九年级数学一元二次方程(带答案).doc

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第二章 一元二次方程
第1讲 一元二次方程概念及解法
【知识要点】
一. 知识结构网络

二、一元二次方程的四种解法
直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法
1. 直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为或的形式的方程求解。当时，可两边开平方求得方程的解；当时，方程无实数根。
2. 因式分解法解方程的步骤：（1）将方程一边化为0；（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个一次因式等于0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。
3. 配方法解一元二次方程的步骤为：（1）化二次项系数为1（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（4）原方程变为的形式（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。
4. 公式法解一元二次方程的基本步骤：（1）将方程化为一般形式，确定a、b、c的值；（2）计算的值并判别其符号；（3）若，则利用公式求方程的解，若，则方程无实数解。

【典型例题】
（1）（用因式分解法）
解：

（2）（用公式法）
解：

（3）（用配方法）
解：

【经典练习】
一、直接开方法
（1） （2）

二、配方法注：
（1） （2）
二、公式法
1. 用求根公式法解下列方程
；
解：
；
解：
；
解：
；
解：
；
解：
；
解：
；
解：(7)方程无实数根；
；
解：
；
解：(9)先在方程两边同乘以100，化为整数系数，再代入求根公式，

解：。
三、因式分解
1. 用因式分解法解下列各方程：
（1）x2－5x－24＝0；
解：；
（2）12x2＋x－6＝0；
解：；
（3）x2－4x－165＝0
解：；
（4）2x2－23x＋56＝0；
解：；
（5）；
解：
（6）；
解：
（7）
解：；
（8）；
解： (x－2)2－5(x－2)＋6＝0，(x－2－2)(x－2－3)＝0，x1＝4，x2＝5；
（9）t(t＋3)＝28；
解：（9）t2＋3t－28＝0，(t＋7)(t－4)＝0，t1＝－7，t2＝4；
（10）(x＋1)(x＋3)＝15。
解：x2＋4x＋3＝15，(x＋6)(x－2)＝0，x1＝－6，x2＝2

2. 用因式分解法解下列方程：
（1）(y－1)2＋2y(y－1)＝0；
解：；
（2）(3x＋2)2＝4(x－3)2；
解：

（3）9(2x＋3)2－4(2x－5)2＝0；
解：[3(2x＋3)＋2(2x－5)][3(2x＋3)－2(2x－5)]＝0，

（4）(2y＋1)2＋3(2y＋1)＋2＝0。
解：[(2y＋1)＋1][(2y＋1)＋2]＝0，

三、综合练习
1. 下列方程中，有两个相等实数根的方程是（ B ）
A. 7x2－x－1＝0 B. 9x2＝4(3x－1)
C. D.
2. 若a，b，c互不相等，则方程(a2＋b＋c2)x2＋2(a＋b＋c)x＋3＝0（ C ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 根的情况不确定
解析: 因为△＝4(a＋b＋c)2－12(a2＋b2＋c2)
＝4(－2a2－2b2－2c2＋2ab＋2ac＋2bc)
＝－4[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]＜0
3. 若方程的两个实根的倒数和是S，求：S的取值范围。
分析：本题是二次方程与不等式的综合题，即利用方程有两个实根，，求出m的取值范围，再用S的代数式表示m，借助m的取值范围就可求出S的取值范围。
解：设方程的两个实根为
∵方程有两个实根

。
4. 已知关于x的方程x2＋(2m＋1)x＋(m－2)2＝0。m取什么值时，
（1）方程有两个不相等的实数根？
（2）方程有两个相等的实数根？
（3）方程没有实数根？
解析:△＝(2m＋1)2－4(m－2)2＝5(4m－3)。
（1）当，即时，原方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，原方程有两个相等的实数根；
（3）当时，原方程没有实数根。
5. 已知关于x的方程 ①
（1）求证：对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根。
（2）如果a是关于y的方程 ②的根，其中为方程①的两个实数根。
求：代数式的值。
分析：第（1）题直接运用根的判别式即可得到结论，第（2）题首先利用根与系数关系可将方程②化成，再利用根的定义得到，将代数式化简后，把整体代入即可求出代数式的值。
（1）证明：
∵
∴对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根。
（2）解：∵是方程①的两个实数根

∴方程②
∵a是方程②的根，∴

注：第（2）问中的整体代换在恒等变形中有广泛的应用。
6. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根之差的平方为m
（1）试分别判断当时，是否成立，并说明理由；
（2）若对于任意一个非零的实数a，总成立，求实数c及m的值。
解：（1）原方程化为
∴
即成立
当时，原方程化为
由，可设方程的两根分别为
则
∴
即不成立
（2）设原方程两个实数根是
则

∵对于任意一个非零的实数a，都有

第2讲 根的判别式
【知识要点】
1.根的判别式：
关于x的一元二次方程

当时，方程有两个不相等的实根
当时，方程有两个相等的实根
当时，方程无实根
【典型例题】
1. a，b，c是三角形的三条边，
求证：关于x的方程b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0没有实数根
分析：此题需证出△＜0。已知条件中a，b，c是三角形的三边，所以有a＞0，b＞0，c＞0。还应注意有一个隐含关系“任意两边之和大于第三边”，“任意两边之差小于第三边”。
证明：因为△＝(b2＋c2－a2)2－4b2c2
＝[(b2＋c2－a2)＋2bc][(b2＋c2－a2)－2bc]
＝[(b＋c)2－a2][(b－c)2－a2]
＝(b＋c＋a)(b＋c－a)(b－c＋a)(b－c－a)。
(要判断这个乘积是不是负的，应审查每个因式的正、负)
因为b＋c＞a，即b＋c－a＞0，
同理b－c＋a＞0，又c＋a＞b，即b－c－a＜0。
又a＋b＋c＞0，所以△＝(b＋c＋a)(b＋c－a)(b－c＋a)(b－c－a)＜0。
所以，原方程没有实数根。

【经典习题】
为三边长的三角形是（ ）
A. 以a为斜边的直角三角形
B. 以c为斜边的直角三角形
C. 以b为底边的等腰三角形
D. 以c为底边的等腰三角形
2. 已知关于x的一元二次方程
（1）k取什么值时，方程有两个实数根。（2）如果方程的两个实数根满足，求k的值。
解：（1）
解得时，方程有两个实数根
（2）∵，分两种情况
①当，∴方程有两个相等的实数根。

②当
由根与系数关系，得
∴

3. 已知方程的两根的平方和为11，求k的值。
解：设方程的两根为
则有

∴
当。
∴
注：用根与系数关系后，要计算判别式检验是否有实根。
4．含有绝对值的一元二次方程
（1）. 方程x|x|－8|x|－4＝0的实数根的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解： 显然x＝0不是方程的根。
当x＜0时，x｜x｜－8｜x｜－4＜0。
∴x＜0的任何实数不可能是方程的根。
当x＞0时，方程为x2－8x－4＝0。
此方程两根之积为－4＜0，可见两根为一正一负。又因x＞0，
故负根舍去。所以方程只有一个实数根。应选A。
（2）. 求方程x2－|2x－1|－4＝0的实数根。
解：令得
显然不是方程的解
当时，方程是
即
x＝－1舍去，∴x＝3
当时，方程是
即解得
舍去，∴
故方程的实数根是。
5．a，b，c，d为有理数，先规定一种新的运算：，那么=18时，x= 。

6. 已知是方程的两根，求代数式的值。

7.（广东广州，19，10分）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值。
【分析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此⊿＝，可得出a、b之间的关系，然后将化简后，用含b的代数式表示a，即可求出这个分式的值．
【答案】解：∵有两个相等的实数根，
∴⊿＝，即． 全品中考网

∵
∵，∴
8.（四川乐山中考）若关于的一元二次方程有实数根．
（1） 求实数k的取值范围；
（2） 设，求t的最小值．
（3） 解：（1）∵一元二次方程有实数根，
（4） ∴， ………………………………………………………………………2分
（5） 即，
（6） 解得．……………………………………………………………………4分
（7） （3）由根与系数的关系得：， ………………… 6分
（8） ∴， …………………………………………7分
（9） ∵，∴，
（10） ∴，
（11） 即t的最小值为－4． ………………………………………………………10分

9.（ 四川绵阳中考）已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1－m）x－m2 的两实数根为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）设y = x1 + x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．

【答案】（1）将原方程整理为 x2 + 2（m－1）x + m2 = 0．
∵ 原方程有两个实数根，
∴ △= [ 2（m－1）2－4m2 =－8m + 4≥0，得 m≤．
（2） ∵ x1，x2为x2 + 2（m－1）x + m2 = 0的两根，
∴ y = x1 + x2 =－2m + 2，且m≤．
因而y随m的增大而减小，故当m =时，取得极小值1．
10.（ 湖北孝感中考）关于x的一元二次方程、
（1）求p的取值范围；（4分）
（2）若的值.（6分）
【答案】解：（1）由题意得：
…………2分
解得： …………4分
（2）由得，
…………6分

…………8分
…………9分
…………10分
说明：1．可利用
代入原求值式中求解；

11.（山东淄博中考）已知关于x的方程．
（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；
（3）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数
的图象上，求满足条件的m的最小值．
【答案】解: （1）由题意得△＝≥0　
化简得 ≥0，解得k≤5．
（2）将1代入方程，整理得，解这个方程得 ，.
（3）设方程的两个根为，，
根据题意得．又由一元二次方程根与系数的关系得，
那么，所以，当k＝2时m取得最小值－5
12.（广东茂名中考）已知关于的一元二次方程（为常数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设，为方程的两个实数根，且，试求出方程的两个实数根和的值．
【答案】解：（1），·················2分
因此方程有两个不相等的实数根．·································3分
（2），·····································4分
又，
解方程组： 解得：·····················5分
方法一：将代入原方程得：，················6分
解得：．·················································7分
方法二：将代入，得：，······················6分
解得：．·················································7分
第3讲 根与系数的关系
【知识要点】
1. 根与系数关系
关于x的一元二次方程 当
推论1：
推论2：
【典型例题】
1. 已知方程的两个实根中，其中一个是另一个的2倍，求m的值。
解：设方程的一个根为x，另一根2x
由根系关系知：
解得：

2. 已知方程的两根不解方程，求和的值。
解：由题设条件

【经典习题】
一. 选择题。
1. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k与另一根分别为（ ）
A. 2，-1 B. -1，2 C. -2，1 D. 1，-2
2. 已知方程的两根互为相反数，则m的值是（ ）
A. 4 B. -4 C. 1 D. -1
3. 若方程有两负根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 若方程的两根中，只有一个是0，那么（ ）
A. B.
C. D. 不能确定
5. 方程的大根与小根之差等于（ ）
A. B. C. 1 D.
6. 以为根的，且二次项系数为1的一元二次方程是（ ）
A. B.
C. D.

二. 填空题。
7. 关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则m＝________。
8. 已知一元二次方程两根比2：3，则a，b，c之间的关系是______。
9. 已知方程的两根，且，则 ________。
10. 已知是方程的两根，不解方程可得：________，________，________。
11. 已知，则以为根的一元二次方程是______
________________________。

三. 解答题。
12. 已知方程的两根，求作以为两根的方程。

13. 设是方程的两个实根，且两实根的倒数和等于3，试求m的值。

【试题答案】
一. 选择题。
1. A 2. B 3. D 4. B 5. C 6. B
二. 填空题。
7.
8. 设，则

9.

或
时，原方程△＜0，故舍去，
10.

11.
由此

或
或
所求方程或
三. 解答题。

12. 解：由题意
即

故所求方程是，即
13. 解：
由

由

不符合题意，舍去

第4讲 一元二次方程的应用
【知识要点】
1. 列一元二次方程解实际问题的步骤：
（1） 设：设好未知数，根据实际问题，可直接设未知数，也可间接设未知数，不要漏泄单位。
（2） 列：根据题意，利用所蕴含的相等关系列出一元二次方程，注意等号两边的单位要一致。
（3） 解：解所列的一元二次方程。
（4） 验：检验所列方程的解是否符合实际问题情境，将不符合题意的方程的解舍去。
（5） 答：根据题意，写出答案。
【典型例题】
1. 某农户种植花生，原来种植的花生的亩产量为200kg，出油率为50%（即每100kg花生可加工成花生油50kg），现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132kg，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的，求：新品种花生亩产量的增长率。
解：设新品种花生亩产量的增长率为x，
则有
解得（不合题意，舍去）
答：新品种花生亩产量的增长率是20%。
注：对于增长率问题，解这类问题的公式是，其中，a是原来的量，x是平均增长率，n是增长的次数，b为增长的量。
2. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
解：（1）设每件衬衫应降价x元，则有

解得
根据题意，取x=20，
∴每件衬衫应降低20元。
（2）商场每天赢利

当时，商场赢利最多，共1250元
∴每件衬衫降价15元时，商场平均每天获利最多。

【经典习题】
1. 一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调位置后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数。

2．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了66次手。这次会议到会的有多少人？

3．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克赢利10元，每天可售出500千克。经市场调查发现，在进货价格不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商场要保证每天赢利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元?

【模拟试题】
（一）填空题
1. 一元二次方程化为一般式后，___________，___________，___________。
2. 若方程有两个实数根，则m的值是___________。
3. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是___________。
4. 关于x的一元二次方程的一个根是1，另一个根是___________，m=___________。
5. 若是方程的两个根，则=___________。
6. 已知两不等实数a、b满足条件，则___________
7. 已知a、b是方程的两个实数根，则___________。

（二）解下列方程
1.
2.
3.
4.
5.

（三）解答题
1. 已知关于x的方程
①求证无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相同的实数根
②若这个方程的两个实数根，求m的值
2. 已知关于x的方程的两个实数根是x1、x2，且，如果关于x的另一个方程的两个实数根都在x1和x2之间，求m的值。
第一次课后作业
【经典练习】
1. 已知x=-1是关于x的方程的一个根，则a= 。
2. 若方程是关于x的一元二次方程，求m的值。

3. 若是关于x的一元二次方程，则m= 。
4. 已知a≠0，a≠b，x=1是方程的一个解，则的值是 。
5. 关于x的一元二次方程有一根为0，求的值。

6．已知m是方程的一个不为零的根，求的值。

7. 已知关于x的方程的一个根与方程的根相等。
(1)求k的值.(2)求方程的另一个根.

8．已知x=1是一元二次方程的一个根，则的值为 。
9．已知方程有一个根是-a（a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（ ）
A．ab B. C.a+b D.a-b
第二次课后作业
1.用配方法解方程：.

2.将二次三项式进行配方，正确的结果是（ ）
A. B. C. D.
3. 求证：不论m取何值，的值都不小于7.

4. 用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（ ）
A． B. C. D.
5. 已知m是方程的一个根，则代数式的值是 。
6. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围。

7. 已知是关于x的方程的两个根，且，求m的值。

8. 在△ABC中，AB边上的中线CD=3,AB=6,BC+AC=8，则△ABC的面积为 。
9. 已知是方程的两根，求下列代数式的值。
；

10. 已知是方程的两根，求代数式的值。

11. 已知是方程的一个根，求方程的另一个根和c的值。

12．关于x的方程的两实根的平方和为11，求m的值。

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