2016年高考理科数学北京卷.pdf

数学试卷 第 1 页（共 6 页）数学试卷 第 2 页（共 6 页）数学试卷 第 3 页（共 6 页）绝密启用前 2016 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（理）数学（理）本试卷共 6 页，150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合 A=|2x x，B=1,0,1,2,3，则AB （）A.0,1 B.0,1,2 C.1,0,1 D.1,0,1,2 2.若 x，y 满足20,3,0,xyxyx则 2x+y 的最大值为 （）A.0 B.3 C.4 D.5 3.执行如图所示的程序框图，若输入的 a 值为 1，则输出的 k 值为 （）A.1 B.2 C.3 D.4 4.设 a,b 是向量.则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的 （）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知,x yR,且0 xy，则 （）A.110 xy B.sinsin0 xy C.11()()022xy D.lnln0 xy 6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 （）A.16 B.13 C.12 D.1 7.将函数sin(2)3yx图象上的点 P（4，t）向左平移 s（0s）个单位长度得到点P.若 P位于函数sin2yx的图象上，则 （）A.t=12，s 的最小值为6 B.t=32，s 的最小值为6 C.t=12，s 的最小值为3 D.t=32，s 的最小值为3 8.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 （）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 第二部分（非选择题 共 100 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9.设aR，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a _.10.在6(1 2)x的展开式中，2x的系数为_（用数字作答）.11.在极坐标系中，直线cos3 sin10 与圆2cos交于 A，B 两点，则|AB|=_.12.已知na为等差数列，nS为其前 n 项和.若13560aaa，则6S _.13.双曲线22221(0,0)xyabab的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形 OABC 的边长为 2，则a _.14.设函数33()2.xxxaf xxxa，若0a，则)(f x的最大值为_；若)(f x无最大值，则实数a的取值范围是_.三、解答题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分 13 分）在ABC中，2222acbac.（）求B的大小；（）求2coscosAC的最大值.-在-此-卷-上-答-题-无-效-姓名_ 准考证号_ 数学试卷 第 4 页（共 6 页）数学试卷 第 5 页（共 6 页）数学试卷 第 6 页（共 6 页）16.（本小题满分 13 分）A、B、C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：A 班 6 6.5 7 7.5 8 B 班 6 7 8 9 10 11 12 C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（）试估计 C 班的学生人数；（）从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（）再从 A，B，C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是 7，9，8.25（单位：小时）.这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为1，表格中数据的平均数记为0，试判断0和1的大小.（结论不要求证明）17.（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，PAPD，PA=PD，ABAD，AB=1，AD=2，AC=CD=5.（）求证：PD平面 PAB.（）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值；（）在棱 PA 上是否存在点 M，使得 BM平面 PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，请说明理由.18.（本小题满分 13 分）设函数()a xf xxebx，曲线()yf x在点(2,2f（）)处的切线方程为ye（14x）.（）求 a,b 的值；（）求()f x的单调区间.19.（本小题满分 14 分)已知椭圆22221:0 xyaabbC（）的离心率为32，(,0)A a，(0,)Bb，(0,0)O，OAB 的面积为 1.（）求椭圆 C 的方程；（）设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证：|AN|BM|为定值.21.（本小题满分 13 分)设数列 A：1a，2a，Na(2)N.如果对小于()2nnN 的每个正整数 k 都有knaa，则称 n 是数列 A 的一个“G 时刻”.记()G A是数列 A 的所有“G 时刻”组成的集合.（）对数列 A：2，2，1，1，3，写出()G A的所有元素；（）证明：若数列 A 中存在na使得1naa，则()G A；（）证明：若数列 A 满足11nnaa（n=2，3，N），则 G（A）的元素个数不小于1Naa.