。

简析:先确定Ａ、B点得位置,因ＡC=2,所以C点在以A为圆心,２为半径得圆上;因点Ｏ就是点Ｃ以点B为中心顺时针旋转４5度并1:√２缩小而得,所以把圆A旋转45度再1:缩小即得O点路径。如下图,转化为求定点A到定圆F得最长路径,即AF+FO=3、

二 定线+定角
1.依据:与一条定线得两端夹角一定得动点路径就是以定线为弦,定角为圆周角得弧。

２.应用:
(1)矩形AＢCD中,ＡＢ=１0,ＡＤ＝4,点P就是ＣD上得动点,当∠APB＝90°时求DP得长.    　

简析:ＡB为定线,∠AＰB为定角(90°),P点路径为以AＢ为弦(直径)得弧,如下图,易得DP为2或8、

(２)如图,∠XOＹ ＝ 45°,等边三角形ABＣ得两个顶点A、B分别在OＸ、OY上移动,ＡB =　2,那么OＣ得最大值为       .

简析:ＡB为定线,∠XOY为定角,O点路径为以AB为弦所含圆周角为45°得弧,如下图,转化为求定点Ｃ到定圆M得最长路径,即CM+MO＝+１+。

(3)已知Ａ(2,0),B(４,０)就是x轴上得两点,点C就是ｙ轴上得动点,当∠ACB最大时,则点C得坐标为_____。

简析:作ΔＡBC得处接圆M,当∠AＣB最大时,圆心角∠ＡＭB最大,当圆M半径最小时∠AMＢ最大,即当圆Ｍ与y轴相切时∠AＣＢ最大、

如下图,易得Ｃ点坐标为(0,２)或(0,-２)、

(4)如图,在平面直角坐标系中,抛物线ｙ=ａx^２-3ax-4a得图象经过点Ｃ(0, 2),交轴于点A、B,(A点在点左侧),顶点为Ｄ、
①求抛物线得解析式及点A、B得坐标;
②将ΔAＢC沿直线ＢＣ对折,点A得对称点为A’,试求A'得坐标;
③抛物线得对称轴上就是否存在点Ｐ,使∠BPC=∠BAC？若存在,求出点Ｐ得坐标;若不存在,请说明理由.

简析③:定线BC对定角∠BPＣ=∠BAC,则P点在以BＣ为弦得双弧上(关于ＢＣ对称),如下图所示。

三 三点定圆
1。依据:不在同一直线上得三点确定一个圆。

2。应用:
ΔABC中,∠A＝４５°,AD⊥ＢC于D,BD=4,CD=6,求AD得长、　   　

简析:作ΔＡBC得外接圆,如下图,易得AD＝７＋5=1２、

四　四点共圆
1。依据:对角互补得四边形四个顶点共圆(或一边所对两个角相等)、

２、应用:
如图,在矩形ABCD中, ＡB=６,AD＝8,Ｐ、Ｅ分别就是线段ＡC、BC上得点,四边形ＰEＦＤ为矩形,若AP=2,求ＣＦ得长。　  　

简析:因∠PＥF=∠PDF=∠DCE=９0°,知Ｄ、F、Ｃ、E、Ｐ共圆,如下图,由∠１=∠２、∠4＝∠5,易得ΔAPD∼ΔDCＦ,CF:AＰ＝CD:AD,得CF＝1、5。

五旋转生圆
１。如图,圆O得半径为５,Ａ、B就是圆上任意两点,且ＡB＝6,以为AB边作正方形ABCＤ(点Ｄ、P在直线两侧),若ＡB边绕点P旋转一周,则CＤ边扫过得面积为＿＿_＿_　。

简析:CD旋转一周扫过得图形可以用两点确定,一就是最远点距离为PＣ,二就是最近点距离为P到直线CD得垂线段,从而确定两个圆,CD即为两圆之间得圆环,如下图。

2、如图,在ΔＡBC中,∠BＡＣ=9０°,AB＝５cｍ,AC=2cm,将ΔＡBＣ绕顶点Ｃ按顺时针方向旋转至ΔA'B’C得位置,则线段AＢ扫过区域得面积为___＿_。

简析:扫过得阴影部分旋转拼合成如下圆心角为45度得扇环、

六　动圆综合
1.动圆+定弦:依据直径就是圆中最长得弦,知此弦为直径时,圆最小。
如图,　△ABＣ中,　∠AＢC=9０°, AＢ＝6, BC=8, O为AC得中点, 过Ｏ作OE⊥ＯF, ＯＥ、ＯF分别交射线ＡB、BC于E、F, 则EF得最小值为     。 

简析:图中显然O、Ｅ、F、B共圆,圆就是动得,但弦BO=５,当BO为直径时最小,所以EF最小为５。

2、动圆+定线:相切时为临界值。
如图, Rt△ABＣ中,　∠Ｃ＝9０°, ∠ＡBC=3０°,　AB＝6, 点D在AB边上, 点E就是BＣ边上一点　(不与点B、C重合), 且DA＝DＥ, 则AD得取值范围就是     。

简析:因DＡ=DE,可以D点为圆心以DA为半径作圆,则圆D与BC相切时,半径DE最小。E向B点移动半径增大直至Ｄ到Ｂ处(不含B点),得2≤AＤ〈3、

３.动弦+定角:圆中动弦所对得角一定,则当圆得直径最小时此弦长最小、
已知:△ABC中,∠B＝45°,∠Ｃ=60°,D、E分别为ＡＢ、AＣ边上得一个动点,过D分别作DF⊥AC于F,DG⊥BC于G,过E作EH⊥AB于H,EI⊥BC于I,连ＦＧ、HＩ,
求证:FG与HI得最小值相等、

简析:可以瞧HI何时最小,因B、Ｈ、E、I共圆,且弦HI所对圆周角一定,所以当此圆直径最小时弦ＨI最小,即当BＥ最小时,此时BE⊥AC,解△OHＩ可得HI得最小长度、同样可求FＧ得最小长度。
此题可归纳一般结论:当∠ABC=α,∠ACＢ=β,BC＝ｍ时,FＧ与ＨI得最小值均为ｍ＊ｓiｎα*ｓinβ。

达标测试:
1。ＢＣ＝AC=6,∠BCA＝９0°,∠BDＣ＝４5°,AD＝2,求BＤ。

2、如图,将线段ＡB绕点A逆时针旋转6０°得到线段AＣ,继续旋转α(０°＜α＜12０°)得到线段AD,连接CD,BD,则∠BDＣ得度数为      .

3.如图,在边长为2√3得等边△AＢＣ中,动点D、E分别在BC、AC边上,且保持AE=CD,连接BE、AD,相交于点P,则CP得最小值为____。

４、如图,E就是正方形AＢCD得边AＢ上得一点,过点E作ＤE得垂线交∠ABＣ得外角平分线于点F,求证:FE=DE.

5、当您站在博物馆得展厅中时,您知道站在何观赏最理想吗？如图,设墙壁上得展品最高点P距离地面2。5米,最低点Q距地面2米,观察者得眼睛E距地面1、6米,当视角∠PEＱ最大时,站在此处观赏最理想,则此时E到墙壁得距离为    米。

６、如图直线y＝x+２分别与x轴,y轴交于点M、N,边长为1得正方形OABC得一个顶点O在坐标系原点,直线AN与ＭC交于点P,若正方形OABC绕点Ｏ旋转一周,则点P到点(0, 1)长度得最小值就是＿_＿_。

２0１6•淮安填压)如图,在Rt△AＢC中,∠Ｃ=90°,AC＝6,BC＝8,点Ｆ在边ＡC上,并且CF=2,点E为边BC上得动点,将△CＥＦ沿直线EF翻折,点Ｃ落在点P处,则点P到边AＢ距离得最小值就是　 　。

【分析】如图,延长FP交AB于M,当FP⊥AB时,点P到AB得距离最小,利用△AＦM∽△AＢC,得到=求出ＦＭ即可解决问题、
【解答】解:如图,延长FＰ交AB于M,当FP⊥AＢ时,点P到AB得距离最小、(点Ｐ在以F为圆心CF为半径得圆上,当FP⊥AB时,点P到AB得距离最小)

∵∠Ａ=∠Ａ,∠AＭF＝∠C＝9０°,
∴△AFM∽△ABC,
∴＝,
∵CF＝２,AC=6,BC=8,
∴AＦ＝4,AB=＝10,
∴＝,
∴FM＝3.２,
∵PF＝ＣF＝2,
∴ＰM＝1.2
∴点Ｐ到边AB距离得最小值就是1、2、
故答案为1。２.
(20１6•无锡填空倒２)如图,已知▱OABC得顶点A、C分别在直线x=1与ｘ＝4上,O就是坐标原点,则对角线OB长得最小值为　 　　 .

【分析】过点B作BＤ⊥直线ｘ＝４,交直线x＝4于点D,过点B作BＥ⊥x轴,交x轴于点E.则OＢ=.由于四边形OAＢC就是平行四边形,所以ＯA=BC,又由平行四边形得性质可推得∠OＡF=∠BCD,则可证明△OAF≌△BＣD,所以OE得长固定不变,当BE最小时,OB取得最小值,从而可求、
【解答】解:过点Ｂ作BD⊥直线x＝4,交直线x=4于点D,过点B作ＢＥ⊥x轴,交ｘ轴于点E,直线x＝1与OＣ交于点Ｍ,与ｘ轴交于点F,直线x＝4与AB交于点Ｎ,如图:
∵四边形OABC就是平行四边形,
∴∠OAＢ=∠ＢCO,OC∥AＢ,OA＝ＢC,
∵直线ｘ＝1与直线x=４均垂直于ｘ轴,
∴AＭ∥CＮ,
∴四边形AＮCＭ就是平行四边形,
∴∠MAＮ＝∠NCＭ,
∴∠OＡF＝∠BCD,
∵∠OFA＝∠ＢＤC＝9０°,
∴∠FＯA＝∠DＢC,
在△OＡF与△BＣD中,
,
∴△OAF≌△BCD.
∴BD＝ＯF=1,
∴OE=４＋１＝５,
∴OB＝。
由于OE得长不变,所以当BE最小时(即B点在x轴上),OＢ取得最小值,最小值为ＯB=OE＝5.
故答案为:5.

(2017•南通选压)如图,矩形ABCＤ中,ＡＢ＝1０,ＢC＝5,点E,Ｆ,G,H分别在矩形AＢＣＤ各边上,且AE=ＣG,BF＝DH,则四边形EFGH周长得最小值为( 　)

A.5 B.１0 C。10ﻩD.１５
【分析】作点Ｅ关于ＢＣ得对称点E′,连接Ｅ′G交BC于点F,此时四边形EFＧＨ周长取最小值,过点G作GＧ′⊥ＡB于点Ｇ′,由对称结合矩形得性质可知:E′G′=AB=10、GＧ′＝ＡＤ=5,利用勾股定理即可求出E′Ｇ得长度,进而可得出四边形EFGH周长得最小值、
【解答】解:作点Ｅ关于BC得对称点E′,连接E′G交ＢC于点F,此时四边形EFGＨ周长取最小值,过点Ｇ作GG′⊥ＡＢ于点G′,如图所示、
∵AE=ＣG,BＥ=BE′,
∴Ｅ′G′＝ＡB=10,
∵ＧG′=AＤ＝５,
∴E′G＝＝5,
∴C四边形ＥＦＧH＝2E′G=10。
故选:B、

(2018•镇江选压)如图,一次函数y＝2x与反比例函数y＝(k〉0)得图象交于A,Ｂ两点,点P在以C(﹣2,0)为圆心,1为半径得⊙C上,Q就是AP得中点,已知ＯＱ长得最大值为,则ｋ得值为( )

A、 B、 Ｃ.ﻩＤ.
【分析】作辅助线,先确定ＯQ长得最大时,点P得位置,当BＰ过圆心Ｃ时,BP最长,设Ｂ(ｔ,2t),则ＣD＝ｔ﹣(﹣2)＝t＋2,BD=﹣２t,根据勾股定理计算t得值,可得k得值、
【解答】解:连接BP,
由对称性得:OA=ＯB,
∵Q就是AP得中点,
∴OQ＝BP,
∵ＯQ长得最大值为,
∴BP长得最大值为×２=3,
如图,当BP过圆心Ｃ时,BP最长,过Ｂ作ＢD⊥x轴于Ｄ,
∵CＰ=１,
∴BＣ=2,
∵B在直线y=2x上,
设Ｂ(ｔ,2t),则CD＝ｔ﹣(﹣2)=t＋2,ＢD=﹣2t,
在Rt△BＣD中,由勾股定理得:BC2＝CD２+BD２,
∴22=(ｔ＋2)2+(﹣2t)2,
t=0(舍)或﹣,
∴B(﹣,﹣),
∵点B在反比例函数ｙ=(ｋ>0)得图象上,
∴ｋ=﹣=;
故选:Ｃ。
(20１8•无锡)如图,已知∠XOY＝60°,点A在边ＯＸ上,OＡ=2、过点A作AＣ⊥ＯY于点Ｃ,以ＡC为一边在∠XＯＹ内作等边三角形ＡBＣ,点P就是△ABＣ围成得区域(包括各边)内得一点,过点Ｐ作PＤ∥OY交ＯX于点D,作PE∥ＯＸ交ＯＹ于点Ｅ、设OＤ=ａ,ＯＥ＝b,则a+2b得取值范围就是　 　 　.

【分析】作辅助线,构建３0度得直角三角形,先证明四边形ＥODP就是平行四边形,得EP=OD=a,在Ｒt△HEP中,∠EPＨ＝30°,可得EH得长,计算a+２b＝2OH,确认OH最大与最小值得位置,可得结论、
【解答】解:过Ｐ作PH⊥OY交于点H,
∵PD∥OＹ,ＰE∥OＸ,
∴四边形EOＤP就是平行四边形,∠ＨEP=∠XＯＹ=6０°,
∴ＥP=OＤ=a,
Rt△HEP中,∠ＥPＨ＝3０°,
∴EH＝EP＝a,
∴a+2ｂ=2(a+b)=2(EH＋ＥO)=２ＯＨ,
当P在ＡC边上时,H与Ｃ重合,此时ＯH得最小值＝ＯＣ＝OＡ＝1,即a＋2b得最小值就是2;
当Ｐ在点B时,ＯH得最大值就是:1+=,即(a+2b)得最大值就是５,
∴2≤a+2b≤５.

(２018•苏州)如图,已知AB=8,Ｐ为线段AB上得一个动点,分别以AP,PB为边在AＢ得同侧作菱形ＡPＣD与菱形PBFE,点Ｐ,Ｃ,E在一条直线上,∠ＤＡP＝6０°.M,N分别就是对角线AＣ,BE得中点.当点P在线段AB上移动时,点M,Ｎ之间得距离最短为　　　 (结果留根号).

【分析】连接PM、PＮ。首先证明∠MＰN＝90°设ＰA＝2ａ,则ＰB＝8﹣2a,PM=a,PN=(4﹣a),构建二次函数,利用二次函数得性质即可解决问题;
【解答】解:连接PM、PN.

∵四边形ＡPCＤ,四边形ＰBFE就是菱形,∠DAP＝６0°,
∴∠APC=120°,∠EPＢ＝60°,
∵M,N分别就是对角线AC,BE得中点,
∴∠ＣＰM＝∠APC＝60°,∠EPN=∠EPB＝30°,
∴∠MＰN＝60°+30°＝90°,
设PA＝2a,则PB＝8﹣２a,ＰＭ=a,PN=(4﹣a),
∴MN＝＝=,
∴a＝3时,MN有最小值,最小值为2,
故答案为2.