九年级数学一元二次方程(带答案).doc

第二章 一元二次方程第1讲 一元二次方程概念及解法【知识要点】一. 知识结构网络二、一元二次方程的四种解法 直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法1. 直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为或的形式的方程求解。当时，可两边开平方求得方程的解；当时，方程无实数根。2. 因式分解法解方程的步骤：（1）将方程一边化为0；（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个一次因式等于0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。3. 配方法解一元二次方程的步骤为：（1）化二次项系数为1（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（4）原方程变为的形式（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。4. 公式法解一元二次方程的基本步骤：（1）将方程化为一般形式，确定a、b、c的值；（2）计算的值并判别其符号；（3）若，则利用公式求方程的解，若，则方程无实数解。【典型例题】（1）（用因式分解法） 解：（2）（用公式法） 解： （3）（用配方法）解： 【经典练习】一、直接开方法（1） （2）二、配方法注：（1） （2）二、公式法1. 用求根公式法解下列方程；解：； 解：；解： ； 解：； 解：；解：； 解：(7)方程无实数根； 解：； 解：(9)先在方程两边同乘以100，化为整数系数，再代入求根公式， 解：。三、因式分解 1. 用因式分解法解下列各方程：（1）x25x240； 解：；（2）12x2x60；解：；（3）x24x1650 解：；（4）2x223x560；解：；（5）； 解： （6）；解：（7） 解：； （8）； 解： (x2)25(x2)60，(x22)(x23)0，x14，x25；（9）t(t3)28； 解：（9）t23t280，(t7)(t4)0，t17，t24；（10）(x1)(x3)15。解：x24x315，(x6)(x2)0，x16，x222. 用因式分解法解下列方程：（1）(y1)22y(y1)0； 解：； （2）(3x2)24(x3)2； 解： （3）9(2x3)24(2x5)20； 解：3(2x3)2(2x5)3(2x3)2(2x5)0， （4）(2y1)23(2y1)20。 解：(2y1)1(2y1)20， 三、综合练习 1. 下列方程中，有两个相等实数根的方程是（ B ） A. 7x2x10B. 9x24(3x1) C. D. 2. 若a，b，c互不相等，则方程(a2bc2)x22(abc)x30（ C ） A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根D. 根的情况不确定 解析: 因为4(abc)212(a2b2c2) 4(2a22b22c22ab2ac2bc) 4(ab)2(bc)2(ca)203. 若方程的两个实根的倒数和是S，求：S的取值范围。 分析：本题是二次方程与不等式的综合题，即利用方程有两个实根，求出m的取值范围，再用S的代数式表示m，借助m的取值范围就可求出S的取值范围。 解：设方程的两个实根为 方程有两个实根 。4. 已知关于x的方程x2(2m1)x(m2)20。m取什么值时， （1）方程有两个不相等的实数根？ （2）方程有两个相等的实数根？ （3）方程没有实数根？ 解析:(2m1)24(m2)25(4m3)。 （1）当，即时，原方程有两个不相等的实数根； （2）当时，原方程有两个相等的实数根； （3）当时，原方程没有实数根。5. 已知关于x的方程 （1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根。 （2）如果a是关于y的方程 的根，其中为方程的两个实数根。 求：代数式的值。 分析：第（1）题直接运用根的判别式即可得到结论，第（2）题首先利用根与系数关系可将方程化成，再利用根的定义得到，将代数式化简后，把整体代入即可求出代数式的值。 （1）证明： 对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根。 （2）解：是方程的两个实数根 方程 a是方程的根， 注：第（2）问中的整体代换在恒等变形中有广泛的应用。6. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根之差的平方为m （1）试分别判断当时，是否成立，并说明理由； （2）若对于任意一个非零的实数a，总成立，求实数c及m的值。 解：（1）原方程化为 即成立 当时，原方程化为 由，可设方程的两根分别为 则 即不成立 （2）设原方程两个实数根是 则 对于任意一个非零的实数a，都有 第2讲 根的判别式【知识要点】1.根的判别式： 关于x的一元二次方程 当时，方程有两个不相等的实根 当时，方程有两个相等的实根 当时，方程无实根【典型例题】1. a，b，c是三角形的三条边， 求证：关于x的方程b2x2(b2c2a2)xc20没有实数根分析：此题需证出0。已知条件中a，b，c是三角形的三边，所以有a0，b0，c0。还应注意有一个隐含关系“任意两边之和大于第三边”，“任意两边之差小于第三边”。 证明：因为(b2c2a2)24b2c2 (b2c2a2)2bc(b2c2a2)2bc (bc)2a2(bc)2a2 (bca)(bca)(bca)(bca)。 (要判断这个乘积是不是负的，应审查每个因式的正、负) 因为bca，即bca0， 同理bca0，又cab，即bca0。 又abc0，所以(bca)(bca)(bca)(bca)0。 所以，原方程没有实数根。【经典习题】为三边长的三角形是（ ） A. 以a为斜边的直角三角形 B. 以c为斜边的直角三角形 C. 以b为底边的等腰三角形 D. 以c为底边的等腰三角形 2. 已知关于x的一元二次方程（1）k取什么值时，方程有两个实数根。（2）如果方程的两个实数根满足，求k的值。 解：（1） 解得时，方程有两个实数根 （2），分两种情况 当，方程有两个相等的实数根。 当 由根与系数关系，得 3. 已知方程的两根的平方和为11，求k的值。 解：设方程的两根为 则有 当。 注：用根与系数关系后，要计算判别式检验是否有实根。4含有绝对值的一元二次方程 （1）. 方程x|x|8|x|40的实数根的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4 解： 显然x0不是方程的根。 当x0时，xx8x40。 x0的任何实数不可能是方程的根。 当x0时，方程为x28x40。 此方程两根之积为40，可见两根为一正一负。又因x0， 故负根舍去。所以方程只有一个实数根。应选A。 （2）. 求方程x2|2x1|40的实数根。 解：令得 显然不是方程的解 当时，方程是 即 x1舍去，x3 当时，方程是 即解得 舍去， 故方程的实数根是。5a，b，c，d为有理数，先规定一种新的运算：，那么=18时，x= 。6. 已知是方程的两根，求代数式的值。7.（广东广州，19，10分）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值。【分析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此，可得出a、b之间的关系，然后将化简后，用含b的代数式表示a，即可求出这个分式的值【答案】解：有两个相等的实数根，即 全品中考网，8.（四川乐山中考）若关于的一元二次方程有实数根（1） 求实数k的取值范围；（2） 设，求t的最小值（3） 解：（1）一元二次方程有实数根，（4） ， 2分（5） 即，（6） 解得4分（7） （3）由根与系数的关系得：， 6分（8） ， 7分（9） ，（10） ，（11） 即t的最小值为4 10分9.（ 四川绵阳中考）已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1m）xm2 的两实数根为x1，x2（1）求m的取值范围；（2）设y = x1 + x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值【答案】（1）将原方程整理为 x2 + 2（m1）x + m2 = 0 原方程有两个实数根， = 2（m1）24m2 =8m + 40，得 m（2） x1，x2为x2 + 2（m1）x + m2 = 0的两根， y = x1 + x2 =2m + 2，且m因而y随m的增大而减小，故当m =时，取得极小值110.（ 湖北孝感中考）关于x的一元二次方程、 （1）求p的取值范围；（4分） （2）若的值.（6分）【答案】解：（1）由题意得：2分解得：4分 （2）由得，6分8分9分10分说明：1可利用代入原求值式中求解；11.（山东淄博中考）已知关于x的方程（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；（3）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值【答案】解: （1）由题意得0化简得 0，解得k5（2）将1代入方程，整理得，解这个方程得 ，.（3）设方程的两个根为，根据题意得又由一元二次方程根与系数的关系得，那么，所以，当k2时m取得最小值512.（广东茂名中考）已知关于的一元二次方程（为常数）（1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设，为方程的两个实数根，且，试求出方程的两个实数根和的值 【答案】解：（1），2分因此方程有两个不相等的实数根3分（2），4分又，解方程组： 解得：5分方法一：将代入原方程得：，6分解得：7分方法二：将代入，得：，6分解得：7分第3讲 根与系数的关系【知识要点】 1. 根与系数关系关于x的一元二次方程 当推论1：推论2：【典型例题】1. 已知方程的两个实根中，其中一个是另一个的2倍，求m的值。 解：设方程的一个根为x，另一根2x 由根系关系知： 解得： 2. 已知方程的两根不解方程，求和的值。解：由题设条件 【经典习题】一. 选择题。 1. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k与另一根分别为（ ） A. 2，-1B. -1，2C. -2，1D. 1，-2 2. 已知方程的两根互为相反数，则m的值是（ ） A. 4B. -4C. 1D. -1 3. 若方程有两负根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若方程的两根中，只有一个是0，那么（ ） A. B. C. D. 不能确定 5. 方程的大根与小根之差等于（ ） A. B. C. 1D. 6. 以为根的，且二次项系数为1的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 二. 填空题。 7. 关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则m_。 8. 已知一元二次方程两根比2：3，则a，b，c之间的关系是_。 9. 已知方程的两根，且，则 _。 10. 已知是方程的两根，不解方程可得：_，_，_。 11. 已知，则以为根的一元二次方程是_。三. 解答题。 12. 已知方程的两根，求作以为两根的方程。 13. 设是方程的两个实根，且两实根的倒数和等于3，试求m的值。【试题答案】一. 选择题。 1. A2. B3. D4. B5. C6. B二. 填空题。 7. 8. 设，则 9. 或 时，原方程0，故舍去， 10. 11. 由此 或 或 所求方程或三. 解答题。 12. 解：由题意 即 故所求方程是，即 13. 解： 由 由 不符合题意，舍去 第4讲 一元二次方程的应用【知识要点】1. 列一元二次方程解实际问题的步骤：（1） 设：设好未知数，根据实际问题，可直接设未知数，也可间接设未知数，不要漏泄单位。（2） 列：根据题意，利用所蕴含的相等关系列出一元二次方程，注意等号两边的单位要一致。（3） 解：解所列的一元二次方程。（4） 验：检验所列方程的解是否符合实际问题情境，将不符合题意的方程的解舍去。（5） 答：根据题意，写出答案。【典型例题】1. 某农户种植花生，原来种植的花生的亩产量为200kg，出油率为50%（即每100kg花生可加工成花生油50kg），现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132kg，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的，求：新品种花生亩产量的增长率。解：设新品种花生亩产量的增长率为x， 则有 解得（不合题意，舍去） 答：新品种花生亩产量的增长率是20%。 注：对于增长率问题，解这类问题的公式是，其中，a是原来的量，x是平均增长率，n是增长的次数，b为增长的量。2. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。 求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？ 解：（1）设每件衬衫应降价x元，则有 解得 根据题意，取x=20， 每件衬衫应降低20元。 （2）商场每天赢利 当时，商场赢利最多，共1250元 每件衬衫降价15元时，商场平均每天获利最多。【经典习题】1. 一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调位置后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数。2一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了66次手。这次会议到会的有多少人？3某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克赢利10元，每天可售出500千克。经市场调查发现，在进货价格不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商场要保证每天赢利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元?【模拟试题】（一）填空题 1. 一元二次方程化为一般式后，_，_，_。 2. 若方程有两个实数根，则m的值是_。 3. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_。 4. 关于x的一元二次方程的一个根是1，另一个根是_，m=_。 5. 若是方程的两个根，则=_。 6. 已知两不等实数a、b满足条件，则_ 7. 已知a、b是方程的两个实数根，则_。（二）解下列方程 1. 2. 3. 4. 5. （三）解答题 1. 已知关于x的方程 求证无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相同的实数根 若这个方程的两个实数根，求m的值 2. 已知关于x的方程的两个实数根是x1、x2，且，如果关于x的另一个方程的两个实数根都在x1和x2之间，求m的值。第一次课后作业【经典练习】1. 已知x=-1是关于x的方程的一个根，则a= 。2. 若方程是关于x的一元二次方程，求m的值。3. 若是关于x的一元二次方程，则m= 。4. 已知a0，ab，x=1是方程的一个解，则的值是 。5. 关于x的一元二次方程有一根为0，求的值。6已知m是方程的一个不为零的根，求的值。7. 已知关于x的方程的一个根与方程的根相等。(1)求k的值.(2)求方程的另一个根.8已知x=1是一元二次方程的一个根，则的值为 。9已知方程有一个根是-a（a0），则下列代数式的值恒为常数的是（ ）AabB. C.a+bD.a-b第二次课后作业1.用配方法解方程：.2.将二次三项式进行配方，正确的结果是（ ）A. B. C. D. 3. 求证：不论m取何值，的值都不小于7.4. 用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（ ）AB. C. D. 5. 已知m是方程的一个根，则代数式的值是 。6. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围。7. 已知是关于x的方程的两个根，且，求m的值。8. 在ABC中，AB边上的中线CD=3,AB=6,BC+AC=8，则ABC的面积为 。9. 已知是方程的两根，求下列代数式的值。；10. 已知是方程的两根，求代数式的值。11. 已知是方程的一个根，求方程的另一个根和c的值。12关于x的方程的两实根的平方和为11，求m的值。21