1、(2018)18(12分)如图,四边形为正方形,分别为的中点,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且.(1)证明:平面平面;(2)求与平面所成角的正弦值.(2017)18.(12分)如图,在四棱锥中,中,且(1)证明:平面平面;(2)若,求二面角的余弦值(2016)(18)(本小题满分为12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD, ,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是(I)证明:平面ABEF平面EFDC;(II)求二面角E-BC-A的余弦值(2015)18如图,四边形ABCD为菱形,ABC=120,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE平
2、面ABCD,DF平面ABCD,BE=2DF,AEEC.()证明:平面AEC平面AFC;()求直线AE与直线CF所成角的余弦值.(2014)19. (本小题满分12分)如图三棱锥中,侧面为菱形,.(I)证明:;()若,AB=BC,求二面角的余弦值.(2013)18(2013课标全国,理18)(本小题满分12分)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,CACB,ABAA1,BAA160.(1)证明:ABA1C;(2)若平面ABC平面AA1B1B,ABCB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值(2012)(19)(本小题满分12分)如图,直三棱柱中,是棱的中点,。 (1) 证明:;(2) 求二面角
3、 的大小.(2011)18. (本小题满分12分)如图,四棱锥中,底面为平行四边形,底面. (I) 证明:;(II) (II)若,求二面角的余弦值.答案(2018)18.(12分)解:(1)由已知可得,BFPF,BFEF,所以BF平面PEF.又平面ABFD,所以平面PEF平面ABFD.(2)作PHEF,垂足为H.由(1)得,PH平面ABFD.以H为坐标原点,的方向为y轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可得,DEPE.又DP=2,DE=1,所以PE=.又PF=1,EF=2,故PEPF.可得.则为平面ABFD的法向量.设DP与平面ABFD所成角为,则.所以DP与平面
4、ABFD所成角的正弦值为.(2017)(1)证明:,又,又,、平面平面,又平面平面平面(2)取中点,中点,连接,四边形为平行四边形由(1)知,平面平面,又、平面,又,、两两垂直以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系设,、,、设为平面的法向量由,得令,则,可得平面的一个法向量,又知平面,平面,又平面即是平面的一个法向量,由图知二面角为钝角,所以它的余弦值为(2016)(I)由已知可得,所以平面又平面,故平面平面(II)过作,垂足为,由(I)知平面以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系由(I)知为二面角的平面角,故,则,可得,由已知,所以平面又平面平面,故,由
5、,可得平面,所以为二面角的平面角,从而可得所以,设是平面的法向量,则,即,所以可取设是平面的法向量,则,同理可取则故二面角的余弦值为(2015)()连接BD,设BDAC=G,连接EG,FG,EF,在菱形ABCD中,不妨设GB=1,由ABC=120,可得AG=GC=.由BE平面ABCD,AB=BC可知,AE=EC,又AEEC,EG=,EGAC,在RtEBG中,可得BE=,故DF=.在RtFDG中,可得FG=.在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=,DF=可得EF=,EGFG,ACFG=G,EG平面AFC,EG面AEC,平面AFC平面AEC. ()如图,以G为坐标原点,分别以的方向为轴,y轴正方
6、向,为单位长度,建立空间直角坐标系G-xyz,由()可得A(0,0),E(1,0, ),F(1,0,),C(0,0),=(1,),=(-1,-,).10分故.所以直线AE与CF所成的角的余弦值为.(2014)()连结,交于O,连结AO因为侧面为菱形,所以,且O为与的中点又,所以平面,故又,故 6分()因为且O为的中点,所以AO=CO又因为AB=BC,所以故OAOB,从而OA,OB,两两互相垂直以O为坐标原点,OB的方向为x轴正方向,OB为单位长,建立如图所示空间直角坐标系O-因为,所以为等边三角形又AB=BC,则,设是平面的法向量,则,即 所以可取设是平面的法向量,则,同理可取则,所以二面角的
7、余弦值为.(2013)(1)证明:取AB的中点O,连结OC,OA1,A1B.因为CACB,所以OCAB.由于ABAA1,BAA160,故AA1B为等边三角形,所以OA1AB.因为OCOA1O,所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C,故ABA1C.(2)解:由(1)知OCAB,OA1AB.又平面ABC平面AA1B1B,交线为AB,所以OC平面AA1B1B,故OA,OA1,OC两两相互垂直以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题设知A(1,0,0),A1(0,0),C(0,0,),B(1,0,0)则(1,0,),(1,0),(0,)设n(x,y,z)是平面BB1C1C的法向量,则即可取n(,1,1)故cosn,.所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.(2012)(1)在中, 得: 同理: 得:面 (2)面 取的中点,过点作于点,连接 ,面面面 得:点与点重合 且是二面角的平面角 设,则, 既二面角的大小为(18)解:(I)因为,由余弦定理得. 从而,故. 又底面,可得. 所以平面. 故. (II)如图,以为坐标原点,的长为单位长,射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系,则,设平面的法向量为,则即. 因此可取. 设平面的法向量为,则,可取. . 故二面角的余弦值为.