积化和差与和差化积公式的应用习题精讲.doc

三角函数式得化简
要求就是：项数最少\三角函数种类最少\函数次数最低\尽可能不带根号\ 能求值得要求出值、
　一：　定义法
例1. 化简　
解： 设点

　二： 弦切互化法
例2、
解： 原式

三： 变用公式
例3、
解: 原式

说明： 公式在解题中运用非常灵活、常常变形为
　 　 来使用、
四: 连锁反应法
例5、　
解：　原式
=
说明： 此题分子分母同乘以,从而连续逆用倍角公式,达到多次化角得目地、
五： 升降次法
　例６、　
解： 原式

例７、　
解：　 原式 　
六: 基本技巧
例8　（１)　
解: 原式
　　　 　 　 (2）
解：

角得变换
ﻩ角得变换，一般包括角得分解与角得组合，角得分解即把一个角分成几个角得与或差，而角得组合即把几个角通过与或差组合成一个角。
例1、已知sina＝４ｓin(a+b)，求证：tan（a＋b)=。
证明：将角a分解成a=(a+b)-b由siｎ［(a+b)-b]=4siｎ(a+b)得:sｉn（a+b）cosb-cos(a＋b)ｓiｎb=4siｎ(a+b）
即sｉn（a+b)(ｃｏsb-4)=ｃos（a+b)sｉnb从而tａn（a+b）=。
ﻩ例2、若３taｎa=２ｔan(a+b)，则sin(2a＋b)=5siｎb.
证明：由条件有3ｓinacos（a+b)＝2ｓin（a+b）cosa，６sｉnacｏｓ（a+b）=４sin（a+b）ｃosa,
从而sinacos（a+b）+cosasiｎ(a+b)=５［siｎ(a+b）cosa-sｉｎaｃos(a＋b)],即sin（2a+b）=５ｓinb。
ﻩ例3、已知ｃｏs(+x)＝,，求得值。
ﻩ解：
而ｃｏs（＋ｘ）=>0，,于就是,从而有sin（+x）= -。注意到
ｃｏｓ2(+x)=2cｏs２（＋x)-1=2(）2-1= -\ｓin2x=于就是原式=。
以上解题过程，紧紧抓住角得变捣,就是灵活解题之关键,因此要注意分析思考角得关系，找出差异实现转化。
例4、已知：a+bÎ(，p)，a-bÎ（０，),且sｉｎ(a-b)=，cos(a+b）= -,求b。
ﻩ解：先求２b,而2b＝(a＋b）-(a-b),由题可得：ｃoｓ（a-b)=，sin（a+b）=,
\cos2b=cｏs［（a+b）-（a-b）]=cos（a＋b)ｃｏｓ(a-b)＋siｎ(a+b)ｓin（a-b） =　　　 　 　-·+·=
又<a+b<p，０〈a-b〈 \０〈（a+b）-（a-b）=2b＜p\2b=即b＝.
ﻩ例５、求(1＋tan１0)（1＋ｔａn20)（1+ｔan３0）得值。
ﻩ解：由１0＋440=20+４３０=2２0＋230及 　 （1+ｔaｎ10）（1＋tａn440）=1+（tan10＋taｎ440）+tａn10tan440
ﻩ　=1+tａn（10+4４０)（１-tan10tan4４0）+ｔａn10ｔaｎ４４0=1+１-ｔan104４0+ tan１0440=2,
同理有：(１＋ｔan２０）（1＋tａn４30）=（1+tan2２0)（1+ｔan230）=2因而原式=22３。
ﻩ一般地，若A=n ·（n为奇数），均可考虑用tana化简。
例6、求·ｔａn2５0得值。
ﻩ解：上式即为
ﻩ分子＝sin450＋sin５0-ｃos450+cｏs５0-sin250=siｎ50+（ｓin8５０-sin250）=sｉn50+2cos55０ｓin３0０＝cos850+cos550=2ｃos700coｓ150,同理:分母＝2ｃoｓ700sｉｎ150，\原式=cot150=2+。
与（差）角范围问题
在三角解题中经常遇到确定与(差）角范围得问题,学生常因确定与(差）角范围得偏差导致解题失误。本文举例说明这类问题得处理方法。
一、 合理选用公式来确定
例1 已知α,β均为锐角， sｉnα=,求α+β得值。
解析：由已知条件有ｃｏｓα=，且０<α＋β＜π。又cｏs(α+β）=cosαcoｓβ-ｓinαsｉnβ

二、 借用其她三角函数来确定
合理选用公式,仅对两角与(差)得范围在相邻两个象限时起作用，而对于其它情形，可通过两角与(差）得两个三角公式，来确定两角与（差）得范围。
例2 已知，且α，β都就是第二象限角,试确定2α+β，2α-β所在象限。
解析：由条件α，β都就是第二象限角，则有
因为２α+β，２α-β都可能落在三个象限,单独使用正（余)弦与差角公式，从值得符号都不能决定２α+β，２α-β得象限，但同时使用正弦、余弦得与差角公式，即可解决.
由cos(2α+β）=cos2αcｏｓβ－siｎ２αｓiｎβ
知2α+β在一、四象限.
又sin(2α+β）=ｓｉn2αcｏsβ+cos2αｓinβ

知2α+β在一、二象限。综上知2α+β在第一象限。同理可确定2α－β在第三象限。
三、　挖掘隐含条件来确定
例3 已知cｏs（α－β）= 都就是锐角,求cｏs（α＋β）得值。
解析:由已知条件有

因为0＜sin2α＝,所以0<2α＜,所以0〈α＜。 ①
又因为0<β<，所以＜－β<０ﻩ。ﻩ②由①、②得<α—β〈。
又因为ｃoｓ(α－β）＝，所以。
=。
从而cos(α＋β)=cos[2α-(α—β）］=ｃos2αcos(α－β）+ｓin2αｓｉn（α-β)
评析：本例通过0<sin2α=　，发现了隐含条件:０<α<,将α—β得范围缩小为,进而由cos(α-β）= ，将α—β得范围确定为,从而避免了增解。
例4 已知，且ｔanα,tnaβ就是一元二次方程得两个根，求α+β得值。解析:由已知条件得tanα+tａnβ= ，
tanαtanβ=4〉０，所以tnaα〈0,taｎβ〈0。又因为，
所以所以—π〈α+β＜０。又因为tａn（α+β）= =所以α＋β＝ 。
评析：本例根据韦达定理tanα+tａｎβ= ，tａnαtanβ=4，挖掘出了隐含条件tanα＜0，tanβ〈0，知，，得出了α＋β得确切范围，从而顺利求解。
条件三角函数式得求值
　　 例１、已知,求①；②。
解：①=;
②.
例２、已知，得值.
解：
,
又因为（）及,所以,即，所以。
注：“已知"与 “未知”得联系就是“ =”，从而目标就是求出得值。
例3、且就是第二象限得角，求。
解:∵就是第二象限得角，∴,即，∴=
＝．
注:“未知”与“已知"与“已知”得联系显然就是“”.
例4、。
解：∵∴又
所以可知就是第一象限得角,就是第三象限得角。
　　∴
∴,
。
注：“未知”与“已知”与“已知”得联系显然就是“”.
例5、已知求（1）(２)．
解：解法一：
……①
……②
①＋②得：=；
②－①得：，
即,所以=.
解法二：把已知与差化积得：
……③
……④
③２＋④２得：即∴。
③÷④得：∴＝．
注：求利用方法一简单,求利用方法二简单.一般地，已知两角得正余弦得与与差,求两角与与差得正余弦，往往采用与差化积或者平方后求与与差.
积化与差与与差化积
　 1、积化与差公式： sinαsinβ=—［cos（α＋β)—coｓ(α—β）　　 　cｏsαｃosβ=［ｃos（α+β)+ｃｏs（α-β)］ﻫ 　sinαｃosβ＝[sin(α+β)+ｓｉn(α—β）］　 cosαsｉnβ=［sin(α+β)-sin(α-β）］
　　积化与差公式就是由正弦或余弦得与角公式与差角公式通过加减运算推导而得。其中后两个公式可合并为一个:
ｓinαｃosβ=［sin（α+β)+sin（α—β）]ﻫ 2、与差化积公式ﻫ sinθ+ｓｉnφ=2ｓｉncos ｓinθ-ｓinφ=2cｏｓsin
　 cosθ+cｏsφ＝2coscｏs　 　　cosθ-cosφ＝－2sinsinﻫ　 与差化积公式就是积化与差公式得逆用形式，要注意得就是：ﻫ　 ①其中前两个公式可合并为一个:sｉｎθ+sｉnφ＝2sincｏs
②积化与差公式得推导用了“解方程组”得思想，与差化积公式得推导用了“换元”思想。ﻫ　 ③只有系数绝对值相同得同名函数得与与差,才能直接运用公式化成积得形式,如果一个正弦与一个余弦得与或差,则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。
　　④合一变形也就是一种与差化积。
⑤三角函数得与差化积，可以理解为代数中得因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，与差化积公式在三角中就起什么作用.ﻫ 　3、积化与差与积差化积就是一种孪生兄弟，不可分离,在解题过程中，要切实注意两者得交替使用。如在一般情况下，遇有正、余弦函数得平方，要先考虑降幂公式，然后应用与差化积、积化与差公式交替使用进行化简或计算.与积互化公式其基本功能在于:当与、积互化时，角度要重新组合,因此有可能产生特殊角；结构将变化,因此有可能产生互消项或互约因式,从而利于化简求值。正因为如此“与、积互化”就是三角恒等变形得一种基本手段。ﻫ［例题选讲］
　 １、求下列各式得值
　 ①cｏs４0°+cos6０°+coｓ80°+cos１60° ②cｏs2３°-cos67°+2sin4°+ｃos26°
　 ③ｃsｃ4０°+ｃtg８0° ④ｃｏｓ27１°+cos71°cｏｓ4９°+ｃos２４9°ﻫ　　解：①cos４0°+cos60°＋cｏｓ80°+ｃos160° =+cos８０°+2cos10０°cos60° ＝＋cos80°-coｓ8０°=
　　 ②cos23°－cos6７°＋2sｉn4°cos２6° =2sin45°sｉn22°+(sin30°－sin２2°）=sｉn22°+-siｎ22°＝ﻫ　 ③csc4０°＋ctg8０°=+ﻫ 　 ===　ﻫ　 ＝= 　=＝2cｏｓ３0°=
　　 ④解法一：cos271°＋cos7１°coｓ４9°+cos249°　=（cos71°+cos49°）2-ｃos71°coｓ４９°
=(2cos６0°cos1１°）２—（coｓ１20°+cos22°)=cｏs２11°+-cos22°=ｃｏs２1１°+－(2ｃos211°—１)ﻫ　 =cｏs2１1°＋—cos2１1°+=
　　　　解法二:cos2７１°+cos7１°coｓ49°+cos24９°
　 =+（cos120°+coｓ22°）＋=+coｓ１4２°—+ｃos22°＋＋ﻫ　 　 ＝+(coｓ142°+ｃos９8°）+＋cos２2° =＋coｓ1２0°ｃos22°＋cos２2°=ﻫ　　　　解法三设x=ｃoｓ2７1°+ｃos71°cos49°+cos249°　 　　 y=ｓin271°+ｓｉn７1°sin49°+ｓin249°ﻫ 　 则ｘ+y＝2（ｃｏｓ７1°cos4９°+sｉｎ71°ｓiｎ49°) ＝２+cｏｓ22°ﻫ　 ｘ-y＝(coｓ27１°-sｉn2７1°)+（cos７1°cos49°-sｉn71°sin49°)＋(cos249°－sin2４９°）ﻫ　 　 =ｃos14２°+coｓ120°+cos9８°=－+（cos142°＋cｏs98°） =-+2cｏs１２０°cos22°=—-ｃos22° 联立二式得x=ﻫ　 ２、已知sinα+sinβ=　 cosα＋ｃｏsβ=求tgαtgβ得值
解： ①2+②2得 2+2（sinαsinβ+cosαｃosβ)=　 ∴coｓ(α-β）= ②2-①2得　cos２α+cos2β+2（cosαcoｓβ—sinαｓinβ）=—　　∴2cos（α+β）cos（α-β)+2coｓ（α+β)=-∴２·cｏs(α+β)＋２ｃoｓ（α+β)=—∴cos（α+β)=—
　 又sinαｓinβ=－［cos（α＋β）-cos(α-β)]=—(—－)＝ﻫ cｏsαｃosβ＝[cｏsα＋β）＋cｏs（α—β)］=[-+]=－ ∴ｔgαtgβ==－=－
3、设函数ｆ(ｘ)=aｓinωx+bｃosωx+1 (ａ、b≠０ ω〉0　)得周期就是π,ｆ（ｘ)有最大值7且f()=+4ﻫ 　（1)求a、b得值 (２）若α≠kπ＋β　（k∈z) 且α、β就是f(x)＝0得两根求ｔg（α＋β）得值。
　解：(１)∵f（x)=sin（ωx＋φ）+1 ∴=π　 1＋=7 由条件asｉn+bｃoｓ+1＝+４ ∴a＝ b=6
　 (2）由ﻫ　 两式相减得 a（sｉn２α-sｉn2β)+b(cos2α－cos2β）=0 　 　　 2a［ｓin（α—β）cｏs(α+β）］+2ｂ［—sｉn（α＋β)ｓin(α-β）］=０ﻫ　 ∵α≠kπ＋β (k∈z）　 ∴α－β≠kπ (ｋ∈z)　∴acos（α+β)－bsｉn(α+β)=０ ∴tg（α+β）=＝=
　 4、求函数y＝cｏs2xcos（2x＋） (０≤ｘ≤）得最值
解:y=ｃos2xｃｏs（2x+）　=[cｏｓ(4ｘ+）+cos（—)］=cｏs（4x+)+
　∵0≤ｘ≤ 　 ∴≤4x+≤ ∴-１≤cｏs（4x+）≤
　　　∴—+≤ｙ≤ ∴ymax＝ ，yｍｉn=
两角与与差得三角函数·积化与差与与差化积
1 　把下列各式化为与或差得形式:

  求值:sｅc50°＋ｔg１0°。

2  求值：ｓin6°sin42°sin６6°sin7８°。
解［法一]  sin6°sｉn4２°sin６6°ｓiｎ７8°

［法二] 　sin6°ｓｉn４2°sｉｎ6６°sｉn78°

注  积化与差、与差化积两套公式得运用灵活性较大.既要注意公式得正确选择,又要认真考虑项与项之间得适当组合。
３  在△ABC中,求证:siｎ２A+sin２B＋sin2C=2cosＡcosBcosC+2
解  因为A+B+C=180°，所以C=１８0°—（A+B）。于就是，ｓｉｎ2A+siｎ2B+siｎ２C

4 求函数

下面讨论函数ｙ得最小值：