高考不等式经典例题.pdf

高考不等式专题精练（教师专用）高考不等式专题精练（教师专用）高考不等式经典例题【例 1】已知 a0，a1，Ploga(a3a1)，Qloga(a2a1)，试比较 P 与 Q 的大小.【解析】因为 a3a1(a2a1)a2(a1)，当 a1 时，a3a1a2a1，PQ；当 0a1 时，a3a1a2a1，PQ；综上所述，a0，a1 时，PQ.【变式训练 1】已知 maA.mn11(a2)，nx2(x)，则 m，n 之间的大小关系为()2a2B.mnC.mnD.mn【解析】选 C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递.ma111a22224，而 nx2()24.2a2a2【变式训练 2】已知函数 f(x)ax2c，且4f(1)1，1f(2)5，求 f(3)的取值范围.【解析】由已知4f(1)ac1，1f(2)4ac5.令 f(3)9ac(ac)(4ac)，5,4 9,3所以 18358故 f(3)(ac)(4ac)1,20.33题型三开放性问题cd【例 3】已知三个不等式：ab0；bcad.以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组ab成多少个正确命题？cdbcad【解析】能组成 3 个正确命题.对不等式作等价变形:0.ababbcad(1)由 ab0，bcad0，即；abbcad(2)由 ab0，0bcad0bcad，即；abbcad(3)由 bcad0，0ab0，即.ab故可组成 3 个正确命题.【例 2】解关于 x 的不等式 mx2(m2)x20(mR R).【解析】当 m0 时，原不等式可化为2x20，即 x1；当 m0 时，可分为两种情况：高考不等式专题精练（教师专用）高考不等式专题精练（教师专用）2(1)m0 时，方程 mx2(m2)x20 有两个根，x11，x2.m2所以不等式的解集为x|x1 或 x；m(2)m0 时，原不等式可化为mx2(2m)x20，m222其对应方程两根为 x11，x2，x2x1(1).mmm2m2 时，m20，m0，所以 x2x10，x2x1，不等式的解集为x|1x；mm2 时，x2x11，原不等式可化为(x1)20，解集为；22m0 时，x2x10，即 x2x1，不等式解集为x|x1.m【变式训练 2】解关于 x 的不等式ax10.x1【解析】原不等式等价于(ax1)(x1)0.1当 a0 时，不等式的解集为x|x1；当 a0 时，不等式的解集为x|x 或 x1；a1当1a0 时，不等式的解集为x|x1；当 a1 时，不等式的解集为；a1当 a1 时，不等式的解集为x|1x.a【例 3】已知 ax2bxc0 的解集为x|1x3，求不等式 cx2bxa0 的解集.1【解析】由于 ax2bxc0 的解集为x|1x3，因此 a0，解得 x 或 x1.32y1(1)zx2y4 的最大值；(2)zx2y210y25 的最小值；(3)z的取值范围.x1【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标 A(1,3)，B(3,1)，C(7,9).(1)易知直线 x2y4z 过点 C 时，z 最大.所以 x7，y9 时，z 取最大值 21.(2)zx2(y5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点 M(0,5)的距离的平方，过点 M 作直线 AC 的垂线，易知垂足 N 在线段 AC 上，故 z 的最小值是(|052|9)2.221(3)z2表示可行域内任一点(x，y)与定点 Q(1，)连线斜率的 2 倍.2x(1)7337因为 kQA，kQB，所以 z 的取值范围为，.4842【例 1】(1)设 x，yR R，且 xy(xy)1，则()1y()2高考不等式专题精练（教师专用）高考不等式专题精练（教师专用）A.xy2(21)B.xy2(21)C.xy2(21)2D.xy(21)2(2)已知 a，bR R，则 ab，ab，2a2b22ab，的大小顺序是.2abxyxy)2，所以()21(xy).22【解析】(1)选 A.由已知得 xy1(xy)，又 xy(解得 xy2(21)或 xy2(1 2).因为 xy0，所以 xy2(21).ab2ab2ab(2)由 ab有 ab2 ab，即 ab，所以 ab.2ababab又2a22abb242(a2b2)，所以4a2b2ab，所以22a2b2ab2ab ab.22ab1 11 1【变式训练【变式训练 1 1】设设 a ab bc c，不等式，不等式恒成立，则恒成立，则 的取值范围是的取值范围是.a ab bb bc ca ac c【解析】(，4).因为 abc，所以 ab0，bc0，ac0.而(ac)(1111)(ab)(bc)()4，所以 4.abbcabbc5 51 1【例【例 2 2】(1)(1)已知已知 x x，则函数，则函数 y y4 4x x2 2的最大值为的最大值为；4 44 4x x5 5511【解析】(1)因为 x，所以 54x0.所以 y4x2(54x)3231.44x554x1当且仅当 54x，即 x1 时，等号成立.所以 x1 时，ymax1.54x(a ab b)2 2【变式训练【变式训练 2 2】已知已知 x x，a a，b b，y y 成等差数列，成等差数列，x x，c c，d d，y y 成等比数列，求成等比数列，求的取值范围的取值范围.cdcd【解析】由等差数列、等比数列的性质得 abxy，(ab)2(xy)2(ab)2(ab)2xyyycdxy，所以2 ，当 0 时，4；当0 时，0，cdxyyxxcdxcd(ab)2故的取值范围是(，04，).cd例例已知已知x,y,0,281，求，求xy的最小值。的最小值。xy2 28 4y64x4y 64x12 xyg32 2g32 64。解：解：xy xygxyxyxy当且仅当281时，即x 4.y 16，上式取“=”，故xy64。minxy2例例已知已知041的最小值。的最小值。x1，求函数，求函数y x1 x解：解：因为0 x1，所以1x 0。高考不等式专题精练（教师专用）高考不等式专题精练（教师专用）41 x411x 4 x 1 x 5 9。所以y x1 xx1 xx1 x41 xx2当且仅当时，即x，上式取“=”，故ymin 9。x1 x3例例已知已知x,y,zR，且，且x149y z 1，求，求xyz的最小值。的最小值。解：解：设 0，故有x yz10。91491491 4x y z1xyzxyzxyzxyz 2 4612。当且仅当149x,y,z同时成立时上xyzx y z 1，解得36，此时述不等式取“=”，即x 1,y 2,z 3，代入14912 36，故xyz例例若正实数若正实数 x x，y y满足满足xy_）答案：答案：1818解：因为 x0，y0，所以xy的最小值为 36。2x y6，则，则 xyxy 的最小值是的最小值是。（变式：求（变式：求 2 2x x+y y 的最小值为的最小值为 2x y6 2 2xy 6，xy2 2xy 60，解得xy 3 2或 xy （舍）2等号当且仅当 2x=y=6 时成立，故 xy 的最小值为 18。变式答案：12解：因为 x0，y0，所以xy1 2x y2 2x y6()22整理得(2x y)28(2x y)48 0，解得2x y 12或2x y 4(舍）等号当且仅当 2x=y=6 时成立，故 2x+y 的最小值为 12。例例若对任意若对任意x 0，x a恒成立，则恒成立，则a的取值范围是的取值范围是。2x 3x1高考不等式专题精练（教师专用）高考不等式专题精练（教师专用）答案：a 15解：因为x1，所以有 2（当且仅当x=1时取等号）xx111x112，即的最大值为，故。a 1x 3x1x32355x23x15x 0，所以x