工学线性系统的概轨迹法.pptx

第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法 4-1 4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 4-2 4-2 常规根轨迹的绘制法则常规根轨迹的绘制法则 4-3 4-3 广义根轨迹广义根轨迹 4-4 4-4 系系统性能的分析统性能的分析 重点与难点重点与难点l能熟练运用主导极点、偶极子等概念，将系能熟练运用主导极点、偶极子等概念，将系统近似为一、二阶系统，并对系统性能进行定统近似为一、二阶系统，并对系统性能进行定性分析。性分析。l正确理解和熟记根轨迹方程正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方模方程及相角方程程)。熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根。熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和开环增益轨迹增益和开环增益。l熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增益环增益K K从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。l了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。根轨迹法根轨迹法根据反馈控制系统的开、闭环根据反馈控制系统的开、闭环传递函数之间的关系，直接由传递函数之间的关系，直接由开环开环传递传递函数零、极点求出函数零、极点求出闭环闭环极点（闭环特征极点（闭环特征根）。这给系统的分析与设计带来了极根）。这给系统的分析与设计带来了极大的方便。大的方便。闭环控制系统的稳定性和性能指标主要闭环控制系统的稳定性和性能指标主要由闭环系统极点在复平面的位置决定，由闭环系统极点在复平面的位置决定，因此，分析或设计系统时确定出闭环极因此，分析或设计系统时确定出闭环极点位置是十分有意义的。点位置是十分有意义的。1.定义定义4 41 1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念一一.根轨迹根轨迹当闭环系统为当闭环系统为 正正 反馈时，对应的轨迹为反馈时，对应的轨迹为 0o 根根轨迹，其相角遵循轨迹，其相角遵循0o+2k；而；而负负反馈系统的轨迹反馈系统的轨迹为为 根轨迹，其相角遵循根轨迹，其相角遵循180o+2k 。根轨迹是指系统开环传递函数中某个参根轨迹是指系统开环传递函数中某个参数数(如开环增益如开环增益K)从零变到无穷时，闭环特征根在从零变到无穷时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。平面上移动的轨迹。根轨迹法根轨迹法可以在已知开环零、极点时，迅速求可以在已知开环零、极点时，迅速求出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环特征方程所有根在复平面上的分布，即特征方程所有根在复平面上的分布，即根轨迹根轨迹。例例：系统的系统的开环开环传递函数为：传递函数为：4 41 1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念一一.根轨迹根轨迹 极点极点 ,零点零点 ，开环增益为，开环增益为 。K 无无闭环传递函数闭环传递函数为:闭环特征方程闭环特征方程为:闭环特征根闭环特征根为:每个特征根都随每个特征根都随K K的变化而变的变化而变化。例如，设化。例如，设K=0K=0.5K=1K=2.5K=+4 41 1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念一一.根轨迹根轨迹 如果把不同如果把不同K K值的闭环特征值的闭环特征根布置在根布置在s s平面上，并连成线则平面上，并连成线则可画出如图所示系统的根轨迹。可画出如图所示系统的根轨迹。1.1.稳定性稳定性4 41 1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念二二.根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能 当当K K从从00时时 根轨迹没有越过虚轴进入根轨迹没有越过虚轴进入右半右半s s平面，此系统对所有平面，此系统对所有K K值都是稳定的。值都是稳定的。根轨迹与虚轴交点处的根轨迹与虚轴交点处的K K值为临界开环增益值为临界开环增益.2.2.稳态性能稳态性能 由稳态误差要求可求出由稳态误差要求可求出K K的取值范围。的取值范围。3.3.动态性能动态性能 0K0.50K0.5 K0.5时所有闭环极点为复数极点，时所有闭环极点为复数极点，系统为系统为欠阻尼欠阻尼系统。系统。1.系统闭环传递函数为系统闭环传递函数为4 41 1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念三三.闭环零、极点与开环零、极点之间的关系闭环零、极点与开环零、极点之间的关系2.前向通道传递函数前向通道传递函数G（s）表示为）表示为 KG为前向通道增益，为前向通道增益，KG*为前向通道根轨迹增益为前向通道根轨迹增益K(s+1)G(s)=s(0.5s+1)KG与KG*关系？首首1型型尾尾1型型K*(s+1)G(s)=s(s+2)K*G(s)=s(s+20)(s2+4s+20)i=1m（-zi）K=i=1m（-pi）K*KH*为反馈通道为反馈通道的根轨迹增益的根轨迹增益3.反馈通道传递函数反馈通道传递函数H(s)表示为表示为4 41 1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念三三.闭环零、极点与开环零、极点之间的关系闭环零、极点与开环零、极点之间的关系h4.闭环传递函数闭环传递函数分别为闭环零、极点分别为闭环零、极点4 41 1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念三三.闭环零、极点与开环零、极点之间的关系闭环零、极点与开环零、极点之间的关系4 41 1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念三三.闭环零、极点与开环零、极点之间的关系闭环零、极点与开环零、极点之间的关系闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益；闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益；闭环系统零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成闭环系统零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及开环根轨闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及开环根轨迹增益迹增益 有关。有关。四.根轨迹方程2.根轨迹方程根轨迹方程 G(s)H(s)=-1 G(s)H(s)是系统是系统开环开环开环开环传递函数，传递函数，G(s)H(s)=-1表表 明了明了开环开环开环开环传递函数与传递函数与闭环闭环极点的关系。极点的关系。1.闭环特征方程闭环特征方程4 41 1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 D(s)=1+G(s)H(s)=0 闭环极点就是闭环极点就是闭环闭环特征方程的解，也称为特征根。特征方程的解，也称为特征根。设开环传递函数有设开环传递函数有m m个零点，个零点，n n个极点，且个极点，且nmnm，则根轨迹方程则根轨迹方程G(s)H(s)=-1G(s)H(s)=-1可写成如下形式：可写成如下形式：四.根轨迹方程4 41 1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念3.模值方程和相角方程模值方程和相角方程模值模值方程方程相角相角方程方程 在实际应用中，用在实际应用中，用相角方程相角方程相角方程相角方程绘制根轨迹，绘制根轨迹，而而模值方程模值方程模值方程模值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点的主要用来确定已知根轨迹上某一点的 值。值。模值方程模值方程模值方程模值方程不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关；而增益有关；而相角方程相角方程相角方程相角方程只与开环零、极点有关。只与开环零、极点有关。相角方程相角方程相角方程相角方程是决定系统闭环根轨迹的是决定系统闭环根轨迹的充分必要条件充分必要条件充分必要条件充分必要条件。首首1型型例例1：已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数试证明复平面上点试证明复平面上点是该系统的闭环极点。是该系统的闭环极点。应满足相角方程应满足相角方程 若系统若系统闭环闭环极点为极点为证明：证明：该系统的该系统的开环开环极点极点四.根轨迹方程4 41 1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念3.模值方程和相角方程模值方程和相角方程K*i=1ms-zii=1ns-pi=1i=1m(s-pi)-i=1m(s-pi)=(2k+1)以以 为试验点，可得为试验点，可得 以以 为试验点，可得为试验点，可得图图44(k=0)四.根轨迹方程4 41 1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念3.模值方程和相角方程模值方程和相角方程 都满足相角方程，所以，都满足相角方程，所以，点是闭环极点。点是闭环极点。例例2:2:已知系统开环传递函数已知系统开环传递函数 当当 变化时其根轨迹如图变化时其根轨迹如图4-54-5所示，求所示，求根轨迹上点根轨迹上点 所对应的所对应的K K值。值。图4-5四.根轨迹方程4 41 1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念3.模值方程和相角方程模值方程和相角方程解解 根据模值方程求解根据模值方程求解 值值模值方程模值方程K*i=1ms-zii=1ns-pi=1四.根轨迹方程4 41 1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念3.模值方程和相角方程模值方程和相角方程练习：练习：1.满足根轨迹相角条件的点（）满足根轨迹相角条件的点（）A.一定在根轨迹上一定在根轨迹上 B.不一定在根轨迹上不一定在根轨迹上C.不一定满足幅值条件不一定满足幅值条件 D.不一定满足闭环特征方式不一定满足闭环特征方式2.控制系统的开环传递函数控制系统的开环传递函数G(S)=K/(s+1)(s+2)(s+4)(1)证明系统的根轨迹通过证明系统的根轨迹通过s1=-1+3 j(2)求有一个闭环极点在求有一个闭环极点在s1=-1+3 j 时的时的K的值。的值。(3)求使闭环系统稳定的开环放大倍数求使闭环系统稳定的开环放大倍数K的取值范围。的取值范围。42 常规根轨迹的绘制一一.根轨迹的分支数根轨迹的分支数 分支数开环极点数或零点数中大者分支数开环极点数或零点数中大者 闭环特征方程的阶数闭环特征方程的阶数二二.根轨迹对称于实轴根轨迹对称于实轴 闭环极点为闭环极点为 实数实数在实轴上在实轴上 复数复数共轭共轭对称于实轴对称于实轴起起于开环于开环极点极点，终终于开环于开环零点零点。三三.根轨迹的起点与终点根轨迹的起点与终点由根轨迹方程有：由根轨迹方程有：42 常规根轨迹的绘制 起点起点终点终点三三.根轨迹的起点与终点根轨迹的起点与终点42 常规根轨迹的绘制若开环零点数若开环零点数m 开环极点数开环极点数n 有有()个开环零点在无穷远处个开环零点在无穷远处)则有则有()条根条根轨迹趋于无穷远点轨迹趋于无穷远点 四四.实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、极点数目之和应为奇数。极点数目之和应为奇数。证明：设一系统开环零、极点设一系统开环零、极点分布如图。分布如图。42 常规根轨迹的绘制在实轴上任取一试验点在实轴上任取一试验点 代入相角方程则代入相角方程则所以相角方程成立，即所以相角方程成立，即 是根轨迹上的点。是根轨迹上的点。42 常规根轨迹的绘制四四.实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹一般，设试验点右侧有一般，设试验点右侧有L个个开环零点，开环零点，h个开环极点，则个开环极点，则有关系式有关系式证毕证毕如满足相角条件必有如满足相角条件必有所以，所以，L-h必为奇数，当然必为奇数，当然L+h也为奇数。也为奇数。四四.实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹42 常规根轨迹的绘制例:解：解：将开环传递函数写成将开环传递函数写成零、极点形式零、极点形式（首（首1型）型）设一单位负反馈系统的开环传递函数为设一单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K(s+1)/s(0.5s+1),G(s)=K(s+1)/s(0.5s+1),求求 时的闭环根轨迹。时的闭环根轨迹。42 常规根轨迹的绘制2.2.根轨迹对称于实轴根轨迹对称于实轴 4.4.实轴上根轨迹区段的右侧实轴上根轨迹区段的右侧 1.1.根轨迹的分支数根轨迹的分支数 闭环特征方程的阶数闭环特征方程的阶数闭环闭环极点极点为为 实数实数在实轴上在实轴上 复数复数对称于实轴对称于实轴 3.3.根轨迹的起点与终点根轨迹的起点与终点 起起于开环于开环极点极点，终终于开环于开环零点零点开环零、极点数目之和为奇数开环零、极点数目之和为奇数 最后绘制出根轨迹如图最后绘制出根轨迹如图47所示。所示。法则一，有两条根轨迹法则一，有两条根轨迹法则三，两条根轨迹分别起始于开环极点法则三，两条根轨迹分别起始于开环极点0、2，一条终于有限零点，一条终于有限零点1，另一条，另一条趋于无穷远处。趋于无穷远处。法则四，在负实轴上，法则四，在负实轴上，0到到1区间和区间和2到负无穷区间是根轨迹。到负无穷区间是根轨迹。按绘制根规迹法则逐步进行：法则五法则五.根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线l渐近线与实轴正方向的夹角为：渐近线与实轴正方向的夹角为：l渐近线与实轴相交点的坐标为：渐近线与实轴相交点的坐标为：42 常规根轨迹的绘制例:已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数试根据法则五，求出根轨迹的渐近线。试根据法则五，求出根轨迹的渐近线。极点解：零点法则五法则五.根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线42 常规根轨迹的绘制 渐近线与实轴正方向的夹角为：渐近线与实轴正方向的夹角为：渐近线与实轴相交点的坐标为：渐近线与实轴相交点的坐标为：按照公式得以下是几种开环传递函数的根轨迹渐近线以下是几种开环传递函数的根轨迹渐近线以下是几种开环传递函数的根轨迹渐近线以下是几种开环传递函数的根轨迹渐近线法则六法则六.根轨迹的起始角和终止角根轨迹的起始角和终止角根轨迹的根轨迹的终止角终止角是指根轨迹在是指根轨迹在终止零点终止零点处的切线与水平正方向的夹角。处的切线与水平正方向的夹角。根轨迹的根轨迹的起始角起始角是指根轨迹在是指根轨迹在起点处的起点处的 切线与水平正方向的夹角切线与水平正方向的夹角。42 常规根轨迹的绘制例例:设系统开环传递函数设系统开环传递函数试绘制系统概略根轨迹。试绘制系统概略根轨迹。1.1.根轨迹分支数根轨迹分支数3.3.根轨迹起点与终点根轨迹起点与终点 5.5.渐近线夹角渐近线夹角 a和交点和交点 a 2.2.对称于实轴对称于实轴4.4.根轨迹区段根轨迹区段左侧左侧6.6.根轨迹根轨迹 pkpk和和 zkzk n=2，有两条根轨迹，有两条根轨迹 两条根轨迹分别两条根轨迹分别起始起始于开环极点于开环极点(-1-j2),(-1+j2)；终止终止于开环零点于开环零点 (-2-j),(-2+j)确定起始角确定起始角,终止角。终止角。解解七.根轨迹的分离点坐标dl定义定义定义定义：几条（两条或两条以上）根轨迹在：几条（两条或两条以上）根轨迹在s平面平面上相遇又分开的点。上相遇又分开的点。l若根轨迹位于若根轨迹位于实轴两相邻实轴两相邻开环开环极点极点之间，则此二之间，则此二极点之间至少存在一个极点之间至少存在一个分离点分离点。l若根轨迹位于若根轨迹位于实轴两相邻实轴两相邻开环开环零点零点之间，则此二之间，则此二极点之间至少存在一个极点之间至少存在一个会合点会合点。42 常规根轨迹的绘制dds(s-pi)j=1n(s-zi)mi=1s=d=0例：已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数试求闭环系统的根轨迹分离点坐标试求闭环系统的根轨迹分离点坐标d，并概，并概略绘制出根轨迹图。略绘制出根轨迹图。七七.根轨迹的分离点坐标根轨迹的分离点坐标d42 常规根轨迹的绘制常规根轨迹的绘制1.1.根轨迹分支数根轨迹分支数3.3.根轨迹起点与终点根轨迹起点与终点 5.5.渐近线夹角渐近线夹角 a和交点和交点 a2.2.对称于实轴对称于实轴4.4.根轨迹区段根轨迹区段左侧左侧6.6.根轨迹根轨迹 pkpk和和 zkzk解：根据系统开环传递函数求出开环极点按步骤：n=2,m=1,有两条根轨迹两条根轨迹分别起于开环极点，终于开环零点和无穷远零点实轴上根轨迹位于有限零点1和无穷零点之间，因此判断有分离点离开复平面极点的初始角初始角为渐近线（舍去）6、求分离点坐标d此系统根轨迹如图4-15所示图415八.分离角与会合角 分离角分离角是指根轨迹离开分离点处的切是指根轨迹离开分离点处的切线与实轴正方向的夹角。线与实轴正方向的夹角。会合角会合角是指根轨迹进入相邻零点处的是指根轨迹进入相邻零点处的切线与实轴正方向的夹角切线与实轴正方向的夹角42 常规根轨迹的绘制 =(2k+1)l计算公式计算公式42 常规根轨迹的绘制例：已知系统的开环传递函数例：已知系统的开环传递函数 G(s)H(s)=K*(s+2)s(s+1)概略绘制出根轨迹图。概略绘制出根轨迹图。练习：已知系统的开环传递函数练习：已知系统的开环传递函数 G(s)H(s)=K*(s+2)(s+1-j)(s+1+j)概略绘制出根轨迹图。概略绘制出根轨迹图。结论：由两个极点（实数或复数极点）和一个有限零点组结论：由两个极点（实数或复数极点）和一个有限零点组成的开环系统，只要零点没有位于两个实数极点之间，当成的开环系统，只要零点没有位于两个实数极点之间，当K K（00），闭环根轨迹的复数部分是以零点为圆心，以），闭环根轨迹的复数部分是以零点为圆心，以零点到分离点的距离为半径的一个圆或圆的一部分。零点到分离点的距离为半径的一个圆或圆的一部分。1.1.根轨迹分支数根轨迹分支数3.3.根轨迹起点与终点根轨迹起点与终点 5.5.渐近线夹角渐近线夹角 a a和交点和交点 a a7.7.分离点坐标分离点坐标d d 2.2.对称于实轴对称于实轴4.4.根轨迹区段根轨迹区段左侧左侧6.6.根轨迹根轨迹 pkpk和和 zkzk8.8.分离角或会合角分离角或会合角 九九.根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点如根轨迹与虚轴相交，则交点上的如根轨迹与虚轴相交，则交点上的K*值值和和 值可用值可用劳斯判据劳斯判据判定，也可判定，也可令闭环令闭环特征方程中的特征方程中的 s=j ，然后分别令其实部，然后分别令其实部和虚部为零求得。和虚部为零求得。42 常规根轨迹的绘制例:设系统开环传递函数为 试绘制闭环系统的概略根轨迹。九九.根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点42 常规根轨迹的绘制解解：按步骤画图有4条根轨迹各条根轨迹分别起于开环极点 0，-3，-1+j1,-1-j1；终于无穷远实轴上的根轨迹在0到-3之间渐近线确定分离点d解方程得（舍去）确定起始角确定起始角确定根轨迹与虚轴的交点。确定根轨迹与虚轴的交点。令 代入上式解得闭环系统的闭环系统的特征方程特征方程为为十十.根之和根之和如果系统特征方程写成如下形式如果系统特征方程写成如下形式42 常规根轨迹的绘制若若 根之和与开环根轨迹增益根之和与开环根轨迹增益 无关。无关。此时此时开环开环n个极点之和等于闭环个极点之和等于闭环特征方程特征方程n个根和个根和。i=1mpii=1nsi=在开环极点已确定不变的情况下，其和为在开环极点已确定不变的情况下，其和为常值，因此，常值，因此，n-m 2的系统，当增益的系统，当增益的变动使某些闭环极点在的变动使某些闭环极点在s平面上平面上向左向左 移移动时，则必有另一些极点动时，则必有另一些极点向右向右移动，这样移动，这样才能保证极点之和为常值。这对于判断根才能保证极点之和为常值。这对于判断根轨迹的走向很有意义。轨迹的走向很有意义。练习：已知单位负反馈系统开环传递函数为已知单位负反馈系统开环传递函数为1.1.根轨迹分支数根轨迹分支数3.3.根轨迹起点与终点根轨迹起点与终点 5.5.渐近线夹角渐近线夹角 a a和交点和交点 a a7.7.分离点坐标分离点坐标d d 9.9.根轨迹与虚轴交点根轨迹与虚轴交点2.2.对称于实轴对称于实轴4.4.根轨迹区段根轨迹区段左侧左侧6.6.根轨迹根轨迹 pkpk和和 zkzk8.8.分离角或会合角分离角或会合角 10.10.根之和根之和G(s)=Ks(s+1)(0.25s+1)(1)(1)绘制系统的根轨迹图。绘制系统的根轨迹图。(2)(2)为使系统的阶跃响应呈现衰减振荡形式，试为使系统的阶跃响应呈现衰减振荡形式，试确定确定K K的取值范围。的取值范围。解：根据根轨迹绘制法则，按步计算：解：根据根轨迹绘制法则，按步计算：系统的开环传递函数系统的开环传递函数 其中其中K*4K根轨迹分支数为根轨迹分支数为3 条；条；起点起点 p10，p21，p3=-4；终止于无限零点处。；终止于无限零点处。实轴上根轨迹区段实轴上根轨迹区段1，0及及，4渐近线的位置与方向渐近线的位置与方向1.1.根轨迹分支数根轨迹分支数3.3.根轨迹起点与终点根轨迹起点与终点 5.5.渐近线夹角渐近线夹角 a a和交点和交点 a a7.7.分离点坐标分离点坐标d d 9.9.根轨迹与虚轴交点根轨迹与虚轴交点2.2.对称于实轴对称于实轴4.4.根轨迹区段根轨迹区段左侧左侧6.6.根轨迹根轨迹 pkpk和和 zkzk8.8.分离角或会合角分离角或会合角 10.10.根之和根之和G(s)H(s)=K*s(s+1)(s+4)a=3-1-4=-1.67 a=3(2k+1)=(K=0 )3 3 -(K=-1 )(K=1 )分离点与分离角分离点与分离角d1+d+11d+41+=0d1=-0.46,d2=-2.87(此点不在根轨迹上舍去）此点不在根轨迹上舍去）分离角为分离角为+和和-2 2 与虚轴的交点与虚轴的交点将将s=j 代入系统闭环特征方程代入系统闭环特征方程 s(s+1)(s+4)+k*=0 后由实部、虚部为零后由实部、虚部为零解得解得 2，k*=20,由于由于k*=4k，k=5 j 确定确定k的取值范围的取值范围与分离点与分离点d1=0.46相应的相应的k*可由可由模值条件求得模值条件求得k*=|d1|.|d1+1|.|d1+4|=0.88K=k*/4=0.22由图可知使系统的阶跃响应呈现由图可知使系统的阶跃响应呈现衰减振荡形式衰减振荡形式k的取值范围的取值范围0.22k5常常见见闭闭环环系系统统根根轨轨迹迹图图知识回顾一一.根轨迹法根轨迹法在已知开环零、极点时，迅速求出开环增益（或在已知开环零、极点时，迅速求出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环特征方程所有根其他参数）从零变到无穷时闭环特征方程所有根在复平面上的分布，即在复平面上的分布，即根轨迹根轨迹。二二.根轨迹方程根轨迹方程1.1.根轨迹分支数根轨迹分支数3.3.根轨迹起点与终点根轨迹起点与终点 5.5.渐近线夹角渐近线夹角 a a和交点和交点 a a7.7.分离点坐标分离点坐标d d 9.9.根轨迹与虚轴交点根轨迹与虚轴交点2.2.对称于实轴对称于实轴4.4.根轨迹区段根轨迹区段左侧左侧6.6.根轨迹根轨迹 pkpk和和 zkzk8.8.分离角或会合角分离角或会合角 三三.根轨迹规则根轨迹规则知识回顾一一.根轨迹法根轨迹法在已知开环零、极点时，迅速求出开环增益（或在已知开环零、极点时，迅速求出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环特征方程所有根其他参数）从零变到无穷时闭环特征方程所有根在复平面上的分布，即在复平面上的分布，即根轨迹根轨迹。二二.根轨迹方程根轨迹方程1.1.根轨迹分支数根轨迹分支数3.3.根轨迹起点与终点根轨迹起点与终点 5.5.渐近线夹角渐近线夹角 a a和交点和交点 a a7.7.分离点坐标分离点坐标d d 9.9.根轨迹与虚轴交点根轨迹与虚轴交点2.2.对称于实轴对称于实轴4.4.根轨迹区段根轨迹区段左侧左侧6.6.根轨迹根轨迹 pkpk和和 zkzk8.8.分离角或会合角分离角或会合角 三三.根轨迹规则根轨迹规则知识回顾1.1.分支数开环极点数或零点数中大者分支数开环极点数或零点数中大者 2.2.根轨迹的起于根轨迹的起于极点极点与终于与终于零点零点 5.5.起始角起始角 终止角终止角 3.3.实轴上根轨迹区段实轴上根轨迹区段 极点零点数为奇数极点零点数为奇数 4.4.渐近线夹角渐近线夹角交点交点 6.6.分离点分离点7.7.分离角分离角 =(2k+1)l8.8.令闭环特征方程中的令闭环特征方程中的 s=j ，然后分别令其实部，然后分别令其实部 和虚部为零求得。和虚部为零求得。43 广义根轨迹1.1.开环零点变化时的根轨迹开环零点变化时的根轨迹设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为闭环特征方程为闭环特征方程为等效变换成等效变换成一一.参数根轨迹参数根轨迹 当变化的参数为开环增益当变化的参数为开环增益K以外的参数时的以外的参数时的根轨迹。根轨迹。A为变化的参数为变化的参数43 广义根轨迹1.1.开环零点变化时的根轨迹开环零点变化时的根轨迹设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为闭环特征方程为闭环特征方程为等效变换成等效变换成一一.参数根轨迹参数根轨迹 当变化的参数为开环增益当变化的参数为开环增益K以外的参数时的以外的参数时的根轨迹。根轨迹。A为变化的参数为变化的参数43 广义根轨迹1.1.开环零点开环零点变化时的根轨迹变化时的根轨迹例例1：设系统开环传递函数为：设系统开环传递函数为一一.参数根轨迹参数根轨迹G(s)H(s)=2(Tas-1)s(s+2)求当求当Ta从从0 变化时根轨迹。变化时根轨迹。解：由解：由1+G(s)H(s)=0 可得可得s2+2s+2Tas-2=0 G1(s)H1(s)=2Tass2+2 s-2=-1 2Tass2+2s-22.2.开环极点开环极点变化时的根轨迹变化时的根轨迹设一负反馈系统的开环传递函数为设一负反馈系统的开环传递函数为试画出当试画出当 变化的根轨迹。变化的根轨迹。43 广义根轨迹10等效开环传递函数为等效开环传递函数为根据上式可画出根据上式可画出 变化时的广义根轨迹。变化时的广义根轨迹。102一一.参数根轨迹参数根轨迹附加适当的开环零点可改善系统性能附加适当的开环零点可改善系统性能43 广义根轨迹二二.附加开环零点附加开环零点的作用的作用例：设系统开环传递函数为例：设系统开环传递函数为G(s)H(s)=Ks2(s+2)试画出单位负反馈系统的根轨迹，若在负实轴上试画出单位负反馈系统的根轨迹，若在负实轴上加一个开环零点加一个开环零点 a,即开环传递函数变为即开环传递函数变为G(s)H(s)=K(s+a)s2(s+2)时，作出根轨迹图说明当时，作出根轨迹图说明当0a2时能使系统稳定时能使系统稳定若若a2时根轨迹有何变化？时根轨迹有何变化？附加适当的开环零点可改善系统性能附加适当的开环零点可改善系统性能43 广义根轨迹二二.附加开环零点的作用附加开环零点的作用解：解：-2 G(s)H(s)=Ks2(s+2)(1)根轨迹有三个开环极点根轨迹有三个开环极点p1=p2=0,p3=-2，无开环零点，无开环零点(2)三条根轨迹分支，始于三条根轨迹分支，始于p1、p2、p3，终于无穷远终于无穷远(3)实轴实轴-2，-为根轨迹为根轨迹(4)渐近线交点：渐近线交点：a=3-2=-0.67 a=3(2k+1)=(K=0 )3 3 -(K=-1 )(K=1 )-2附加适当的开环零点可改善系统性能附加适当的开环零点可改善系统性能43 广义根轨迹广义根轨迹二二.附加开环零点的作用附加开环零点的作用解：解：G(s)H(s)=Ks2(s+2)(1)根轨迹有三个开环极点根轨迹有三个开环极点p1=p2=0,p3=-2，z1=-a(2)三条根轨迹分支，始于三条根轨迹分支，始于p1、p2、p3，终止于终止于z1和无穷远和无穷远(3)实轴实轴-2，-a为根轨迹为根轨迹(4)渐近线交点：渐近线交点：a=3-2+a a=2(2k+1)=(K=0 )2 2-(K=-1 )若附加一个零点若附加一个零点a,且且0a2-2-a 此时系统是稳定的此时系统是稳定的附加适当的开环零点可改善系统性能附加适当的开环零点可改善系统性能43 广义根轨迹二二.附加开环零点的作用附加开环零点的作用解：解：G(s)H(s)=Ks2(s+2)(1)根轨迹有三个开环极点根轨迹有三个开环极点p1=p2=0,p3=-2，z1=-a(2)三条根轨迹分支，始于三条根轨迹分支，始于p1、p2、p3，终止于终止于z1和无穷远和无穷远(3)实轴实轴-2，-a为根轨迹为根轨迹(4)渐近线交点：渐近线交点：a=3-2+a a=2(2k+1)=(K=0 )2 2-(K=-1 )若附加一个零点若附加一个零点a,且且a2时时-2-a此时系统是不稳定的，此时系统是不稳定的，但与没有开环零点相但与没有开环零点相比，根轨迹向左偏移。比，根轨迹向左偏移。例：单位反馈系统的开环传递函数试绘出闭环系统的根轨迹。附加适当的开环零点可改善系统性能附加适当的开环零点可改善系统性能43 广义根轨迹二二.附加开环零点的作用附加开环零点的作用解：解：此系统开环此系统开环有三个极点有三个极点0，0，10按步骤作出系统的按步骤作出系统的根轨迹，如图所示根轨迹，如图所示 图中两条根轨迹位于图中两条根轨迹位于s s平面右半部，平面右半部，即闭环始终有两个右极点。说明开环增益即闭环始终有两个右极点。说明开环增益无论取何值，系统均不稳定。无论取何值，系统均不稳定。若在系统中附加一个负实数零点若在系统中附加一个负实数零点z1，用来改善系，用来改善系统的动态性能，则系上统的开环传递函数为统的动态性能，则系上统的开环传递函数为因因此此，引引入入的的附附加加零零点点要要恰恰当当，才才能能使使系系统统的的性性能能有有所所改改善善。一一.主导极点和偶极子主导极点和偶极子l主导极点主导极点：就是对动态过程影响就是对动态过程影响占主导地位的极点，一般是占主导地位的极点，一般是离虚轴最离虚轴最近的极点。近的极点。44 系统性能分析l偶极子偶极子：就是一对靠得很近的闭环零、极点就是一对靠得很近的闭环零、极点一一.主导极点和偶极子主导极点和偶极子44 系统性能分析二二.利用主导极点估算系统的性能指标利用主导极点估算系统的性能指标l主导极点在动态过程中起主要作用，主导极点在动态过程中起主要作用，计计算性能指标时算性能指标时，在一定条件下就可以只，在一定条件下就可以只考虑暂态分量中考虑暂态分量中主导极点主导极点对应的分量对应的分量，将高阶系统近似看做一、二阶系统将高阶系统近似看做一、二阶系统，计，计算性能指标的公式和曲线。算性能指标的公式和曲线。44 系统性能分析例例:试近似计算系统的动态性能指标试近似计算系统的动态性能指标 。解：解：系统有三个闭环极点系统有三个闭环极点其零、极点分布如图所示。其零、极点分布如图所示。某系统的闭环传递函数为某系统的闭环传递函数为二二.利用主导极点估算系统的性能指标利用主导极点估算系统的性能指标44 系统性能分析 极点极点 离虚轴最近所离虚轴最近所以系统的主导极为以系统的主导极为 ，而，而其他两个极点可以忽略。其他两个极点可以忽略。二二.利用主导极点估算系统的性能指标利用主导极点估算系统的性能指标44 系统性能分析这时系统可以看做是一阶系统。这时系统可以看做是一阶系统。传递函数为传递函数为式中：式中：T=0.67s根据时域分析可知根据时域分析可知一阶系统无超调一阶系统无超调调节时间调节时间二二.利用主导极点估算系统的性能指标利用主导极点估算系统的性能指标44 系统性能分析例:系统闭环传递函数试估计系统的性能指标。二二.利用主导极点估算系统的性能指标利用主导极点估算系统的性能指标44 系统性能分析解：解：闭环零、极点分布闭环零、极点分布 如图所示如图所示二二.利用主导极点估算系统的性能指标利用主导极点估算系统的性能指标44 系统性能分析系统近似为二阶系统系统近似为二阶系统对应性能指标对应性能指标二二.利用主导极点估算系统的性能指标利用主导极点估算系统的性能指标44 系统性能分析44 系统性能分析 1.1.稳定性稳定性三三.系统性能分析系统性能分析 如果闭环极点全部位于如果闭环极点全部位于S S左半平面，即左半平面，即系统根轨系统根轨迹位于迹位于S S左半平面，则系统一定是稳定的左半平面，则系统一定是稳定的。2.2.运动形式运动形式 如果闭环如果闭环系统无零点且闭环极点均为实数系统无零点且闭环极点均为实数，则时，则时间间响应一定是单调响应一定是单调的；如果闭环的；如果闭环极点均为复数极点均为复数极点，极点，则时间则时间响应一般是振荡响应一般是振荡的。的。3.3.超调量超调量 取决于闭环复数主导极点的衰减率取决于闭环复数主导极点的衰减率/d d，并与其，并与其他闭环零点、极点接近原点的程度有关他闭环零点、极点接近原点的程度有关。4.4.调节时间调节时间 主要取决于闭环主导极点的实部绝对值主要取决于闭环主导极点的实部绝对值=n n。44 系统性能分析 5.5.实数零点、极点的影响实数零点、极点的影响三三.系统性能分析系统性能分析 零点零点减小减小系统阻尼，使峰值时间提前，超调量增系统阻尼，使峰值时间提前，超调量增大；大；极点极点增大系统阻尼，使峰值时间滞后，超调量增大系统阻尼，使峰值时间滞后，超调量减小。减小。6.6.偶极子偶极子 远离原点的偶极子，其影响可以忽略，接近原点远离原点的偶极子，其影响可以忽略，接近原点的偶极子其必。的偶极子其必。7.主导极点主导极点 凡比主导极点的实部大凡比主导极点的实部大3636倍以上的其他闭环零、倍以上的其他闭环零、极点其影响均可忽略。极点其影响均可忽略。例：已知单位负反馈系统开环传递函数为已知单位负反馈系统开环传递函数为G(s)=Ks(s+1)(0.25s+1)(1)(1)绘制系统的根轨迹图。绘制系统的根轨迹图。(2)(2)为使系统的阶跃响应呈现衰减振荡形式，试为使系统的阶跃响应呈现衰减振荡形式，试确定确定K K的取值范围。的取值范围。44 系统性能分析三三.系统性能分析系统性能分析K*i=1ms-zii=1ns-pi=1 如果闭环如果闭环系统无零点且闭环极点均为实数系统无零点且闭环极点均为实数，则，则时间时间响应一定是单调响应一定是单调的；如果闭环的；如果闭环极点均为复数极点均为复数极极点，则时间点，则时间响应一般是振荡响应一般是振荡的。的。解：根据根轨迹绘制法则，按步计算：解：根据根轨迹绘制法则，按步计算：系统的开环传递函数系统的开环传递函数 其中其中K*4K根轨迹分支数为根轨迹分支数为3 条；条；起点起点 p10，p21，p3=-4；终止于无限零点处。；终止于无限零点处。实轴上根轨迹区段实轴上根轨迹区段1，0及及，4渐近线的位置与方向渐近线的位置与方向1.1.根轨迹分支数根轨迹分支数3.3.根轨迹起点与终点根轨迹起点与终点 5.5.渐近线夹角渐近线夹角 a a和交点和交点 a a7.7.分离点坐标分离点坐标d d 9.9.根轨迹与虚轴交点根轨迹与虚轴交点2.2.对称于实轴对称于实轴4.4.根轨迹区段根轨迹区段左侧左侧6.6.根轨迹根轨迹 pkpk和和 zkzk8.8.分离角或会合角分离角或会合角 10.10.根之和根之和G(s)H(s)=K*s(s+1)(s+4)a=3-1-4=-1.67 a=3(2k+1)=(K=0 )3 3 -(K=-1 )(K=1 )分离点与分离角分离点与分离角d1+d+11d+41+=0d1=-0.46,d2=-2.87(此点不在根轨迹上舍去）此点不在根轨迹上舍去）分离角为分离角为+和和-2 2 与虚轴的交点与虚轴的交点将将s=j 代入系统闭环特征方程代入系统闭环特征方程 s(s+1)(s+4)+k*=0 后由实部、虚部为零后由实部、虚部为零解得解得 2，k*=20,由于由于k*=4k，k=5 j 确定确定k的取值范围的取值范围与分离点与分离点d1=0.46相应的相应的k*可由可由模值条件求得模值条件求得k*=|d1|.|d1+1|.|d1+4|=0.88K=k*/4=0.22由图可知使系统的阶跃响应呈现由图可知使系统的阶跃响应呈现衰减振荡形式衰减振荡形式k的取值范围的取值范围0.22k5