完全平方公式与平方差公式课件.pptx

标题标题标题标题 完完 全全 平平 方方 公公 式式 一块边长为一块边长为一块边长为一块边长为a a米的正方形实验田，米的正方形实验田，米的正方形实验田，米的正方形实验田，做一做做一做图图图图1 1a 因需要将因需要将因需要将因需要将其边长增加其边长增加其边长增加其边长增加 b b 米米米米.形成四块形成四块形成四块形成四块实验田，以种植不同的新品种实验田，以种植不同的新品种实验田，以种植不同的新品种实验田，以种植不同的新品种(如图如图如图如图1 1).).用不同的形式表示实验田用不同的形式表示实验田用不同的形式表示实验田用不同的形式表示实验田的总面积的总面积的总面积的总面积,并进行比较并进行比较并进行比较并进行比较.abb法一法一法一法一 直直直直接接接接求求求求总面积总面积总面积总面积=(a+b)；2 2法二法二法二法二间间间间接接接接求求求求总面积总面积总面积总面积=a2+ab+ab+b2.(a+b)2=a2+ab+b2.你发现了什么你发现了什么你发现了什么你发现了什么?探索探索:2公式公式:完全平方公式完全平方公式 动脑筋动脑筋(1)(1)你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?想一想想一想想一想想一想(a+b)2=a2+2ab+b2;(a+b)2=推证推证推证推证(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;(2)(2)a2 2ab+b2.小颖写出了如下的算式小颖写出了如下的算式小颖写出了如下的算式小颖写出了如下的算式:(ab)2=a+(b)2(ab)2=她是怎么想的她是怎么想的她是怎么想的她是怎么想的?利用两数和的利用两数和的利用两数和的利用两数和的完全平方公式完全平方公式完全平方公式完全平方公式推证公式推证公式推证公式推证公式(a a b b)2 2=a a+(b b)2 2=2 2 +2 2 +2 2 a aa a(b b)(b b)=a a2 22 2a ab b b b2 2.+你能继续做下去吗你能继续做下去吗你能继续做下去吗你能继续做下去吗?的证明的证明(a+b)2=a2+2ab+b2 .(ab)2=a22ab+b2.2aba2 +b2(ab)2=a22ab+b2 初初 识识 完全平方完全平方 公式公式a aa ab bb ba2ababb2结构特征结构特征结构特征结构特征:左边是左边是左边是左边是的平方的平方的平方的平方;二项式二项式二项式二项式右边是右边是右边是右边是a2 +b2(两数和两数和两数和两数和 )(差差差差)(a a+b b)2 2=a a2 2 a ab b b b(a a b b)=a a2 222a ab b+b b2 2.=(a a b b)2 2a a b ba a b ba aa aa ab bb b(a a b b)b bb b(a a b b)2 2a a2 2+2 2a ab b+b b2 2a+bab两数的平方和两数的平方和两数的平方和两数的平方和+加上加上加上加上(减去减去减去减去)2ab这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍.(a a b b)2 2=a a2 2 2 2a ab b+b b2 2几几几几何何何何解解解解释释释释:用自己的语用自己的语用自己的语用自己的语言叙述上面言叙述上面言叙述上面言叙述上面的公式的公式的公式的公式语言表述语言表述语言表述语言表述:两数和两数和两数和两数和 的平方的平方的平方的平方 等于等于等于等于这两数的平方和这两数的平方和这两数的平方和这两数的平方和 加上加上加上加上 这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍.22(差差差差)(减去减去减去减去)例题解析例题解析学一学学一学 例例例例 利用完全平方公式计算：利用完全平方公式计算：利用完全平方公式计算：利用完全平方公式计算：(1)(1)(2(2x x 3)3)2 2 ；(2)(2)(4(4x x+5 5y y)2 2;(3)(3)(mnmn a a)2 2 使用完全平方公式与平方差公式的使用一样使用完全平方公式与平方差公式的使用一样使用完全平方公式与平方差公式的使用一样使用完全平方公式与平方差公式的使用一样,注意注意注意注意先把要计算的式子与完全平方公式对照先把要计算的式子与完全平方公式对照先把要计算的式子与完全平方公式对照先把要计算的式子与完全平方公式对照,明确个是明确个是明确个是明确个是 a a,哪个是哪个是哪个是哪个是 b.b.第一数第一数第一数第一数2 2x x4 4x x2 22 2x x的平方的平方的平方的平方,()()2 2 减去减去减去减去2 2x x第一数第一数第一数第一数与第二数与第二数与第二数与第二数 2 2x x3 3 乘积乘积乘积乘积的的的的2 2倍倍倍倍,2 2加上加上加上加上+第二数第二数第二数第二数3 3的平方的平方的平方的平方.2 2=1212x x+9 9 ;阅读阅读 (2)(3)(2)(3).解：解：(1)(2(2x x 3)3)2 2 做题时要做题时要做题时要做题时要边念边写：边念边写：边念边写：边念边写：=3 3随堂练习随堂练习随堂练习随堂练习 (1)(x 2y)2；(2)(2xy+x)2 ;计算：计算：(3)(n+1)2 n2.(4)9.92纠纠 错错 练练 习习 指出下列各式中的错误，并加以改正：指出下列各式中的错误，并加以改正：指出下列各式中的错误，并加以改正：指出下列各式中的错误，并加以改正：(1)(1)(2(2a a1)1)2 22 2a a2 222a a+1;1;(2)(2)(2(2a a+1)1)2 24 4a a2 2+1 1；(3)(3)(a a 1)1)2 2 a a2 2 2 2a a 1.1.解解解解:(1)(1)(1)(1)第一数第一数第一数第一数被被被被平方平方平方平方时时时时,未添括号未添括号未添括号未添括号;第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的2 2 2 2倍倍倍倍 少乘了一个少乘了一个少乘了一个少乘了一个2 2 2 2;应改为应改为应改为应改为:(2(2a a1)1)2 2 (2 2a a)2 222 2 2a a 1+1;1+1;(2)(2)(2)(2)少了少了少了少了第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的2 2 2 2倍倍倍倍 (丢了一项丢了一项丢了一项丢了一项);应改为应改为应改为应改为:(2(2a a+1)1)2 2 (2 2a a)2 2+2 2 2 2a a 1 1 +1;+1;(3)(3)(3)(3)第一数平方第一数平方第一数平方第一数平方未添括号未添括号未添括号未添括号,第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的2 2 2 2倍倍倍倍 错了符号错了符号错了符号错了符号;第二数的平方第二数的平方第二数的平方第二数的平方 这一项这一项这一项这一项错了符号错了符号错了符号错了符号;应改为应改为应改为应改为:(a a1)1)2 2(a a)2 222(a a)1 1+1 12 2;拓拓 展展 练练 习习 下列等式是否成立下列等式是否成立下列等式是否成立下列等式是否成立?说明理由说明理由说明理由说明理由(1)(1)(4a4a+1)1)2 2=(1=(1 4a)4a)2 2；(2)(2)(4a4a 1)1)2 2=(4a=(4a+1)1)2 2；(3)(3)(4a(4a 1)(11)(1 4a)4a)(4a(4a 1)(4a1)(4a 1)1)(4a(4a 1)1)2 2；(4)(4)(4a(4a 1)(1)(1 1 4a)4a)(4a(4a 1)(4a1)(4a+1).1).(1)(1)由加法交换律由加法交换律由加法交换律由加法交换律 4a4a+l ll l 4a.4a.成立成立成立成立理由理由理由理由:(2)(2)4a4a 1 1 (4a+1)(4a+1)，成立成立成立成立(4a4a 1)1)2 2 (4a(4a+1)1)2 2(4a+1)(4a+1)2 2.(3)(3)(1(1 4a)4a)(1 1+4a)4a)不成立不成立不成立不成立即即即即 (1(1 4a)4a)(4a(4a 1)1)(4a(4a 1)1)，(4a(4a 1)(11)(1 4a)4a)(4a(4a 1)1)(4a(4a 1)1)(4a(4a 1)(4a1)(4a 1)1)(4a(4a 1)1)2 2.不成立不成立不成立不成立(4)(4)右边应为右边应为右边应为右边应为:(4a(4a 1)(4a+1).1)(4a+1).平平 方方 差差 公公 式式计算下列各题计算下列各题计算下列各题计算下列各题:做一做做一做(1)(1)(x x+3)(3)(x x 3)3)；(2)(2)(1(1+2 2a a)(1)(1 2 2a a)；(3)(3)(x x+4 4y y)()(x x 4 4y y)；(4)(4)(y y+5 5z z)()(y y 5 5z z)；=x x2 2 9;9;=1 1 4 4a a2 2 ;=x x2 2 1616y y2 2;=y y2 2 2525z z2 2;观察观察观察观察&发现发现发现发现 观察以上算观察以上算观察以上算观察以上算式及其运算结果，式及其运算结果，式及其运算结果，式及其运算结果，你发现了什么规律？你发现了什么规律？你发现了什么规律？你发现了什么规律？用自己的语用自己的语用自己的语用自己的语言叙述你的言叙述你的言叙述你的言叙述你的发现发现发现发现.=x x2 2 3 32 2;=1 12 2(2(2a a)2 2;=x x2 2(4(4y)y)2 2;=y y2 2(5(5z)z)2 2.(a+b)(ab)=a2b2.两数和与这两数差的积两数和与这两数差的积两数和与这两数差的积两数和与这两数差的积,等于等于等于等于这两数的平方的差这两数的平方的差这两数的平方的差这两数的平方的差.用式子表示，即：用式子表示，即：用式子表示，即：用式子表示，即：初初 识识 平平 方方 差差 公公 式式(a+b)(ab)=x2b2 (1)(1)(1)(1)公式左边两个二项式必须是公式左边两个二项式必须是公式左边两个二项式必须是公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘；相同两数的和与差相乘；相同两数的和与差相乘；相同两数的和与差相乘；且且且且左边两括号内的第一项相等、左边两括号内的第一项相等、左边两括号内的第一项相等、左边两括号内的第一项相等、第二项符号相反第二项符号相反第二项符号相反第二项符号相反 互为相反数互为相反数互为相反数互为相反数(式式式式);(2)(2)(2)(2)公式右边是这两个数的平方差；公式右边是这两个数的平方差；公式右边是这两个数的平方差；公式右边是这两个数的平方差；即即即即右边是左边右边是左边右边是左边右边是左边括号内的括号内的括号内的括号内的第一项的平方第一项的平方第一项的平方第一项的平方 减去第二项的平方减去第二项的平方减去第二项的平方减去第二项的平方.(3)(3)(3)(3)公式中的公式中的公式中的公式中的 a a和和和和b b 可以代表数，可以代表数，可以代表数，可以代表数，也可以是代数式也可以是代数式也可以是代数式也可以是代数式 特征特征结构结构例题解析例题解析 学一学学一学 例例例例 利用平方差公式计算：利用平方差公式计算：利用平方差公式计算：利用平方差公式计算：(1)(1)(5(5+6 6x x)(5)(5 6 6x x)；(2)(2)(x x+2 2y y)()(x x 2 2y y););(3)(3)(mm+n n)()(mm n n).).解解解解:(1)(1)(5(5+6 6x x)(5)(5 6 6x x)=5 55 5第一数第一数第一数第一数a a5 52 2平方平方平方平方 6 6x x6 6x x第二数第二数第二数第二数b b平方平方平方平方要用括号把这个数整要用括号把这个数整要用括号把这个数整要用括号把这个数整个括起来，个括起来，个括起来，个括起来，注意注意注意注意 当当当当“第第第第一一一一(二二二二)数数数数”是一分数是一分数是一分数是一分数或是数与字母的乘积或是数与字母的乘积或是数与字母的乘积或是数与字母的乘积时时时时,再平方再平方再平方再平方;()()2 26 6x x=2525 最后的结果最后的结果最后的结果最后的结果又要去掉括号又要去掉括号又要去掉括号又要去掉括号.3636x x2 2;(2)(2)(x x+2 2y y)()(x x 2 2y y)=x xx xx x2 2 ()()2 22 2y y2 2y y2 2y y=x x2 2 4 4y y2 2;(3)(3)(mm+n n)()(mm n n)=mm mm mm()()2 2 n n n nn n2 2=n n2 2 n n2 2.随堂练习随堂练习随堂练习随堂练习(1)(a+2)(a2)；(2)(3a+2b)(3a2b);计算：计算：(3)(x+1)(x1);(4)(4k+3)(4k3).纠纠 错错 练练 习习(1)(1)(1+2x)(1(1+2x)(1 2x)=12x)=1 2x2x2 2(2)(2)(2a(2a2 2+b+b2 2)(2a)(2a2 2 b b2 2)=2a)=2a4 4 b b4 4(3)(3)(3m+2n)(3m(3m+2n)(3m 2n)=3m2n)=3m2 2 2n2n2 2本题对公式的直接运用，以加深对公式本质特征的理解本题对公式的直接运用，以加深对公式本质特征的理解本题对公式的直接运用，以加深对公式本质特征的理解本题对公式的直接运用，以加深对公式本质特征的理解 指出下列计算中的错误：指出下列计算中的错误：指出下列计算中的错误：指出下列计算中的错误：2x2x2x2x2x2x第二数被平方时，未添括号第二数被平方时，未添括号第二数被平方时，未添括号第二数被平方时，未添括号.2 2a a2 22 2a a2 22 2a a第一第一第一第一 数被平方时，未添括号数被平方时，未添括号数被平方时，未添括号数被平方时，未添括号.3m3m3m3m3m3m2n2n2n2n2n2n第一数与第二数被平方时，第一数与第二数被平方时，第一数与第二数被平方时，第一数与第二数被平方时，都未添括号都未添括号都未添括号都未添括号.拓拓 展展 练练 习习本题是公式的变式训练，以本题是公式的变式训练，以本题是公式的变式训练，以本题是公式的变式训练，以加深对公式本质特征的理解加深对公式本质特征的理解加深对公式本质特征的理解加深对公式本质特征的理解 运用平方差公式计算：运用平方差公式计算：运用平方差公式计算：运用平方差公式计算：(4 4a a 1)(41)(4a a 1)1)(用两种方用两种方用两种方用两种方法法法法)运用平方差公式时，运用平方差公式时，运用平方差公式时，运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，要紧扣公式的特征，要紧扣公式的特征，要紧扣公式的特征，找出相等的找出相等的找出相等的找出相等的“项项项项”和符号相反的和符号相反的和符号相反的和符号相反的“项项项项”，然后应用公，然后应用公，然后应用公，然后应用公式式式式 法一法一法一法一 利用加法交换律，利用加法交换律，利用加法交换律，利用加法交换律，变成公式标准形式变成公式标准形式变成公式标准形式变成公式标准形式.(4 4a a 1)(41)(4a a 1)1)=(1)1)2 2 (4(4a a)2 2=1 1 1616a a2 2.法二法二法二法二 提取两提取两提取两提取两“”号中的号中的号中的号中的“”号，号，号，号，变成公式标准形式变成公式标准形式变成公式标准形式变成公式标准形式.(4 4a a 1)1)(4(4a a 1)1)=(4(4a a+1)1)(4 4a a 1)1)(4(4a a 1)1)=(4(4a a)2 2 1 1 计算时千万别忘了计算时千万别忘了计算时千万别忘了计算时千万别忘了你提出的你提出的你提出的你提出的“”号、添括号；号、添括号；号、添括号；号、添括号；注意注意注意注意 =1 1 1616a a2 2.(4 4a a 1 )(41 )(4a a 1 1 )1 1 4 4a a 1 1+4 4a a(4(4a a+1)(41)(4a a 1)1)拓拓 展展 练练 习习(1)(a+b)(a b)；(2)(a b)(b a);(3)(a+2b)(2b+a);(4)(a b)(a+b);(5)(2x+y)(y 2x).(不能不能不能不能)本题是公式的变式训练，以加深对公式本质特征的理解本题是公式的变式训练，以加深对公式本质特征的理解本题是公式的变式训练，以加深对公式本质特征的理解本题是公式的变式训练，以加深对公式本质特征的理解 下列式子可用平方差公式计算吗下列式子可用平方差公式计算吗下列式子可用平方差公式计算吗下列式子可用平方差公式计算吗?为什么为什么为什么为什么?如果能够，如果能够，如果能够，如果能够，怎样计算怎样计算怎样计算怎样计算?(第一个数不完全一样第一个数不完全一样第一个数不完全一样第一个数不完全一样 )(不能不能不能不能)(不能不能不能不能)(能能能能)(a a2 2 b b2 2)=a a2 2 +b b2 2;(不能不能不能不能)