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相交线、平行线知识点归纳
1、邻补角与对顶角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
1
2
∠1的两边与∠2的两边
邻补角
4
3
∠3与∠4有一条边公共，另一边
注意点：⑴两直线相交形成的4个角的位置关系有：
（2）∠α与∠β是对顶角，那么一定有 ；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角
⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有 ；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。
⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有 个，而对顶角只有 个。
(4) 两直线相交形成的四个角中，共有 组邻补角， 组对顶角。
2、垂线
⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
A
B
C
D
O
符号语言记作：
如图所示：记作： 垂足为
⑵垂线性质1：
⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：
3、垂线的画法：
⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画线。
注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；
4、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的 ，叫做点到直线的距离。
5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念
分析它们的联系与区别
⑴垂线与垂线段 区别：
联系：具有垂直于已知直线的共同特征。
⑵两点间距离与点到直线的距离 区别：
联系：都是线段的长度；
⑶线段与距离 区别
6、平行线的概念：
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线与直线互相平行，记作∥。
7、两条直线的位置关系
，两条直线的位置关系只有两种：
8、平行公理――平行线的存在性与惟一性
经过 一点， 一条直线与这条直线平行
9、平行公理的推论：
如果 那么这两条直线也互相平行
如左图所示，∵∥，∥
∴∥
注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行。
10、三线八角
1
2
3
4
5
6
7
8
两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。
如图，直线被直线所截，沿被截线线方向看去
①∠1与∠5在截线的 ，同在被截直线
的 叫做同位角（位置相同）
②∠5与∠3在截线的 ，在被截直线之间（内），叫做内错角；
③∠5与∠4在截线的 ，在被截直线之间（内），叫做同旁内角。
④三线八角也可以从模型中看出。同位角是“ ”型；内错角是“ ”型；同旁内角是“ ”型。
11、如何找截线和被截线？
通常，截线就是2个角的 ，被截线就是2个角 。
12.两直线平行的判定方法
方法一 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简称：
方法二 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
简称：
方法三 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简称：
几何符号语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（ ）
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（ ）
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（ ）
注意：当同位角相等时，只能得到这2个同位角的 平行。同理……
13、平行线的性质：
性质1：
性质2：
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
性质3：
几何符号语言：
∵AB∥CD
∴∠1＝∠2（ ）
∵AB∥CD
∴∠3＝∠2（ ）
∵AB∥CD
∴∠4＋∠2＝180°（ ）
注意，当有2直线平行时，要先 ，再去找3种类型的角。
14、两条平行线的距离
直线AB∥CD，在直线AB上任取一点E，过点E作CD的垂线段EG，则垂线段EG的长度也就是直线AB与CD间的距离。
15、命题：
⑴命题的概念：
判断一件事情的语句，叫做命题。
⑵命题的组成：由 和 组成。
命题常写成“如果……，那么……”的形式。具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。
（3）命题分类：真命题、假命题
16、平移变换
①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的 和 完全相同。
②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是
③连接各组对应点的线段 且
1．如图，∠1的邻补角是
2、如图，直线AB与CD相交于O点，且∠COE＝90°，则
(1)与∠BOD互补的角有________________________；
(2)与∠BOD互余的角有________________________；
(3)与∠EOA互余的角有________________________；
(4)若∠BOD＝42°17′，则∠AOD＝__________；∠EOD＝______；
∠AOE＝______．
3．图中是对顶角的是( )．
4．已知：如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD∶∠DOE＝4∶1．求∠AOF的度数．
5．如图，已知∠AOB及点P，分别画出点P到射线OA、OB的垂线段PM及PN．
图a 图b 图c
6．如图，过A点作CD⊥MN，过A点作PQ⊥EF于B．
图a 图b 图c
7、如图，BC⊥AC，CD⊥AB，AB＝m，CD＝n，则AC的长的取值范围是( )．
(A)AC＜m (B)AC＞n
(C)n≤AC≤m (D)n＜AC＜m
8．如图所示，
(1)∠B和∠ECD可看成是直线AB、CE被直线______所截得的_______角；
(2)∠A和∠ACE可看成是直线_______、______被直线_______所截得的______角．
9．如图所示，
(1)∠AED和∠ABC可看成是直线______、______被直线______所截得的_______角；
(2)∠EDB和∠DBC可看成是直线______、______被直线_______所截得的______角；
(3)∠EDC和∠C可看成是直线_______、______被直线______所截得的______角．
10．已知图①～④，
图① 图② 图③ 图④
在上述四个图中，∠1与∠2是同位角的有
11．如图，下列结论正确的是( )．
(A)∠5与∠2是对顶角 (B)∠1与∠3是同位角
(C)∠2与∠3是同旁内角 (D)∠1与∠2是同旁内角
12．已知：如图，请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行?并写出推理的根据．
(1)如果∠2＝∠3，那么____________．
(____________，____________)
(2)如果∠2＝∠5，那么____________．
(____________，____________)
(3)如果∠2＋∠1＝180°，那么____________．
(____________，____________)
(4)如果∠5＝∠3，那么____________．
(____________，____________)
(5)如果∠4＋∠6＝180°，那么____________．
(____________，____________)
(6)如果∠6＝∠3，那么____________．
(____________，____________)
13．已知：如图，请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
(1)∵∠B＝∠3(已知)，
∴______∥______．(____________，____________)
(2)∵∠1＝∠D(已知)，
∴______∥______．(____________，____________)
(3)∵∠2＝∠A(已知)，
∴______∥______．(____________，____________)
(4)∵∠B＋∠BCE＝180°(已知)，
∴______∥______．(____________，____________)
14．如图，请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
(1)如果AB∥EF，那么∠2＝______．理由是_____________________
(2)如果AB∥DC，那么∠3＝______．理由是_______________________
(3)如果AF∥BE，那么∠1＋∠2＝______．理由是______________________________．
(4)如果AF∥BE，∠4＝120°，那么∠5＝______．理由是________________________．
15．已知：如图，DE∥AB．请根据已知条件进行推理，分别得出结论，并在括号内注明理由．
(1)∵DE∥AB，( )
∴∠2＝______．(______ ______)
(2)∵DE∥AB，( )
∴∠3＝______．(___ __________ _______)
(3)∵DE∥AB( )，
∴∠1＋______＝180°．(___ ____)
15．如图，AB∥DE，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD的度数．
16．如图，∠1＝∠2，∠3＝110°，求∠4．
解题思路分析：欲求∠4，需先证明______∥______．
解：∵∠1＝∠2，( )
∴______∥______．(__________，__________)
∴∠4＝______＝______°．(__________，__________)
17．已知：如图，∠1＋∠2＝180°．求证：∠3＝∠4．
证明思路分析：欲证∠3＝∠4，只要证______∥______．
证明：∵∠1＋∠2＝180°，( )
∴______∥______．(__________，__________)
∴∠3＝∠4．(______，______)
18．已知：如图，AB∥CD，∠1＝∠B．
求证：CD是∠BCE的平分线．
证明思路分析：欲证CD是∠BCE的平分线，
只要证______＝______．
证明：∵AB∥CD，( )
∴∠2＝______．(____________，____________)
但∠1＝∠B，( )
∴______＝______．(等量代换)
即CD是________________________．
19．已知：如图，AB∥CD，∠1＝∠2．求证：BE∥CF．
证明思路分析：欲证BE∥CF，只要证______＝______．
证明：∵AB∥CD，( )
∴∠ABC＝______．(____________，____________)
∵∠1＝∠2，( )
∴∠ABC－∠1＝______－______，( )
即______＝______．
∴BE∥CF．(__________，__________)
20．已知：如图，AB∥CD，∠B＝35°，∠1＝75°．求∠A的度数．
解题思路分析：欲求∠A，只要求∠ACD的大小．
解：∵CD∥AB，∠B＝35°，( )
∴∠2＝∠______＝_______°．(____________，____________)
而∠1＝75°，
∴∠ACD＝∠1＋∠2＝______°．
∵CD∥AB，( )
∴∠A＋______＝180°．(____________，____________)
∴∠A＝_______＝______．
21．已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝50°．求∠D的度数．
分析：可利用∠DCE作为中间量过渡．
解法1：∵AB∥CD，∠B＝50°，( )
∴∠DCE＝∠_______＝_______°．(____________，______)
又∵AD∥BC，( )
∴∠D＝∠______＝_______°．(____________，____________)
想一想：如果以∠A作为中间量，如何求解?
解法2：∵AD∥BC，∠B＝50°，( )
∴∠A＋∠B＝______．(____________，____________)
即∠A＝______－______＝______°－______°＝______°．
∵DC∥AB，( )
∴∠D＋∠A＝______．(_____________，_____________)
即∠D＝______－______＝______°－______°＝______°．
22．已知：如图，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度数．
解：过P点作PM∥AB交AC于点M．
∵AB∥CD，( )
∴∠BAC＋∠______＝180°．( )
∵PM∥AB，
∴∠1＝∠_______，( )
且PM∥_______．(平行于同一直线的两直线也互相平行)
∴∠3＝∠______．(两直线平行，内错角相等)
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，( )
______，______．( )
．( )
∴∠APC＝∠2＋∠3＝∠1＋∠4＝90°．( )
总结：两直线平行时，同旁内角的角平分线___ ___．
23、将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式
90°的角是直角．
__________________________________________________________________．
末位数字是零的整数能被5整除．
__________________________________________________________________．
等角的余角相等．
__________________________________________________________________．
同旁内角互补，两直线平行．
__________________________________________________________________．
24．如图所示，将三角形ABC平移到△A′B′C′．
图a 图b
在这两个平移中：
(1)三角形ABC的整体沿_______移动，得到三角形A′B′C′．三角形A′B′C′与三角形ABC的______和______完全相同．
(2)连接各组对应点的线段即AA′，BB′，CC′之间的数量关系是__________________；位置关系是__________________
25．已知：平行四边形ABCD及A′点．将平行四边形ABCD平移，使A点移到A′点，得平行四边形A′B′C′D′．
8
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