3数系的扩充与复数的引入章末过关检测卷及答案.doc

数学·选修 1－2(人教A版)

章末过关检测卷(三)
第三章　数系的扩充与复数的引入
(测试时间：120分钟　评价分值：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设i为虚数单位，复数z1＝a－3i，z2＝2＋bi，a其中a，b∈R，若z1＝z2，则ab＝(　　)
A．－1 B．5 C．－6 D．6

答案：C

2．复数z1＝－3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内的对应点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

答案：B

3． i为虚数单位，则i＋等于(　　)
A．0 B．2i C．1＋i D．－1＋i

答案：A

4．对于复数z＝a＋bi有(　　)
A．|z2|>|z|2 B．|z2|＝|z|2 C．|z2|<|z|2 D．|z2|＝z2

答案：B

5.＝(　　)
A.＋i B．－－i C.＋i D．－－i
答案：B

6．复数z＝i(i＋1)(i为虚数单位)的共轭复数是(　　)
A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i

分析：本题考查复数代数形式的四则运算及复数的基本概念，考查基本运算能力．先把z化成标准的a＋bi(a，b∈R)形式，然后由共轭复数定义得出＝－1－i.
解析：由z＝i(i＋1)＝－1＋i，及共轭复数定义得＝－1－i.
答案：A

7．若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋ 2的虚部为(　　)
A．0 B．－1 C．1 D．－2

解析：因为z＝1＋i，所以＝1－i，所以z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i－2i＝0，选A.
答案：A

8．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则(　　)
A．b＝2，c＝3 B．b＝2，c＝－1

C．b＝－2，c＝－1 D．b＝－2，c＝3

解析：根据实系数方程的根的特点知1－i也是该方程的另一个根，所以1＋i＋1－i＝2＝－b，即b＝－2，(1－i)(1＋i)＝3＝c，故选D.
答案：D

9．若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为(　　)
A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i

解析：因为z(2－i)＝11＋7i，所以z＝，分子分母同时乘以2＋i，得
z＝＝＝＝＝＝3＋5i.
答案：A

10．复数方程＝2对应的复平面内的曲线是(　　)
A．双曲线 B．双曲线的一支

C．直线 D．两条射线(包括端点)

答案：D

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填在题中的横线上)
11．若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，则复数(z1－z2)i的实部为______．

解析：(z1－z2)i＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i＝(－2＋20i)i＝－20－2i，实部为－20.
答案：－20

12．若复数z满足z＝i(2－z)，则z＝______.

解析：由z＝i(2－z)，得(1＋i)z＝2i，即z＝＝＝1＋i.
答案：1＋i

13．在复平面内，复数1＋i与－1＋3i分别对应向量O和O，其中O为坐标原点，则|A|＝________.

解析：＝－＝(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i，
∴||＝2.
答案：2

14．已知复数z1＝a＋bi，z2＝－1＋ai(a，b∈R)，若|z1|＜|z2|，则b的取值范围是______．

解析：由题知<，
∴b2<1，∴－1<b<1.
答案：(－1,1)

三、解答题(本大题共6小题，共80分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)
15．(12分)计算：
(1)(1－i)(1＋i)2－＋－4i；
(2)－.

解析：(1)(1－i)(1＋i)2－＋－4i＝2i＋2－＋i＋＋i－4i＝1－i.
(2)－＝－＝3(－i)3－＝－i－i＝－2i.

16．(12分)设复数z＝(a2＋a－2)＋(a2－7a＋6)i，其中a∈R，当a取何值时，(1)z∈R？(2)z是纯虚数？(3)z是零？

解析：(1)当a2－7a＋6＝0，即a＝1或a＝6时，z∈R.
(2)当即a＝－2时，z是纯虚数．
(3)当即a＝1时，z是零

17.(14分)设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1＜ω＜2.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；
(2)求ω2－4ω的取值范围．

解析：(1)设z＝a＋bi，a，b∈R，b≠0，
ω＝z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋＝a＋＋i，由－1＜ω＜2，得
⇒
∴|z|是1，z的实部的取值范围是.
(2)由(1)知ω＝2a，ω2－4ω＝4a2－8a＝4(a－1)2－4，
∴－4＜ω2－4ω＜5.

18．(14分)方程x2＋5x＋m＝0有两虚根z1，z2，且|z1－z2|＝3，求实数m的值．

解析：由方程有虚根，得
Δ＝25－4m＜0⇒m＞.
由韦达定理，得z1＋z2＝－5，z1·z2＝m，
|z1－z2|2＝|(z1－z2)2|＝|(z1＋z2)2－4z1z2|＝
|25－4m|＝9.∴m＝4(舍去)，m＝.

19.(14分)求虚数z，使之同时满足以下两个条件：
①|－3|＝|－3i|；
②z－1＋是实数．

解析：设z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)，
由|－3|＝|－3i|，得
|x－yi－3|＝|x－yi－3i|⇒y＝－x.①
由z－1＋是实数，得x－1＋yi＋∈R，y≠0⇒(x－1)2＋y2＝5.②
联立①和②，得或
∴z＝2－2i或z＝－1＋i.

20．(14分)已知：复数z1＝m＋ni，z2＝2－2i和z＝x＋yi，若z＝1i－z2，其中m，n，x，y都是实数．
(1)若复数z1所对应点M(m，n)在曲线y＝(x＋3)2＋1上运动，求复数z所对应点P(x，y)的轨迹C方程；
(2)过原点的直线与轨迹C有两个不同的交点，求直线的斜率k的取值范围．

解析：(1)z＝1i－z2＝(m－ni)i－(2－2i)＝(n－2)＋(2＋m)i＝x＋yi，
复数相等，得⇒
∵点M(m，n)在曲线y＝(x＋3)2＋1上运动，
∴n＝(m ＋3)2＋1⇒x＋2＝(y－2＋3)2＋1⇒x＝(y＋1)2－1.
(2)设过原点的直线的方程是y＝kx，代入曲线C的方程，得ky2＋(2k－2)y－k＝0，Δ＝(2k－2)2＋4k2＝82＋2＞0恒成立，∴k∈R.