高中数学选修2-1历年高考题中的立体几何翻折问题.doc

历年高考题中的翻折问题
86理科
(8)在正方形SG1G2G3中E、F分别是G1G2及G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1、G2、G3三点重合,重合后的点记为G.那么,在四面体S—EFG中必有
(A)SG⊥△EFG所在平面                         (B)SD⊥△EFG所在平面
(C)GF⊥△SEF所在平面                         (D)GD⊥△SEF所在平面

93北京卷
（23）如图,ABCD是正方形,E是AB的中点,如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起,使AE与BE重合,记A与B重合后的点为P,则面PCD与面ECD所成的二面角为           度.30

1996高考理科
(9)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC的体积为d

(20)（本小题满分12分）
在直角梯形ABCD中，ÐD=ÐBAD=90°,AD=DC=AB=a,(如图一)将△ADC
沿AC折起，使D到D'.记面ACD'为a,面ABC为b.面BCD'为g.
(i)若二面角a-AC-b为直二面角（如图二），求二面角b-BC-g的大小;
(ii)若二面角a-AC-b为60°（如图三），求三棱锥D'-ABC的体积。

（20）本小题主要考查空间线间关系，及运算、推理、空间想象能力。满分12
分。
解：（I）在直角梯形ABCD中，
由已知DAC为等腰直角三角形，
∴
过C作CH⊥AB，由AB=2，
可推得 AC=BC=
∴ AC⊥BC ———2分
取 AC的中点E，连结，
则 ⊥AC
又 ∵ 二面角为直二面角，
∴ ⊥
又 ∵ 平面 ∴ BC⊥ ∴ BC⊥，而，
∴ BC⊥
∴ 为二面角的平面角。
由于，
∴二面角为。 ———6分
（II）取AC的中点E，连结，再过作，垂足为O，连结
OE。
∵ AC⊥，
∴ AC⊥
∴ 为二面角的平面角，
∴ ———9分
在中，，
∴，

2002 北京春季高考
（15）正方形ABCD的边长是2，E、F分别是AB和CD的中点，
将正方形沿EF折成直二面角（如图所示）．M为矩形AEFD内
的一点，如果ÐMBE=ÐMBC，MB和平面BCF所成角的正切值
为1/2，那么点M到直线EF的距离为_________．Ö2/2

2003北京春季高考
11．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，
G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC
沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度
数为 （ ）
A．90° B．60°
C．45° D．0°

2004安徽春季理科
（5）等边三角形ABC的边长为4，M、N分别为AB、AC的中点，沿MN将△AMN折起，使得面AMN与面MNCB所处的二面角为300，则四棱锥A－MNCB的体积为
（A） （B） （C） （D）3

2005湖南高考理科
17、（本题满分12分）
　　如图1，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2。
A
B
C
D
O
O1
A
B
O
C
O1
D
　　（Ⅰ）证明：AC⊥BO1；
（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小。

解法二（I）证明 由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1，
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，
即OA⊥OB. 从而AO⊥平面OBCO1，
图4
OC是AC在面OBCO1内的射影.
因为 ，
所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，从而OC⊥BO1
由三垂线定理得AC⊥BO1.
（II）解 由（I）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC.
设OC∩O1B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O1F（如图4），则EF是O1F在平面AOC
内的射影，由三垂线定理得O1F⊥AC.
所以∠O1FE是二面角O—AC—O1的平面角.
由题设知OA=3，OO1=，O1C=1，
所以，
从而， 又O1E=OO1·sin30°=，
所以 即二面角O—AC—O1的大小是
2005浙江理科
12．设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________．90

2005年高考文科数学江西卷
9．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B—AC—D，则四面体ABCD的外接球的体积为 （ ）
A． B． C． D．

2006山东理科

（12）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的体积为
(A) (B) (C) (D)

2006辽宁
19．（本小题满分12分）
已知正方形，分别是边的中点，将沿折起，如图所示，记二面角的大小为（）．
（1）证明平面；
（2）若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论，并求角的余弦值．

A
B
C
D
E
F

（19）本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力和思维能力.满分12分
（Ⅰ）证明：、分别是正方形的边、的中点.
且
四边形是平行四边形

平面而平面
平面
（Ⅱ）解法一：点在平面内的射影在直线上，过点用平面垂足为连接
为正三角形

在的垂直平分线上。
又是的垂直平分线
点在平面内的射影在直线上
过作，垂足为，连接则
是二面角的平面角，即
设原正方形的边长为，连接，
在折后图的中，
为直角三角形，

在中，

解法二：点在平面内的射影在直线上，连结，在平面内过点作，垂足为
为正三角形，为的中点，

又
平面
平面

又，且，平面，平面，
平面，
为在平面内的射影。
点在平面内的射影在直线上
过作，垂足为，连结，则，
是二面角的平面角，即
设原正方形的边长为。
在折后图的中，，
为直角三角形，，
，
在中，，
，

解法三：点在平面内的射影在直线上连结，在平面内过点作，垂足为
为正三角形，为的中点

又
平面，
平面，
平面平面
又平面平面，
平面，即为在平面内的射影，
点在平面内的射影在直线上。
过作，垂足为，连结，则
是二面角的平面角，即
设原正方形的边长为
在折后图的中，.
为直角三角形，.
.
在中，,
,
,
.············12分

2006江苏
（19）（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分5分）
　　　在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）
（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；
图1
图2
（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）

19本小题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识，以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力。

解法一：不妨设正三角形ABC的边长为3
在图1中，取BE中点D，连结DF. AE：EB=CF：FA=1：2∴AF=AD=2而∠A=600 , ∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1, ∴EF⊥AD在图2中，A1E⊥EF, BE⊥EF, ∴∠A1EB为二面角A1－EF－B的平面角。由题设条件知此二面角为直二面角，A1E⊥BE,又∴A1E⊥平面BEF,即 A1E⊥平面BEP

在图2中，A1E不垂直A1B, ∴A1E是平面A1BP的垂线，又A1E⊥平面BEP，
∴A1E⊥BE.从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q,且A1Q交BP于点Q,则∠E1AQ就是A1E与平面A1BP所成的角,且BP⊥A1Q.在△EBP中, BE=EP=2而∠EBP=600 , ∴△EBP是等边三角形.又 A1E⊥平面BEP , ∴A1B=A1P, ∴Q为BP的中点,且,又 A1E=1,在Rt△A1EQ中，,∴∠EA1Q=60o, ∴直线A1E与平面A1BP所成的角为600
在图3中，过F作FM⊥ A1P与M，连结QM,QF,∵CP=CF=1, ∠C=600,
∴△FCP是正三角形，∴PF=1.有∴PF=PQ①,
∵A1E⊥平面BEP, ∴A1E=A1Q,
∴△A1FP≌△A1QP从而∠A1PF=∠A1PQ②,
由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP,
∴∠QMP=∠FMP=90o,且MF=MQ,
从而∠FMQ为二面角B－A1P－F的平面角.
在Rt△A1QP中,A1Q=A1F=2,PQ=1,又∴. ∵ MQ⊥A1P∴∴在△FCQ中,FC=1,QC=2, ∠C=600,由余弦定理得
在△FMQ中，
∴二面角B－A1P－F的大小为
2007安徽文
10．把边长为的正方形沿对角线折成直二面角，折成直二面角后，在四点所在的球面上，与两点之间的球面距离为（　　）
Ａ． Ｃ． Ｂ． Ｄ．
2007广东理科
图6
P
E
D
F
B
C
A
19．（本小题满分14分）如图6所示，等腰的底边，高，点是线段上异于点的动点，点在边上，且，现沿将折起到的位置，使，记，表示四棱锥的体积．
（1）求的表达式；
（2）当为何值时，取得最大值？
（3）当取得最大值时，求异面直线与所成角的余弦值．
（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，，
V(x)=（）
（2），所以时， ，V(x)单调递增；时 ，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值；
（3）过F作MF//AC交AD与M,则，PM=，
，
在△PFM中， ，∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为；

2007湖南
18．（2007高考湖南卷）
如图2，分别是矩形的边的中点，是上的一点，将，分别沿翻折成，，并连结，使得平面平面，，且．连结，如图3．
A
E
B
C
F
D
G

18．解：解法一：（Ｉ）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．
（II）过点作于点，连结．
由（I）的结论可知，平面，
所以是和平面所成的角．
因为平面平面，平面平面，，
平面，所以平面，故．
因为，，所以可在上取一点，使，又因为，所以四边形是矩形．由题设，，，则．所以，，
，．因为平面，，所以平面，从而．故，．
又，由得．
故．即直线与平面所成的角是．
解法二：（I）因为平面平面，平面平面，，
平面，所以平面，从而．又，所以平面．因为平面，所以平面平面．

（II）由（I）可知，平面．故可以为原点，分别以直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图），
由题设，，，则，
，，相关各点的坐标分别是，
，，．
所以，．
设是平面的一个法向量，
由得故可取．过点作平面于点，因为，所以，于是点在轴上．因为，所以，．
设（），由，解得，
所以．设和平面所成的角是，则
．故直线与平面所成的角是．