正弦定理、余弦定理知识点.doc

正弦定理、余弦定理讲师：王光明【基础知识点】1. 三角形常用公式：ABC；Sab sin Cbc sin Aca sin B；2三角形中的边角不等关系: ABab,a+bc,a-bc；3【正弦定理】：2R（外接圆直径）；正弦定理的变式：；abcsin Asin Bsin C4正弦定理应用范围：已知两角和任一边，求其他两边及一角已知两边和其中一边对角，求另一边的对角几何作图时，存在多种情况如已知a、b及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：(1)A为锐角 一解 两解 一解(2)A为锐角或钝角当时有一解.5【余弦定理】a2=b2+c2-2bccosAc2=a2+b2-2abcosCb2=a2+c2-2accosB若用三边表示角，余弦定理可以写为、6余弦定理应用范围：（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边【习题知识点】知识点1运用判断三角形形状例题1在ABC中已知acosB=bcosA,试判断ABC的形状.【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状.【解析】 解法1： 由扩充的正弦定理：代入已知式 2RsinAcosB=2RsinBcosA sinAcosB-cosAsinB=0 ， sin(A-B)=0 A-B=0 A=B 即ABC为等腰三角形 解法2: 由余弦定理: 即ABC为等腰三角形.知识点2运用正、余弦定理解三角形解三角形问题中正、余弦定理的选择:(1) 在下述情况下应首先使用余弦定理: 已知三条边(边边边),求三个角; 已知两边和它们的夹角(边角边),求其它一边和两角;(2) 在下述情况下应首先使用正弦定理: 已知两边和一边的对角(边边角),求其它一边和两角; 已知两角和任一边(角角边、角边角),求其它两边和一角. 例题2在ABC中，已知，B=45 求A、C及c.【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角【解析】解法1： 由正弦定理得：B=4590 即ba A=60或120当A=60时C=75 当A=120时C=15 解法2： 设c=x由余弦定理 将已知条件代入，整理：解之： 当时 从而A=60 ，C=75 当时同理可求得：A=120 C=15.知识点3解决与三角形在关的证明、计算问题例题3 已知A、B、C为锐角，tanA=1，tanB=2，tanC=3，求A+B+C的值 【分析】本题是要求角，要求角先要求出这个角的某一个三角函数值，再根据角的范围确定角本题应先求出A+B和C的正切值，再一次运用两角和的正切公式求出A+B+C 【解析】 =0所以A+B+C=知识点4 求三角形的面积 例题4 ABC中，D在边BC上，且BD2，DC1，B60o，ADC150o，求AC的长及ABC的面积【解析】在ABC中，BAD150o60o90o，AD2sin60o 在ACD中，AD2()21221cos150o7，AC AB2cos60o1 SABC13sin60o知识点4 解决实际为题 例题4 如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75，航行8海里到达C处，望见小岛B在北端东60。若此舰不改变舰行的方向继续前进，问此舰有没有角礁的危险？来源:学科网ZXXK【解析】： 过点B作BDAE交AE于D 由已知，AC=8，ABD=75，CBD=60在RtABD中， AD=BDtanABD=BDtan 75在RtCBD中， CD=BDtanCBD=BDtan60ADCD=BD（tan75tan60）=AC=8,9分【课堂训练题】一、 填空题 1在中，角，则边等于 2以、为边长的三角形一定是 三角形 （填 锐角 直角 或 钝角）3在中，若，则角等于 4边长为的三角形的最大角与最小角的和是 5在中，若，则角_【解析】 1. 2 由余弦定理得：，且角最大， 最大内角为锐角 3 ，或 4 设中间角为，则为所求 5. 二、 解答题 1. 在中，若，求角 2.已知的内角的对边分别为，其中， 又向量m，n，mn=1 （1）若，求的值； （2）若，求的面积 答案 1、解：依题意： 从而得 即：角A=60 2、解：（1）mn 由正弦定理得， ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u（2）， ， 又， 7