立体几何文科高考题.docx

2011年高考立体几何文科汇编

（江苏）
16、如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点
求证：
（1）直线EF‖平面PCD；
（2） 平面BEF⊥平面PAD

（安徽卷）
（19）（本小题满分13分）

如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，，，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形。
（Ⅰ）证明直线；
（Ⅱ）求棱锥的体积.

（北京卷）

17．（本小题共14分）
如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.
（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；
（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；
（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由.

（福建卷）
20．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。
（I）求证：CE⊥平面PAD；
（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积

（广东）
18．（本小题满分13分）
图5所示的集合体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．A，A′，B，B′分别为,,,的中点，分别为的中点．
（1）证明：四点共面；
（2）设G为A A′中点，延长\到H′，使得．证明：

（湖北）
18．（本小题满分12分）
如图，已知正三棱柱-的底面边长为2，侧棱长为，点E在侧棱上，点F在侧棱上，且,．
（I） 求证：；
（II） 求二面角的大小。

（湖南卷）
19．（本题满分12分）
如图3，在圆锥中，已知的直径
的中点．
（I）证明：
（II）求直线和平面所成角的正弦值．

（江西卷）
18.(本小题满分12分）
如图，在交AC于 点D,现将
（1）当棱锥的体积最大时，求PA的长；
（2）若点P为AB的中点，E为

（辽宁卷）
18．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．
（I）证明：PQ⊥平面DCQ；
（II）求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．

（全国卷）
20．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效）
如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形，
．
（I）证明：平面SAB；
（II）求AB与平面SBC所成的角的大小。

（山东卷）

19．（本小题满分12分）
如图，在四棱台中，平面，底面是平行四边形，，，60°
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明：．

(陕西卷)
16．（本小题满分12分）
如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°。

（Ⅰ）证明：平面ＡＤＢ  ⊥平面ＢＤＣ；
（Ⅱ）设BD=1，求三棱锥D—ＡＢＣ的表面积。

（上海卷）
20、（14分）已知是底面边长为1的正四棱柱，高。求：
⑴ 异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；
⑵ 四面体的体积。

（四川卷）
19．（本小题共l2分）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连接AP交棱CC1于D．
（Ⅰ）求证：PB1∥平面BDA1；
（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；

（天津卷）
17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面为
平行四边形，，，为中点，
平面， ，
为中点．
（Ⅰ）证明：//平面；
（Ⅱ）证明：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正切值．

（新课标）
18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD．
（I）证明：；
（II）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高．

（浙江卷）
（20）（本题满分14分）如图，在三棱锥中，，为的中点，⊥平面，垂足落在线段上．
（Ⅰ）证明：⊥；
（Ⅱ）已知，，，．求二面角的大小．

（重庆卷）

20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）
如题（20）图，在四面体中，平面ABC⊥平面，
（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；
（Ⅱ）求二面角C-AB-D的平面角的正切值。

2011年高考立体几何文科答案汇编
（江苏卷）

（安徽卷）
（19）（本小题满分13分）本题考查空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.

（I）证明：设G是线段DA与EB延长线的交点. 由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以
=
∥，OG=OD=2，
同理，设是线段DA与FC延长线的交点，有
又由于G和都在线段DA的延长线上，所以G与重合.
=
=
在△GED和△GFD中，由=
∥和OC∥，可知B和C分别是GE和GF的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF.
（II）解：由OB=1，OE=2，，而△OED是边长为2的正三角形，故
所以
过点F作FQ⊥DG，交DG于点Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F—OBED的高，且FQ=，所以
（北京卷）
（17）（共14分）
证明：（Ⅰ）因为D，E分别为AP，AC的中点，
所以DE//PC。
又因为DE平面BCP，
所以DE//平面BCP。
（Ⅱ）因为D，E，F，G分别为
AP，AC，BC，PB的中点，
所以DE//PC//FG，DG//AB//EF。
所以四边形DEFG为平行四边形，
又因为PC⊥AB，
所以DE⊥DG，
所以四边形DEFG为矩形。
（Ⅲ）存在点Q满足条件，理由如下：
连接DF，EG，设Q为EG的中点
由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG.
分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN。
与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线点为EG的中点Q，
且QM=QN=EG，
所以Q为满足条件的点.
（福建卷）
20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力；考查数形结合思想，化归与转化思想，满分12分
（I）证明：因为平面ABCD，平面ABCD，
所以
因为
又
所以平面PAD。
（II）由（I）可知，
在中，DE=CD
又因为，
所以四边形ABCE为矩形，
所以
又平面ABCD，PA=1，
所以

（广东）
18．（本小题满分13分）
证明：（1）中点，
连接BO2
直线BO2是由直线AO1平移得到

共面。
（2）将AO1延长至H使得O1H=O1A，连接
//
由平移性质得=HB

（湖北卷）
18．本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查空间想象能力和推理论证能力。（满分12分）
解法1：（Ⅰ）由已知可得

于是有
所以
又
由
（Ⅱ）在中，由（Ⅰ）可得
于是有EF2+CF2=CE2，所以
又由（Ⅰ）知CF C1E，且，所以CF 平面C1EF，
又平面C1EF，故CF C1F。
于是即为二面角E—CF—C1的平面角。
由（Ⅰ）知是等腰直角三角形，所以，即所求二面角E—CF—C1的大小为。
解法2：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得

（Ⅰ）

（Ⅱ），设平面CEF的一个法向量为
由
即
设侧面BC1的一个法向量为

设二面角E—CF—C1的大小为θ，于是由θ为锐角可得
，所以
即所求二面角E—CF—C1的大小为。

（湖南卷）
19．（本题满分12分）
解析：（I）因为
又内的两条相交直线，所以
（II）由（I）知，又所以平面在平面中，过作则连结，则是上的射影，所以是直线和平面所成的角．
在
在
（江西卷）
解：（1）设，则
令
则

单调递增
极大值
单调递减
由上表易知：当时，有取最大值。
证明：
（2） 作得中点F，连接EF、FP
由已知得：
为等腰直角三角形，
所以.
（辽宁卷）
18．解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形
因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQ⊥QD
所以PQ⊥平面DCQ. ………………6分
（II）设AB=a.
由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，所以棱锥Q—ABCD的体积
由（I）知PQ为棱锥P—DCQ的高，而PQ=，△DCQ的面积为，
所以棱锥P—DCQ的体积为
故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为1.…………12分
（全国卷）
20．解法一：
（I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，
连结SE，则
又SD=1，故，
所以为直角。 …………3分
由，
得平面SDE，所以。
SD与两条相交直线AB、SE都垂直。
所以平面SAB。 …………6分
（II）由平面SDE知，
平面平面SED。
作垂足为F，则SF平面ABCD，

作，垂足为G，则FG=DC=1。
连结SG，则，
又，
故平面SFG，平面SBC平面SFG。 …………9分
作，H为垂足，则平面SBC。
，即F到平面SBC的距离为
由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离d也有
设AB与平面SBC所成的角为α，
则 …………12分
解法二：
以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz。
设D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。
又设
（I），，
由得

故x=1。
由
又由
即 …………3分
于是，

故
所以平面SAB。
（II）设平面SBC的法向量，
则
又
故 …………9分
取p=2得。

故AB与平面SBC所成的角为
（山东卷）
19．（I）证法一：
因为平面ABCD，且平面ABCD，
所以，
又因为AB=2AD，，
在中，由余弦定理得
，
所以，
因此，
又
所以
又平面ADD1A1，
故
证法二：
因为平面ABCD，且平面ABCD，
所以
取AB的中点G，连接DG，
在中，由AB=2AD得AG=AD，
又，所以为等边三角形。
因此GD=GB，
故，
又

所以平面ADD1A1，
又平面ADD1A1，
故
（II）连接AC，A1C1，
设，连接EA1
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以
由棱台定义及AB=2AD=2A1B1知
A1C1//EC且A1C1=EC，
所以边四形A1ECC1为平行四边形，
因此CC1//EA1，
又因为EA平面A1BD，平面A1BD，
所以CC1//平面A1BD。
(陕西卷)
16．解（Ⅰ）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，
∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ，
又DBＤＣ＝Ｄ，
∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，
∵AD 平面平面ABD．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DA,,,
DB=DA=DC=1，
AB=BC=CA=,
从而

表面积：
(上海卷)
20、解：⑴ 连，∵ ，
∴ 异面直线与所成角为，记，

∴ 异面直线与所成角为。
⑵ 连，则所求四面体的体积
。
（四川卷）
解法一：
（Ⅰ）连结AB1与BA1交于点O，连结OD，
∵C1D∥平面AA1，A1C1∥AP，∴AD=PD，又AO=B1O，
∴OD∥PB1，又ODÌ面BDA1，PB1Ë面BDA1，
∴PB1∥平面BDA1．
（Ⅱ）过A作AE⊥DA1于点E，连结BE．∵BA⊥CA，BA⊥AA1，且AA1∩AC=A，
∴BA⊥平面AA1C1C．由三垂线定理可知BE⊥DA1．
∴∠BEA为二面角A－A1D－B的平面角．
在Rt△A1C1D中，，
又，∴．
在Rt△BAE中，，∴．
故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为．
解法二：
如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A1－B1C1A，则，，，，．
（Ⅰ）在△PAA1中有，即．
∴，，．
设平面BA1D的一个法向量为，
则令，则．
∵，
∴PB1∥平面BA1D，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BA1D的一个法向量．
又为平面AA1D的一个法向量．∴．
故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为．
（天津卷）
（17）本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分13分。
（Ⅰ）证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB//MO。因为平面ACM，平面ACM，所以PB//平面ACM。
（Ⅱ）证明：因为，且AD=AC=1，所以，即，又PO平面ABCD，平面ABCD，所以，所以平面PAC。
（Ⅲ）解：取DO中点N，连接MN，AN，因为M为PD的中点，所以MN//PO，且平面ABCD，得平面ABCD，所以是直线AM与平面ABCD所成的角，在中，，所以，从而，
在，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为
（新课标）
(18)解：
（Ⅰ）因为， 由余弦定理得
从而BD2+AD2= AB2，故BDAD
又PD底面ABCD，可得BDPD
所以BD平面PAD. 故 PABD
（Ⅱ）如图，作DEPB，垂足为E。已知PD底面ABCD，则PDBC。由（Ⅰ）知BDAD，又BC//AD，所以BCBD。
故BC平面PBD，BCDE。
则DE平面PBC。
由题设知，PD=1，则BD=，PB=2，
根据BE·PB=PD·BD，得DE=，
即棱锥D—PBC的高为
(浙江卷)
（20）本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分14分。
（Ⅰ）证明：由AB=AC，D是BC中点，得，
又平面ABC，，得
因为，所以平面PAD，故
（Ⅱ）解：如图，在平面PAB内作于M，连CM。
因为平面BMC，所以APCM。
故为二面角B—AP—C的平面角。
在
在，
在中，，
所以
在
又
故
同理
因为
所以
即二面角B—AP—C的大小为
（重庆卷）
20．（本题12分）
解法一：（I）如答（20）图1，过D作DF⊥AC垂足为F，
故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF
是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点，
则由AC=AD，知AG⊥CD，从而

由
故四面体ABCD的体积
（II）如答（20）图1，过F作FE⊥AB，垂足为E，连接DE。由（I）知DF⊥平面ABC。由三垂线定理知DE⊥AB，故∠DEF为二面角C—AB—D的平面角。
在
在中，EF//BC，从而EF：BC=AF：AC，所以
在Rt△DEF中，
解法二：（I）如答（20）图2，设O是AC的中点，过O作OH⊥AC，交AB于H，过O作OM⊥AC，交AD于M，由平面ABC⊥平面ACD，知OH⊥OM。因此以O为原点，以射线OH，OC，OM分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，可建立空间坐标系O—xyz.已知AC=2，故点A，C的坐标分别为A（0，—1，0），C（0，1，0）。
设点B的坐标为，有

即点B的坐标为
又设点D的坐标为有

即点D的坐标为从而△ACD边AC上的高为
又
故四面体ABCD的体积
（II）由（I）知
设非零向量是平面ABD的法向量，则由有
（1）
由，有
（2）
取，由（1），（2），可得
显然向量是平面ABC的法向量，从而

即二面角C—AB—D的平面角的正切值为

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