工学线性代数.pptx

线线 性性 代代 数数 主讲：王主讲：王 娟娟教材：线性代数（第三版），何苏阳、吕教材：线性代数（第三版），何苏阳、吕 巍然、王子亭主编，石油大学出版社巍然、王子亭主编，石油大学出版社安排：共安排：共3232学时，计划讲授前五章，平时学时，计划讲授前五章，平时 成绩占成绩占20%20%，期末成绩占，期末成绩占80%80%。一、学习必要性一、学习必要性 二、课程特点二、课程特点1、线性代数是高等工科学校本科各专业的一门、线性代数是高等工科学校本科各专业的一门 重要的基础理论课。重要的基础理论课。2、线性代数是一门必修课、线性代数是一门必修课,考研必考内容。考研必考内容。1、概念多、符号多、定理多。、概念多、符号多、定理多。2、内容抽象。、内容抽象。第一章第一章 n n阶行列式阶行列式 一、主要内容一、主要内容 1、排列的一些性质；排列的一些性质；2 2、n n 阶行列式的定义、性质和计算；阶行列式的定义、性质和计算；3 3、克莱姆、克莱姆法则法则.二、学习重点二、学习重点 行列式的性质和计算行列式的性质和计算.1.1 排列的逆序数与对换排列的逆序数与对换引例引例用用1、2、3三个数字，可以组成多少个没三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？有重复数字的三位数？解解1 2 3123百位百位3种放法种放法十位十位1231个位个位12 32种放法种放法1种放法种放法种放法种放法.共有共有一、概念的引入一、概念的引入二、全排列及其逆序数二、全排列及其逆序数问题问题定义定义把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个个元素的全排列（或排列）元素的全排列（或排列）.个不同的元素的所有排列的种数，通常个不同的元素的所有排列的种数，通常用用 表示表示.由引例由引例同理同理 在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 则称这两个数组成一个逆序则称这两个数组成一个逆序.例如例如 排列排列32514 中，中，定义定义 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个个不同的自然数，规定由小到大为不同的自然数，规定由小到大为标准次序标准次序.排列的逆序数排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序问：该排列中还有问：该排列中还有 其他的逆序吗？其他的逆序吗？定义定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数.排列的奇偶性排列的奇偶性逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.注：注：标准排列标准排列 为偶排列（逆序数为为偶排列（逆序数为0）.计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法基本思想：基本思想：先计算出排列中每个元素的逆序数，再对先计算出排列中每个元素的逆序数，再对所求出各元素的逆序数求和，即得所求排列所求出各元素的逆序数求和，即得所求排列的逆序数的逆序数.分别计算出排列中每个元素前面比它大的分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和数码个数之和（向前数大）（向前数大）方法方法1 1：分别计算出排列中每个元素后面比它小的分别计算出排列中每个元素后面比它小的数码个数之和数码个数之和（向后数小）（向后数小）方法方法2 2：3 2 5 1 4于是排列于是排列32514的逆序数为的逆序数为5的前面没有比的前面没有比5大的数大的数,其逆序数为其逆序数为0;1的前面比的前面比1大的数有大的数有3个个,故逆序数为故逆序数为3;4的前面比的前面比4大的数有大的数有1个个,故逆序数为故逆序数为1;例例1 1 求排列求排列32514的逆序数的逆序数.2的前面比的前面比2大的数只有一个大的数只有一个3,故逆序数为故逆序数为1;在排列中在排列中,3排在首位排在首位,逆序数为逆序数为0;向前数大向前数大解：解：例例2 2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性偶性.解解此排列为此排列为偶排列偶排列.解解当当 时为偶排列；时为偶排列；当当 时为奇排列时为奇排列.三、对换的定义三、对换的定义定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换对换将相邻两个元素对调，叫做将相邻两个元素对调，叫做相邻对换相邻对换例如例如四、对换与排列的奇偶性的关系四、对换与排列的奇偶性的关系定理定理1 1一个排列中的任意两个元素对换，排列一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性改变奇偶性证明证明设排列为设排列为对换对换 与与除除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变.当当 时，时，的逆序数不变的逆序数不变;经对换后经对换后 的逆序数增加的逆序数增加1,当当 时，时，经对换后经对换后 的逆序数不变的逆序数不变，的逆序数减少的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为设排列为现来对换现来对换 与与次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性.推论推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.证明证明 由定理由定理1知，对换的次数就是排列奇偶性知，对换的次数就是排列奇偶性 而标准排列是偶排列（逆序数为而标准排列是偶排列（逆序数为0）,因此知推论成立因此知推论成立.的变化次数的变化次数,思考题思考题证明证明 在全部在全部 级排列中级排列中 ,奇偶排列各占奇偶排列各占一半一半.注：注：n级排列是级排列是由自然数1到n组成的有序数组.例例排列排列32514为为5级排列级排列.思考题解答思考题解答证证 设在全部设在全部 级排列中有级排列中有 个奇排列个奇排列,个偶个偶排列排列,现来证现来证 .将将 个奇排列的前两个数对换个奇排列的前两个数对换,则这则这 个奇排个奇排列全变成偶排列列全变成偶排列,并且它们彼此不同并且它们彼此不同,所以所以若将若将 个偶排列的前两个数对换个偶排列的前两个数对换,则这则这 个偶排列个偶排列全变成奇排列全变成奇排列,并且它们彼此不同并且它们彼此不同,于是有于是有故必有故必有 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表定义定义定义定义1 1即即1.2 n阶行列式的定义阶行列式的定义一、二阶、三阶行列式一、二阶、三阶行列式一、二阶、三阶行列式一、二阶、三阶行列式.列标列标行标行标定义定义定义定义2 2记记记记（3 3）式称为数表（）式称为数表（2 2）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式.主对角线主对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二、三阶行列式的计算二、三阶行列式的计算 说明说明（1）三阶行列式共有）三阶行列式共有 项，即项，即 项项（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积（3）每项的正负号每项的正负号都取决于该项三个元素的都取决于该项三个元素的 下标排列的逆序数下标排列的逆序数例如例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列偶排列奇排列奇排列二、二、n阶行列式的定义阶行列式的定义定义定义说明说明1、阶行列式是阶行列式是 项的代数和，结果是一个数项的代数和，结果是一个数;2、阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;即某一乘积项符号的确定：先把该项的即某一乘积项符号的确定：先把该项的n n个元素个元素按行标排成标准顺序，然后由列标所成排列的奇按行标排成标准顺序，然后由列标所成排列的奇偶性来决定这一项的符号。偶性来决定这一项的符号。4、一阶行列式、一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;5、高阶行列式不能用对角线法则计算、高阶行列式不能用对角线法则计算.3、的符号为的符号为利用定义计算行列式步骤：利用定义计算行列式步骤：（1）取项；（）取项；（2）冠符；（）冠符；（3）求和）求和例例1 1计算对角行列式计算对角行列式分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是从而这个项为零，从而这个项为零，所以所以 只能等于只能等于 ,同理可得同理可得解解即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为例例2 2 计算计算上上三角行列式三角行列式主对角线下方主对角线下方元素全部为零元素全部为零分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有所以不为零的项只有解解例例3同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式 主对角线上方主对角线上方元素全部为零元素全部为零例例4 4 证明证明对角行列式对角行列式对角线以外的对角线以外的元素全部为零元素全部为零证明证明第一式是显然的第一式是显然的,下面证第二式下面证第二式.若记若记则依行列式定义则依行列式定义证毕证毕结论结论 调换行列式的乘积项中两元素的次序，行调换行列式的乘积项中两元素的次序，行 标排列与列标排列的逆序数之和不改变奇偶性。标排列与列标排列的逆序数之和不改变奇偶性。三、行列式的列顺序表示法三、行列式的列顺序表示法证证 设有乘积项对换元素后，得 由于 的奇偶性相反，的奇偶性也相反，故 有相同的奇偶性。定理2 2(列顺序表示法列顺序表示法)n n 阶行列式也可定义为其中 s s 为行标排列 的逆序数。证 由定义由定义 ，易知对于易知对于D中任一项中任一项 ，在，在D1中中总有且只有一项与其对应并相等，反之亦然。也总有且只有一项与其对应并相等，反之亦然。也即即D与与D1中的项一一对应并相等，从而中的项一一对应并相等，从而 D=D1.定理定理3 3 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中 是两个是两个 级排列，级排列，为行为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和标排列逆序数与列标排列逆序数的和.例例5 5 试判断试判断 和和是否都是六阶行列式中的项是否都是六阶行列式中的项.解解下标的逆序数为下标的逆序数为所以所以 是六阶行列式中的项是六阶行列式中的项.下标的逆序数为下标的逆序数为所以所以 不是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项.例例6 6 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.解解431265的逆序数为的逆序数为所以所以 前边应带正号前边应带正号.行标排列行标排列341562的逆序数为的逆序数为列标排列列标排列234165的逆序数为的逆序数为所以所以 前边应带正号前边应带正号.证证 不妨设行列式的第不妨设行列式的第 行元素全为零，即行元素全为零，即于是于是例7.证明 若行列式中有一行（或一列）元素全为0，则行列式等于0.证毕思考题思考题已知已知思考题解答思考题解答解解含含 的项有两项的项有两项,即即对应于对应于本次课内容小结本次课内容小结一些概念：排列、逆序数、奇(偶)排列、对换、相邻对换主要结论：排列的逆序数的计算；对换改变排列的奇偶性；n 阶行列式的定义:对角行列式、三角行列式计算结果 对角线法则计算二阶、三阶行列式