平方差公式与完全平方公式知识点总结.doc

乘法公式的复习
一、平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2

归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：
① 位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2
② 符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2
③ 指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4
④ 系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2
⑤ 换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]
=(xy)2-(z+m)2
=x2y2-(z+m)(z+m)
=x2y2-(z2+zm+zm+m2)
=x2y2-z2-2zm-m2
⑥ 增项变化，(x-y+z)(x-y-z)
=(x-y)2-z2
=(x-y)(x-y)-z2
=x2-xy-xy+y2-z2
=x2-2xy+y2-z2
⑦ 连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)
=(x2-y2)(x2+y2)
=x4-y4
⑧ 逆用公式变化，(x-y+z)2-(x+y-z)2
=[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)]
=2x(-2y+2z)
=-4xy+4xz

完全平方公式
活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：

灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。
例1．已知，，求的值。

例2．已知，，求的值。
解：∵
∴ ∴=
∵， ∴

例3 已知，求的值。
解：
三、学习乘法公式应注意的问题

　 （一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．
　　例1 计算(-2x2-5)(2x2-5)
　　分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x2”符号相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而“2x2”则是公式中的b．

例2 计算(-a2+4b)2
　　分析：运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时，“-a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若将题目变形为(4b-a2)2时，则“4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b．（解略）

（二）、注意为使用公式创造条件
　　例3 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．
　　分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．

　　例5 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．
　　分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简．

（三）、注意公式的推广
计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推广得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
　　可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍．
　　例6 计算(2x+y-3)2
　　解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)
　　=4x2+y2+9+4xy-12x-6y．

（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式
　 　例7　已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值．

　　例10 计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2
　　分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便．

四、怎样熟练运用公式：
熟悉常见的几种变化
有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点．

常见的几种变化是：
1、位置变化 如（3x+5y）（5y－3x）交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了．
2、符号变化 如（－2m－7n）（2m－7n）变为－（2m+7n）（2m－7n）后就可用平方差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？）
3、数字变化 如98×102，992，912等分别变为（100－2）（100+2），（100－1）2，（90+1）2后就能够用乘法公式加以解答了．
4、系数变化 如（4m+）（2m－）变为2（2m+）（2m－）后即可用平方差公式进行计算了．

（四）、注意公式的灵活运用
有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如计算（a2+1）2·（a2－1）2，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便．即原式=[（a2+1）（a2－1）]2=（a4－1）2=a8－2a4+1．
对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用．如计算（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－），若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题．
即原式=（1－）（1+）（1－）（1+）×…×（1－）（1+）=××××…×× =×=．
有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有：a2+b2=（a+b）2－2ab，a2+b2=（a－b）2+2ab等．
用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效．
如已知m+n=7，mn=－18，求m2+n2，m2－mn+ n2的值．
面对这样的问题就可用上述变式来解，
即m2+n2=（m+n）2－2mn=72－2×（－18）=49+36=85，
m2－mn+ n2= （m+n）2－3mn=72－3×（－18）=103．

下列各题，难不倒你吧？！
1、若a+=5，求（1）a2+，（2）（a－）2的值．
2、求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1的末位数字．
（答案：1.（1）23；（2）21．2. 6 ）

五、乘法公式应用的五个层次
乘法公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2，(a±b)=a2±2ab＋b2，
(a±b)(a2±ab＋b2)=a3±b3．

第一层次──正用
即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用．
例1计算
(－2x－y)(2x－y)．

．

第二层次──逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用．
例2计算

第三层次──活用 ：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式．
例3化简：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1．
分析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式“2－1”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解．
解原式=(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1
=(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1=216．
第四层次──变用 ：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a2＋b2=(a＋b)2－2ab，a3＋b3=(a＋b)3－3ab(a＋b)等，则求解十分简单、明快．
例5已知a＋b=9，ab=14，求2a2＋2b2的值．
解： ∵a＋b=9，ab=14，∴2a2＋2b2=2[(a＋b)2－2ab]=2(92－2·14)=106，

第五层次──综合后用 ：将(a＋b)2=a2＋2ab＋b2和(a－b)2=a2－2ab＋b2综合，
可得 (a＋b)2＋(a－b)2=2(a2＋b2)；(a＋b)2－(a－b)2=4ab；
等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷．
例6计算：(2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5)．
解：原式=[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2-[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]2
=(2x＋5)2－(y－z)2=4x2＋20x＋25－y2＋2yz－z2

乘法公式的使用技巧：

①提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。
例1、 运用乘法公式计算：
（1）(-1+3x)(-1-3x)； （2）(-2m-1)2

②改变顺序：运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显.
例2、 运用乘法公式计算：
（1）()(); （2）(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)

③逆用公式
将幂的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2-b2 = (a+b)(a-b)，逆用积的乘方公式，得anbn=(ab)n,等等，在解题时常会收到事半功倍的效果。
例3、 计算：
（1）(x/2+5)2-(x/2-5)2 ; （2）(a-1/2)2(a2+1/4) 2(a+1/2)2
④合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完全相同的项调到各因式的前面，视为一组；符号相反的项放在后面，视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。

计算：（1）(x+y+1)(1-x-y); （2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).

先提公因式，再用公式
例2. 计算：
简析：通过观察、比较，不难发现，两个多项式中的x的系数成倍数，y的系数也成倍数，而且存在相同的倍数关系，若将第一个多项式中各项提公因数2出来，变为，则可利用乘法公式。

三. 先分项，再用公式
例3. 计算：
简析：两个多项中似乎没多大联系，但先从相同未知数的系数着手观察，不难发现，x的系数相同，y的系数互为相反数，符合乘法公式。进而分析如何将常数进行变化。若将2分解成4与的和，将6分解成4与2的和，再分组，则可应用公式展开。

四. 先整体展开，再用公式
例4. 计算：
简析：乍看两个多项式无联系，但把第二个整式分成两部分，即，再将第一个整式与之相乘，利用平方差公式即可展开。

六. 先用公式，再展开
例6. 计算：
简析：第一个整式可表示为，由简单的变化，可看出整式符合平方差公式，其它因式类似变化，进一步变换成分数的积，化简即可。