历年上海高考题(立体几何).doc

17．（2017-21-17）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．
（1）求三棱柱ABC-A1B1C1的体积；
（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．

17.【解析】（1）∵直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，
两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC·AA1=AB·AC·AA1=×4×2×5=20.（2）连接AM.
∵直三棱柱ABC-A1B1C1，
∴AA1⊥底面ABC.
∴∠AMA1是直线A1M与平面ABC所成角.
∵△ABC是直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，点M是BC的中点，
∴AM=BC=×=.
由AA1⊥底面ABC，可得AA1⊥AM,
∴tan∠A1MA===.
∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan．

19．（2016•23-19）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为π，A1B1长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．
（1）求三棱锥C﹣O1A1B1的体积；
（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小．

【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】（1）连结O1B1，推导出△O1A1B1为正三角形，从而=，由此能求出三棱锥C﹣O1A1B1的体积．
（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），由此能求出直线B1C与AA1所成角大小．
【解答】解：（1）连结O1B1，则∠O1A1B1=∠A1O1B1=，
∴△O1A1B1为正三角形，
∴=，
==．
（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，
∴∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），
BB1=AA1=1，
连结BC、BO、OC，
∠AOB=∠A1O1B1=，，∴∠BOC=，
∴△BOC为正三角形，
∴BC=BO=1，∴tan∠BB1C=45°，
∴直线B1C与AA1所成角大小为45°．

【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

19、（2015.上海）如图。在长方体中，分别是的中点，证明：四点共面，并求直线与平面所成角的大小。

19．（2014）（本题满分12分）
底面边长为2的正三棱锥，其表面展开图是三角形，如图，求的各边长及此三棱锥的体积．

19．（本题满分12分）
解：在中，，，所以是中位线，故．
同理，，．所以是等边三角形，各边长均为．
设是的中心，则平面，所以，．
从而，．
19.(2013)（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线BC1平行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC的距离.
【解答】因为ABCD-A1B1C1D1为长方体，故，
故ABC1D1为平行四边形，故，显然B不在平面D1AC上，于是直线BC1平行于平面DA1C；
直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为
考虑三棱锥ABCD1的体积，以ABC为底面，可得
而中，，故
所以，，即直线BC1到平面D1AC的距离为．
A
B
C
D
P
E
19.(2012)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，AD=2，PA=2.求：
(1)三角形PCD的面积；(6分)
(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.(6分)

[解](1)因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，
从而CD⊥PD. ……3分
A
B
C
D
P
E
x
y
z
因为PD=，CD=2，
所以三角形PCD的面积为. ……6分
(2)[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，
则B(2, 0, 0)，C(2, 2,0)，E(1, , 1)，
，. ……8分
设与的夹角为q，则
，q=.
由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是 ……12分
[解法二]取PB中点F，连接EF、AF，则
EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线
BC与AE所成的角 ……8分
在中，由EF=、AF=、AE=2
知是等腰直角三角形，
所以∠AEF=.
因此异面直线BC与AE所成的角的大小是 ……12分

21．(2011)（14分）已知是底面边长为1的正四棱柱，是和的交点。
（1）设与底面所成的角的大小为，二面角的大小为。
求证：；
（2）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高。

21．解：设正四棱柱的高为。
⑴ 连，底面于，
∴ 与底面所成的角为，即
∵ ，为中点，∴，又，
∴ 是二面角的平面角，即
∴ ，。
⑵ 建立如图空间直角坐标系，有

设平面的一个法向量为，
∵ ，取得
∴ 点到平面的距离为，则。
21、(2010)（本大题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分.
如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.
(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该
最大值（结果精确到0.01平方米）;
（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线与所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）

19(2009)（本题满分14分）
如图，在直三棱柱中，,
,求二面角的大小。
19，【解】如图，建立空间直角坐标系
则A（2，0，0）、 C（0，2，0） A1（2，0，2），
B1（0，0，2） 、C1（0，2，2） ……2分
设AC的中点为M，∵BM⊥AC, BM⊥CC1;
∴BM⊥平面A1C1C,即=(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量。……5分
设平面的一个法向量是 =（x，y，z），
=（-2，2，-2）， =（-2，0，0） ……7分

设法向量的夹角为，二面角的大小为，显然为锐角
…………………….14分

A
E
B1
D1
D
C1
A1
B
C
16.(2008)(12’)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC1的中点，
求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数表示）
【解析】过作，交于，连接．
∵平面，
∴ 是直线与平面所成的角．
E
D
C
A
B
A1
B1
C1
D1
F
由题意，得．
∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ．
故直线与平面所成角的大小是．
16．(2007)（本题满分12分）

如图，在体积为1的直三棱柱中，．求直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

16．解法一： 由题意，可得体积
，
．
连接． ，
平面，
是直线与平面所成的角．
，
，则 ＝．
即直线与平面所成角的大小为．

解法二： 由题意，可得
体积，
，
如图，建立空间直角坐标系． 得点，
，． 则，
平面的法向量为．
设直线与平面所成的角为，与的夹角为，
则， ，
即直线与平面所成角的大小为．

19．(2006--19)（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
P
A
B
C
D
O
E
在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．
（1）求四棱锥P－ABCD的体积；
（2）若E是PB的中点，求异面直线
DE与PA所成角的大小（结果用反
三角函数值表示）．
[解]（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得
∠PBO是PB与平面ABCD所成的角, ∠PBO=60°.
在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO,
于是,PO=BOtg60°=,而底面菱形的面积为2.
∴四棱锥P-ABCD的体积V=×2×=2.

（2）解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、
OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立
空间直角坐标系.
在Rt△AOB中OA=,于是,点A、B、
D、P的坐标分别是A(0,－,0),
B (1,0,0), D (－1,0,0), P (0,0, ).
E是PB的中点,则E(,0,) 于是=(,0, ),=(0, ,).
设的夹角为θ,有cosθ=,θ=arccos,
∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos；
解法二：取AB的中点F,连接EF、DF.
由E是PB的中点,得EF∥PA，
∴∠FED是异面直线DE与PA所成
角(或它的补角)，
在Rt△AOB中AO=ABcos30°==OP，
于是, 在等腰Rt△POA中，
PA=，则EF=.
在正△ABD和正△PBD中,DE=DF=，
cos∠FED==
∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos.

17．(2005-22-17)（本题满分12分）已知直四棱柱中，，底面ABCD是直角梯形，∠A是直角，AB||CD，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线与DC所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

17．[解法一]由题意AB//CD，是异面直线BC1与DC所成的角.

连结AC1与AC，在Rt△ADC中，可得，
又在Rt△ACC1中，可得AC1=3.
在梯形ABCD中，过C作CH//AD交AB于H，
得
又在中，可得，
在
∴异而直线BC1与DC所成角的大小为
[解法二]如图，以D为坐标原点，分别以AD、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立直
角坐标系.

则C1（0，1，2），B（2，4，0）
所成的角为，
则
∴异面直线BC1与DC所成角的大小为

21、(2004-22-21)(本题满分16分) 第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分
如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)
(1) 证明：P-ABC为正四面体；
(2) 若PD=PA, 求二面角D-BC-A的
大小；(结果用反三角函数值表示)
(3) 设棱台DEF-ABC的体积为V, 是
否存在体积为V且各棱长均相等的直
平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC
有相同的棱长和? 若存在,请具体构造
出这样的一个直平行六面体,并给出证
明；若不存在,请说明理由.

21、【证明】(1) ∵棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等,
∴DE+EF+FD=PD+OE+PF.
又∵截面DEF∥底面ABC,
∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P-ABC是正四面体.
【解】(2)取BC的中点M,连接PM,DM.AM.
∵BC⊥PM,BC⊥AM, ∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM,
则∠DMA为二面角D-BC-A的平面角.
由(1)知,P-ABC的各棱长均为1,
∴PM=AM=,由D是PA的中点,得
,∴.
(3)存在满足条件的直平行六面体.
棱台DEF-ABC的棱长和为定值6,体积为V.
设直平行六面体的棱长均为,底面相邻两边夹角为,
则该六面体棱长和为6, 体积为.
∵正四面体P-ABC的体积是,∴,.可知
故构造棱长均为,底面相邻两边夹角为的直平行六面体即满足要求.

18．(2003-22-18)（本题满分12分）
已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.若B1D⊥BC，直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积.

18．[解]连结BD，因为B1B⊥平面ABCD，B1D⊥BC，所以BC⊥BD.
在△BCD中，BC=2，CD=4，所以BD=.
又因为直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，所以
∠B1DB=30°，于是BB1=BD=2.
故平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积为SABCD·BB1=.

17．(2002-22-17)（本题满分12分）如图，在直三棱柱ABO—A/B/O/中，OO/=4，OA=4，OB=3，
∠AOB=90°，D是线段A/B/的中点，P是侧棱BB/上的一点.若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）
17.∠POB=arctan.

19．(2001-22-19)（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
在棱长为的正方体中，分别是棱上的动点，且．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的大小．（结果用反三角函数表示）
【解】（I）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系．
设，则，
．
∴．......（4分）
∵，
∴． ......（6分）
（II）记，则，
三棱锥的体积，
当且仅当时，等号成立．
因此，三棱锥的体积取得最大值时，．......（10分）
过作交于，连，可知．
∴是二面角的平面角．
在直角三角形中，直角边，是斜边上的高，
∴，
故二面角的大小为． ......（14分）
【点评】本题考查线线垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查三棱锥的体积，考查基本不等式的运用，属于中档题．

17．(2000-22-18)（本题满分12分）
已知椭圆的焦点分别为，长轴长为6，设直交椭圆于、两点，求线段的中点坐标。
[解]
18．（本题满分12分）
如图所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为，求四面体ABCD的体积。
[解]
18．[解法一]如图建立空间直角坐标系 …（2分）
由题意，有A(0，2，0)，C(2，0，0)，E(1，1，0)。设D点的坐标为(0，0，z)，则
又
[解法二]过A引BE的平行线，交与CB的延长线于F，∠DAF是异面直线BE与AD所成的角，
∴∠DAF= …（4分）
∵E是AC的中点，∴B是CF的中点，
AF=2BE=。 …（6分）
又BF，BA分别是DF，DA的射影，且BF=BC=BA。
∴DF=DA。 …（8分）
三角形ADF是等腰三角形，，
故， …（10分）
又，
因此四面体ABCD的体积是， …（12分）