历年立体几何高考题.doc

（2018）18（12分）如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.（2017）18.（12分）如图，在四棱锥中，中，且（1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值（2016）（18）（本小题满分为12分）如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD, ,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是（I）证明：平面ABEF平面EFDC；（II）求二面角E-BC-A的余弦值（2015）18如图，四边形ABCD为菱形，ABC=120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE=2DF，AEEC.（）证明：平面AEC平面AFC；（）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.（2014）19. (本小题满分12分)如图三棱锥中，侧面为菱形，.（I）证明：；（）若，AB=BC，求二面角的余弦值.(2013)18(2013课标全国，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C；(2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值(2012)（19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱中，是棱的中点，。 (1) 证明：；(2) 求二面角 的大小.(2011)18. (本小题满分12分)如图，四棱锥中，底面为平行四边形，底面. (I) 证明：；(II) (II)若，求二面角的余弦值.答案（2018）18.（12分）解：（1）由已知可得，BFPF，BFEF，所以BF平面PEF.又平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.（2）作PHEF，垂足为H.由（1）得，PH平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由（1）可得，DEPE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PEPF.可得.则为平面ABFD的法向量.设DP与平面ABFD所成角为，则.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.（2017）（1）证明：，又，又，、平面平面，又平面平面平面（2）取中点，中点，连接，四边形为平行四边形由（1）知，平面平面，又、平面，又，、两两垂直以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设，、，、设为平面的法向量由，得令，则，可得平面的一个法向量，又知平面，平面，又平面即是平面的一个法向量，由图知二面角为钝角，所以它的余弦值为（2016）（I）由已知可得,所以平面又平面,故平面平面（II）过作,垂足为,由（I）知平面以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系由（I）知为二面角的平面角,故,则,可得,由已知,所以平面又平面平面,故,由,可得平面,所以为二面角的平面角,从而可得所以,设是平面的法向量,则,即,所以可取设是平面的法向量,则,同理可取则故二面角的余弦值为（2015）（）连接BD，设BDAC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1，由ABC=120，可得AG=GC=.由BE平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC，又AEEC，EG=，EGAC，在RtEBG中，可得BE=，故DF=.在RtFDG中，可得FG=.在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，EGFG，ACFG=G，EG平面AFC，EG面AEC，平面AFC平面AEC. （）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（）可得A（0，0），E（1,0, ），F（1,0，），C（0，0），=（1，），=（-1，-，）.10分故.所以直线AE与CF所成的角的余弦值为.（2014）()连结，交于O，连结AO因为侧面为菱形，所以，且O为与的中点又，所以平面，故又，故 6分（）因为且O为的中点，所以AO=CO又因为AB=BC，所以故OAOB，从而OA，OB，两两互相垂直以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OB为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O-因为，所以为等边三角形又AB=BC，则，设是平面的法向量，则，即 所以可取设是平面的法向量，则，同理可取则，所以二面角的余弦值为.（2013）(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.因为CACB，所以OCAB.由于ABAA1，BAA160，故AA1B为等边三角形，所以OA1AB.因为OCOA1O，所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C，故ABA1C.(2)解：由(1)知OCAB，OA1AB.又平面ABC平面AA1B1B，交线为AB，所以OC平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题设知A(1,0,0)，A1(0，0)，C(0,0，)，B(1,0,0)则(1,0，)，(1，0)，(0，)设n(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，则即可取n(，1，1)故cosn，.所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.（2012）（1）在中， 得： 同理： 得：面 （2）面 取的中点，过点作于点，连接 ，面面面 得：点与点重合 且是二面角的平面角 设，则， 既二面角的大小为（18）解：（I）因为，由余弦定理得. 从而，故. 又底面，可得. 所以平面. 故. （II）如图，以为坐标原点，的长为单位长，射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则即. 因此可取. 设平面的法向量为，则，可取. . 故二面角的余弦值为.