2016年高考理科数学山东卷-答案.docx

2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】B
【解析】设，，则，，，，．
【提示】设出复数，通过复数方程求解即可．
【考点】复数代数形式的乘除运算
2.【答案】C
【解析】，，，，．
【提示】求解指数函数的值域化简，求解一元二次不等式化简，再由并集运算得出答案．
【考点】并集及其运算
3.【答案】D
【解析】由频率分布直方图可知：组距为2．5，故这200名学生中每周的自习时间不少于22．5小时的频率为：，人数是人．
【提示】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22．5小时的频率，进而可得自习时间不少于22．5小时的频数．
【考点】频率分布直方图
4.【答案】C
【解析】作图：

可见当取点时取最大值，最大值为．
【提示】由约束条件作出可行域，然后结合的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得的最大值．
【考点】简单线性规划
5.【答案】C
【解析】由三视图可知，此几何体是一个正三棱锥和半球构成的，
体积为．
【提示】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案．
【考点】由三视图求面积、体积
6.【答案】A
【解析】若直线相交，一定有一个交点，平面一定有一条交线，所以是充分条件；两平面相交，平面内两条直线关系任意．
【提示】根据空间直线与直线，平面与平面位置关系的几何特征，结合充要条件的定义，可得答案．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
7.【答案】B
【解析】，最小正周期．
【提示】利用和差角及二倍角公式，化简函数的解析式，进而可得函数的周期．
【考点】三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法
8.【答案】B
【解析】，，，，，，，．
【提示】若，则，进而可得实数的值．
【考点】平面向量数量积的运算
9.【答案】D
【解析】当时，，既，周期为1，；当时，，且，，．
【提示】求得函数的周期为1，再利用当时，，得到，当时，，得到，即可得出结论．
【考点】抽象函数及其应用
10.【答案】A
【解析】（A）函数的特征是存在两点切线垂直，既存在两点导数值相乘为；
（B）选项中的导数是恒大于，斜率成绩不可能为；
（C）选项中的导函数恒大于，斜率成绩不可能为；
（D）选项中的导函数恒大于等于，斜率成绩不可能为．
【提示】若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为，进而可得答案．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程
第Ⅱ卷
二、填空题
11.【答案】3
【解析】输入的，的值分别为0和9，．第一次执行循环体后：，，不满足条件，故；第二次执行循环体后：，，不满足条件，故；第三次执行循环体后：，，满足条件，故输出的值为3．
【提示】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【考点】程序框图
12.【答案】
【解析】，，，的系数为，．
【提示】利用二项展开式的通项公式，化简可得求的的系数．
【考点】二项式系数的性质
13.【答案】2
【解析】令，代入双曲线的方程可得，由题意可设，，，，由，可得，即为，由，，可得，解得．

【提示】可令，代入双曲线的方程，求得，再由题意设出，，，的坐标，由，可得，，的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．
【考点】双曲线的简单性质
14.【答案】
【解析】直线与圆相交，所以圆心到直线距离小于半径，
，，，，．
【提示】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．
【考点】几何概型
15.【答案】
【解析】当时，函数的图象如下：

时，，要使得关于的方程有三个不同的根，必须，即，解得，的取值范围是．
【提示】作出函数的图象，依题意，可得，解之即可．
【考点】根的存在性及根的个数判断
三、解答题
16.【答案】（Ⅰ）由得：，
两边同乘以得，，
，即①，根据正弦定理，，，，，带入①得，
．
（Ⅱ），
，，且，当且仅当时取等号，
又，，，
由余弦定理，
的最小值为．
【提示】（Ⅰ）由切化弦公式，，带入并整理可得，这样根据两角和的正弦公式即可得到，从而根据正弦定理便可得出；
（Ⅱ）根据，两边平方便可得出，从而得出，并由不等式，得出，也就得到了，这样由余弦定理便可得出，从而得出的范围，进而便可得出的最小值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用，正弦定理，余弦定理
17.【答案】（Ⅰ）取中点，连结、，
、为、的中点，
且，，
又且，
且，
平面平面，
面，
平面．
（Ⅱ），
，又面，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，由题意可知面的法向量为，设为面的法向量，则，即，取，则，
，
二面角的平面角是锐角，
二面角的余弦值为．

【提示】（Ⅰ）取中点，连结、，推导出平面平面，由此能证明平面，（Ⅱ）由，知，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定
18.【答案】（Ⅰ），时，，
时，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（Ⅱ），
①，
②，
①②可得：

．
【提示】（Ⅰ）求出数列的通项公式，再求数列的通项公式；
（Ⅱ）求出数列的通项，利用错位相减法求数列的前项和．
【考点】数列的求和，数列递推式
19.【答案】（Ⅰ）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，
故概率；
（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为可能为：0，1，2，3，4，6，则，
，
，
，
，
，
故的分布列如下图所示：
X
0
1
2
3
4
6
P

数学期望．
【提示】（Ⅰ）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，进而可得答案；
（Ⅱ）由已知可得：“星队”两轮得分之和为可能为：0，1，2，3，4，6，进而得到的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差，列举法计算基本事件数及事件发生的概率，离散型随机变量及其分布列
20.【答案】（Ⅰ）由，得

若，则恒成立，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数；
当，若，当和时，，为增函数，
当时，，为减函数；
若，恒成立，在上为增函数；
若，当和时，，为增函数，
当时，，为减函数；
（Ⅱ），令，
令，，则，由，
可得，当且仅当时取等号；
又，设，则在上单调递减，且，，在上存在，使得时，时，，
函数在上单调递增；在上单调递减，由于，，因此，
当且仅当取等号，
，
恒成立，即对于任意的成立．
【提示】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性；
（Ⅱ）构造函数，令，，
则，利用导数分别求与的最小值得到恒成立，由此可得对于任意的成立．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性
21.【答案】（Ⅰ）由题意可得，抛物线的焦点为，即有，，解得，，可得椭圆的方程为；
（Ⅱ）（ⅰ）设，可得，由的导数为，即有切线的斜率为，则切线的方程为，可化为，代入椭圆方程，可得，设，，可得，即有中点，直线的方程为，可令，可得，即有点在定直线上；
（ⅱ）直线的方程为，令，可得，则，，则，令，则，则当，即时，取得最大值，此时点的坐标为．
【提示】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的，，的关系，解得，，进而得到椭圆的方程；
（Ⅱ）（ⅰ）设，运用导数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得中点的坐标，求得的方程，再令，可得，进而得到定直线；
（ⅱ）由直线的方程为，令，可得，运用三角形的面积公式，可得，，化简整理，再，整理可得的二次方程，进而得到最大值及此时的坐标．
【考点】椭圆的简单性质

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