第二章--平面汇交力系.pptx

第二章 平面汇交力系1 按力系中各力的作用线是否在同一平面内按力系中各力的作用线是否在同一平面内分为分为平面力系平面力系和和空间力系空间力系两类两类2 按作用线是否相交按作用线是否相交分为分为汇交力系汇交力系、力偶系力偶系、平行力系平行力系和和任意力系任意力系平面汇交力系平面汇交力系-是一种基本力系，它是是一种基本力系，它是研究复杂力系的基础，所以我们先来研究它。研究复杂力系的基础，所以我们先来研究它。若各力的作用线在同一平面内且若各力的作用线在同一平面内且汇交于一点汇交于一点,则称为平面汇交力系则称为平面汇交力系.平面汇交力系平面汇交力系 在工程实际中，平面汇交力系的实例是很多在工程实际中，平面汇交力系的实例是很多例如例如:起重机的吊钩受钢绳拉力起重机的吊钩受钢绳拉力T Tl l、T T2 2和和 T T3 3的作用的作用例如例如:砖砌基座上的锅炉受重力砖砌基座上的锅炉受重力G和反力和反力 NA和和NB的作用的作用 在工程实际中，平面汇交力系的实例是很多在工程实际中，平面汇交力系的实例是很多2.1 2.1 求平面汇交力系的合力求平面汇交力系的合力1 几何法几何法:两个汇交力的合成两个汇交力的合成:应用平行四边形法则应用平行四边形法则(力三角形法力三角形法)合力等于两分力的矢量和或几何和，如图所示。合力等于两分力的矢量和或几何和，如图所示。OAF1BF2CR合力的大小和方向合力的大小和方向由由 F2 和和 F1 所构成的平行四所构成的平行四边形的对角线表示边形的对角线表示合力的作用点合力的作用点即为原来两力的交点。即为原来两力的交点。在用力的平行四边形法则求合力时，只要在用力的平行四边形法则求合力时，只要画出其中任一半，即力三角形成够了如图画出其中任一半，即力三角形成够了如图所示因此力的平行四边形法则又称为力三角所示因此力的平行四边形法则又称为力三角形法形法OAF1CF2ROBF1CF2R(2)平面汇交力系的合成平面汇交力系的合成:应用力的多边形法则应用力的多边形法则:设刚体上受到设刚体上受到F1、F2、F3及及F4等许多力的作用，等许多力的作用，它们的作用线在同一平面内，正汇交于它们的作用线在同一平面内，正汇交于O点。点。(如图所示如图所示)(2)平面汇交力系的合成平面汇交力系的合成:应用力的多边形法则应用力的多边形法则:设刚体上受到设刚体上受到F1、F2、F3及及F4等许多力的作用，等许多力的作用，它们的作用线在同一平面内，正汇交于它们的作用线在同一平面内，正汇交于O点。点。(如图所示如图所示)F1A1F2 F3 A2 A4 A3O F4 求合力时，连续利用求合力时，连续利用力的三角形法则，依力的三角形法则，依次求出合力次求出合力R1,R2,R3和和R.求整个力系的合力，中间的合力求整个力系的合力，中间的合力 R1 R2可以可以不必画出，可顺次将力不必画出，可顺次将力Fl、F2、F3等首尾等首尾相接，最后将相接，最后将F1的起点和的起点和F4的终点连接起来，的终点连接起来，即得合力即得合力 R(如图如图)。AF1BF2CF3DF4ERR1R2AF1BF2CF3DF4ER所得出的多边形所得出的多边形ABCDE称为力多边形，称为力多边形，AE称为力多边形的封闭边。称为力多边形的封闭边。AF1BF2CF3DF4ERR1R2AF1BF2CF3DF4ER平面汇交力系的合成结果是一个力平面汇交力系的合成结果是一个力它的作用线它的作用线:过交汇点过交汇点大小和方向大小和方向:由力多边形的封闭边表示由力多边形的封闭边表示用矢量公式表示为用矢量公式表示为:画力多边形时，各力的次序是任意的，改变画力多边形时，各力的次序是任意的，改变各力的次序，只影响力多边形的形状，而不各力的次序，只影响力多边形的形状，而不影响合力影响合力 R 的大小和方向的大小和方向AF1BF2CF3DF4ERAF1BF2CF3DF4ER画力多边形时，各力的次序是任意的，改变画力多边形时，各力的次序是任意的，改变各力的次序，只影响力多边形的形状，而不各力的次序，只影响力多边形的形状，而不影响合力影响合力 R 的大小和方向的大小和方向AF1BF2CF3DF4EREAF1BF2CF3DF4ER画力多边形时，各力的次序是任意的，改变画力多边形时，各力的次序是任意的，改变各力的次序，只影响力多边形的形状，而不各力的次序，只影响力多边形的形状，而不影响合力影响合力 R 的大小和方向的大小和方向AF1BF2CF3DF4ERAF1BF2CF3DF4ER 已知平面汇交力系受力图求合力时，已知平面汇交力系受力图求合力时，按比例作矢量合成图。此法多用于按比例作矢量合成图。此法多用于理论推导，求解实际问题时不方便、理论推导，求解实际问题时不方便、不准确，特别当分力多于两个以上时，不准确，特别当分力多于两个以上时，更不用此法求解。更不用此法求解。！力在轴上的投影力在轴上的投影ABFabFXABFabFXXX力在轴上投影的大小力在轴上投影的大小:等于此力的模乘等于此力的模乘以此力与投影以此力与投影(不一定是与投影轴的正向不一定是与投影轴的正向)所夹锐角的余弦所夹锐角的余弦2 解析法求平面汇交力系的合力解析法求平面汇交力系的合力ABFabFXABFabFXXX力在轴上投影的正负力在轴上投影的正负:则可直接观察确定则可直接观察确定:当当 为锐角时为锐角时,力的投影为正力的投影为正;当当 为钝角时为钝角时,力的投影为负力的投影为负.力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影XYOABFababFXFY当力当力F 在直角坐标在直角坐标轴分解为轴分解为 FX和和 FY两分力时，这两两分力时，这两分力的大小分别分力的大小分别等于力在两轴上等于力在两轴上的投影的绝对值。的投影的绝对值。合力投影定理合力投影定理:合力在任一轴上的投影合力在任一轴上的投影等于各分力在同轴正投等于各分力在同轴正投影的代数和影的代数和.这就是合这就是合力投影定理力投影定理.XYOABF1CF2DF3Rabcd合力的投影为合力的投影为:ad各分力投影各分力投影的代数和为的代数和为:ab+bc+cd=解析法平面汇交力系的合力解析法平面汇交力系的合力:将分力投影在直角坐标轴上将分力投影在直角坐标轴上;求分力在坐标轴上的代数和求分力在坐标轴上的代数和:RX=FX RY=FY合力的大小和方向用合力的大小和方向用 R,角度角度,表示表示RYYXRXR大小大小方向方向RYYXRXR 例例1 一吊环受到三条钢丝绳的拉力，如图一吊环受到三条钢丝绳的拉力，如图所示所示,已知已知F1=2000N，水平向左；，水平向左；F22500N，与水平成与水平成30角；角；F3l 500N,铅直向下铅直向下.试用试用解析法求合力的大小及方向，解析法求合力的大小及方向，F1F2F3YX 解解:取坐标轴如图。取坐标轴如图。分别计算各力的分别计算各力的投影。投影。F2X=-F2 cos30=-25000.866=-2170NF3X=0F1F2F3YXF1X=-F1=2000NF1Y=0F2Y=-F2 sin30=-25000.5=-1250NF3Y=-F3=-1500N 解解:取坐标轴如图。取坐标轴如图。分别计算各力的分别计算各力的投影。投影。F1F2F3YXYXORXRRYRX=FX=-2000 2170+0=-4170NRY=FY=0 1250-1500=-2750N合力的大小合力的大小:YXORXRRYRX=FX=-4170NRY=FY=-2750N合力的方向合力的方向:由于由于RX和和RX都是负值，都是负值，所以合力只应在第三象限所以合力只应在第三象限 =33.5 2.22.2平面汇交力系的平衡条件平面汇交力系的平衡条件及应用及应用1 平衡的几何条件平衡的几何条件:要使平面汇交力要使平面汇交力系成为平衡力系，系成为平衡力系，力的多边形力的多边形自行封闭自行封闭必要充分条件必要充分条件 设刚体上作用一平面汇交力系设刚体上作用一平面汇交力系(图图)。现按。现按力的多边形法则合成力的多边形法则合成:F1F2F3F4若第一个力的起点与最后一个力的终点恰好若第一个力的起点与最后一个力的终点恰好互相连接而构成一个自行封闭的力多边形，互相连接而构成一个自行封闭的力多边形，即表示力系的合力即表示力系的合力 R R 等于零，则此力系为等于零，则此力系为平衡力系平衡力系.例例 刚体上作用一平面汇交力系刚体上作用一平面汇交力系,五个力大小五个力大小 相等相等,彼此夹彼此夹72角角F4F3F2F1F5F1F2F3F4F5力多边形为正五边形力多边形为正五边形,力矢量自行闭合力矢量自行闭合用作图法求解平面汇交力系的平衡问题用作图法求解平面汇交力系的平衡问题:按比例先画出封闭的力多边形按比例先画出封闭的力多边形 用尺和量角器在图上直接量得所要求的用尺和量角器在图上直接量得所要求的 未知量未知量也可采用数解法，即根据图形的边角关系，也可采用数解法，即根据图形的边角关系，用三角公式计算出所要求的未知量。用三角公式计算出所要求的未知量。起重机吊起的减速箱盖重起重机吊起的减速箱盖重W900 N，两根钢丝绳两根钢丝绳AB和和AC与沿垂线的夹角分别为与沿垂线的夹角分别为45，30试求箱盖匀速吊起时，试求箱盖匀速吊起时，钢丝绳钢丝绳AB和和AC的张力。的张力。例例1 例例1 起重机吊起的减速箱盖重起重机吊起的减速箱盖重W900 N，两根钢丝绳两根钢丝绳AB和和AC与沿垂线的夹角分别为与沿垂线的夹角分别为45，30试求箱盖匀速吊起时，试求箱盖匀速吊起时，钢丝绳钢丝绳AB和和AC的张力。的张力。选箱盖为研究对象，选箱盖为研究对象，画它的受力图画它的受力图解解:三个力必汇交于吊环三个力必汇交于吊环 中心中心A。画力三角形画力三角形选箱盖为研究对象，选箱盖为研究对象，画它的受力图画它的受力图解解:三个力必汇交于吊环三个力必汇交于吊环 中心中心A。画力三角形画力三角形bcTABaTACW4530 如果力三角形的几何如果力三角形的几何关系不复杂，可以选关系不复杂，可以选用数解法，运用三角用数解法，运用三角公式来计算公式来计算:bcTABaTACW4530 如果力三角形的几何如果力三角形的几何关系不复杂，可以选关系不复杂，可以选用数解法，运用三角用数解法，运用三角公式来计算公式来计算:TABTACbcTABaTACW4530 如果力三角形的几何如果力三角形的几何关系不复杂，可以选关系不复杂，可以选用数解法，运用三角用数解法，运用三角公式来计算公式来计算:如果在画力三角形时，主动力如果在画力三角形时，主动力W是按比例尺是按比例尺画出，则可在力三角形中直接量出结果画出，则可在力三角形中直接量出结果TAB=460N TAC=660N平面汇交平面汇交力系平衡力系平衡力系中各个力在两个力系中各个力在两个坐标轴上投影的代数坐标轴上投影的代数和分别等于零。和分别等于零。平面汇交力系平衡的解析条件平面汇交力系平衡的解析条件 由由:得得:该式为平面汇交该式为平面汇交力系的平衡方程力系的平衡方程2 平面汇交力系平衡的解析条件平面汇交力系平衡的解析条件(平衡方程平衡方程)2 平面汇交力系平衡的解析条件平面汇交力系平衡的解析条件(平衡方程平衡方程)在列平衡方程时注意在列平衡方程时注意:坐标轴是可以任意选取的，坐标轴是可以任意选取的，可以列出任意数目的平衡方程，可以列出任意数目的平衡方程，独立的平衡方程只有两个独立的平衡方程只有两个,因而可以求解两个未知量。因而可以求解两个未知量。支架如图所示，出支架如图所示，出 AB 和和 AC 杆组成。杆组成。A、B、C三点均为铰链连接，在三点均为铰链连接，在A点悬挂重点悬挂重力力 P kN 的重物的重物.杆自重忽略不计杆自重忽略不计.求求 AB 和和AC杆所受的力。杆所受的力。BCAP例2解解 (1)根据题意，选销钉根据题意，选销钉A为研究对象。为研究对象。(2)画受力图。显然这是一个平面画受力图。显然这是一个平面 汇交的平衡力系。汇交的平衡力系。BAACSACSACSABSABBCAP3060ASABSACT解解 (1)根据题意，选销钉根据题意，选销钉A为研究对象。为研究对象。(2)画受力图。显然这是一个平面画受力图。显然这是一个平面 汇交的平衡力系。汇交的平衡力系。BCAP3060ASABSACT列平衡方程式，求末知量。列平衡方程式，求末知量。选坐标轴如图所示。选坐标轴如图所示。YXBCAP3060ASABSACT列平衡方程式，求末知量。列平衡方程式，求末知量。选坐标轴如图所示。选坐标轴如图所示。YXX=0Y=0SAB=0.5 TSAC=0.866 T60-SAB+Tcos60=0SAC-Tcos30=0BCAP3060ASABSACTYX60SAB SAC均为正值，均为正值，表示假定指向与实际表示假定指向与实际相同相同.AB受拉伸，受拉伸，AC受压缩。受压缩。X=0Y=0SAB=0.5 TSAC=0.866 T-SAB+Tcos60=0SAC-Tcos30=0 杆杆AC，B C在在C处铰接，处铰接，另一端均与另一端均与墙面铰接墙面铰接.如图所示如图所示.Fl 和和F2 作用在销钉作用在销钉C上，上，F1=445(N)，F2=535(N)，不计杆重，不计杆重，试求两杆所受的力。试求两杆所受的力。30ABCF2F134 解：解：1取销钉取销钉C为研究为研究对象画受力图对象画受力图,此此为平为平面汇交力系的面汇交力系的平衡问题。平衡问题。例例330ABCF2F134CF2F134SACSBCXY 2.选力系汇交点选力系汇交点C为坐标原点为坐标原点.建立坐标建立坐标 如图所示如图所示.3列平衡方程列平衡方程CF2F134SACSBC 2.选力系汇交点选力系汇交点C为坐标原点为坐标原点.建立坐标建立坐标 如图所示如图所示.XY 3列平衡方程列平衡方程 Y=0 X=03030ABCF2F134解方程解方程:SAC=207(N)SBC=164(N)CF2F134SACSBCXY30 水平力水平力P作用在刚架的作用在刚架的B点点.如题图所示。如题图所示。如不计刚架重量如不计刚架重量,试求支座试求支座A和和D的约束反力。的约束反力。Pa2aABCDRDRA 解：解：1 几何法几何法 取刚架为研究对象取刚架为研究对象.受力如图受力如图所示所示.图中反力的指向为假设方向。图中反力的指向为假设方向。例例4PABCDRDRA 2画力三角形。因为力系平衡所以力三角形画力三角形。因为力系平衡所以力三角形自行封闭自行封闭,力的箭头首尾相接。如果不能满足力的箭头首尾相接。如果不能满足首尾相接的条件，说明原来假设的力的方向首尾相接的条件，说明原来假设的力的方向有误，则应把受力图中力的指向改正过来有误，则应把受力图中力的指向改正过来力三角形见图力三角形见图 2画力三角形。因为力系平衡所以力三角形画力三角形。因为力系平衡所以力三角形自行封闭自行封闭,力的箭头首尾相接。如果不能满足力的箭头首尾相接。如果不能满足首尾相接的条件，说明原来假设的力的方向首尾相接的条件，说明原来假设的力的方向有误，则应把受力图中力的指向改正过来有误，则应把受力图中力的指向改正过来力三角形见图力三角形见图PRDRA21PRDRA21PRDRA213 列算式列算式:由自行封闭的力三角形中的几何关系求由自行封闭的力三角形中的几何关系求反力的大小反力的大小解，解，2 解析法解析法:1取刚架为研究对象，受力如图所示取刚架为研究对象，受力如图所示:2选力系汇交点选力系汇交点C为坐标原点，建立坐标轴为坐标原点，建立坐标轴:XYPABCDRDRA123列平衡方程列平衡方程:PABCDRDRAXY12 在简支梁在简支梁A B的中点的中点C作用一个倾斜作用一个倾斜45的力的力F，力的大小等于，力的大小等于20(KN)，如题，如题图所示。若梁重不计，图所示。若梁重不计，试求二支座的反力。试求二支座的反力。ABCF45ABCF4545 解一：几何法解一：几何法:1取梁取梁A B为研究对象，受力如图所示。为研究对象，受力如图所示。未知力的指向可由力三角形中未知力的指向可由力三角形中“首尾相接首尾相接”的条件的条件确定其正确的指向确定其正确的指向45RBORA例例52画力三角形。在力三角形中标注出必要画力三角形。在力三角形中标注出必要的几何关系，如图所示。的几何关系，如图所示。45FRBRA3列算式列算式:由力三角形的几何关系求反力的大小由力三角形的几何关系求反力的大小ABCF4545RBORA3145FRBRA3列算式列算式:由力三角形的几何关系求反力的大小由力三角形的几何关系求反力的大小解二：解析法解二：解析法1取梁取梁AB为研究对象，画受力图，如图所示。为研究对象，画受力图，如图所示。ABCF4545RBRA312选力系汇交点选力系汇交点0为坐标原点，建立坐标如图为坐标原点，建立坐标如图:YXO 3列平衡方程列平衡方程 3列平衡方程列平衡方程X=0Y=0 ABCF4545RBRA31YXO RA=22.4(KN)RB=10(KN)结构由两弯杆结构由两弯杆ABC和和DE构成。构件重量构成。构件重量不计，图中的长度单位为不计，图中的长度单位为cm。已知。已知F=200(N)，试求支座试求支座A和和E的约束反力的约束反力.AECBDF4668AECBDF4668REORA解：解析法解：解析法 1.取整体研究，受力如图所示取整体研究，受力如图所示例例62.建立坐标轴建立坐标轴.3列平衡方程列平衡方程YXAECBDF4668REORA43RA=RE=167N 解：几何法解：几何法;1取整体为研究对象，取整体为研究对象，受力如图所示。受力如图所示。反力反力RA、RE的方位由高宽的方位由高宽比比3：4表示。表示。AECBDF4668REORA43 2画力三角形。画力三角形。力三角形是一个力三角形是一个等腰三角形。等腰三角形。AECBDF4668REORA43 2画力三角形。画力三角形。力三角形是一个力三角形是一个等腰三角形。等腰三角形。RERAF433列算式：由力三角形列算式：由力三角形 的几何关系求支座反的几何关系求支座反 力的大小。力的大小。2画力三角形。画力三角形。力三角形是一个力三角形是一个等腰三角形。等腰三角形。RERAF433列算式：由力三角形列算式：由力三角形 的几何关系求支座反的几何关系求支座反 力的大小。力的大小。重为重为G 的圆柱搁在倾斜的板的圆柱搁在倾斜的板A B与墙面与墙面之间，如题图所示。之间，如题图所示。若板与铅垂线的夹若板与铅垂线的夹角是角是30,圆柱与圆柱与板的接触点板的接触点 D 是是AB的中点，的中点，BC 绳在水平位置绳在水平位置，各接触点是光滑各接触点是光滑的的.试求绳试求绳BC的的拉力拉力T和和A铰的约铰的约束反力束反力NA的大小。的大小。例例730ABCEDGEG30ABCEDG 解：解：1取圆柱为研究对象，画受力图取圆柱为研究对象，画受力图.并建立坐标，列平衡方程。并建立坐标，列平衡方程。NENDXY3030ABCEDG30ABD 2取板取板A B为研究对象，画受力图为研究对象，画受力图TNDO再作力三角形，再作力三角形，由力三角形的几何由力三角形的几何关系求关系求T和和RA的大小的大小:RA3030 2取板取板A B为研究对象，画受力图为研究对象，画受力图再作力三角形，再作力三角形，由力三角形的几何由力三角形的几何关系求关系求T和和RA的大小的大小:30ABDTNDORA3030TRAND3030 2取板取板A B为研究对象，画受力图为研究对象，画受力图再作力三角形，再作力三角形，由力三角形的几何由力三角形的几何关系求关系求T和和RA的大小的大小:TRAND3030例例8 压紧机构如图压紧机构如图所示所示.AB与与BC长度长度相等相等,自重略去不计自重略去不计.A、B、C三处均为三处均为铰链连接铰链连接,油压活塞油压活塞产生的水平推力为产生的水平推力为P.求滑块求滑块C加于工件上加于工件上的压紧力为多大的压紧力为多大?工件工件LLACBPH 解：解：1 应先取销钉应先取销钉B为研究为研究 对象，求出连杆所受之力。对象，求出连杆所受之力。BPS1S2工件工件LLACBPH XYC工件工件LLACBPH 2 作滑块作滑块C 的受力图，取坐标轴的受力图，取坐标轴如图所示，列平衡方程。如图所示，列平衡方程。S2NRCXY平面汇交力系平平面汇交力系平衡问题的方法和步骤衡问题的方法和步骤 1根据问题的要求，选取合适的研究对象。根据问题的要求，选取合适的研究对象。对于较复杂的物体，要选两个甚至更多的研对于较复杂的物体，要选两个甚至更多的研究对象。究对象。2正确画出研究对象的受力图。所有作用正确画出研究对象的受力图。所有作用于研究对象上的力于研究对象上的力(包括主动力和约束反力包括主动力和约束反力)都应画出，特别是约束反力，要根据约束性都应画出，特别是约束反力，要根据约束性质去分析。要注意作用力与反作用力的关系，质去分析。要注意作用力与反作用力的关系，并能正确运用三力平衡汇交定理。并能正确运用三力平衡汇交定理。平面汇交力系平平面汇交力系平衡问题的方法和步骤衡问题的方法和步骤 3根据平衡条件，求未知量。根据平衡条件，求未知量。几何法：几何法：应画出研究对象的示意图、受力图应画出研究对象的示意图、受力图 和该力系的封闭力多边形或力三角形。和该力系的封闭力多边形或力三角形。按力多边形和诸力首尾相接的次序，按力多边形和诸力首尾相接的次序，确定未知力的指向。确定未知力的指向。而后用比例尺和量角器量出未而后用比例尺和量角器量出未知量或用三角公式计算。知量或用三角公式计算。平面汇交力系平平面汇交力系平衡问题的方法和步骤衡问题的方法和步骤 3根据平衡条件，求未知量。根据平衡条件，求未知量。解析法：解析法：选取合适的坐标轴，尽量使力的选取合适的坐标轴，尽量使力的 投影计算简便，一般应使坐标轴投影计算简便，一般应使坐标轴 与较多的力平行或垂直。与较多的力平行或垂直。计算力的投影时要注意正负号计算力的投影时要注意正负号列平衡方程，求未知量。列平衡方程，求未知量。4必要时应分析或讨论计算结果。必要时应分析或讨论计算结果。库YAXA