正弦定理、余弦定理知识点.doc

正弦定理、余弦定理
讲师：王光明
【基础知识点】
1. 三角形常用公式：A＋B＋C＝π；S＝ab sin C＝bc sin A＝＝ca sin B；
2．三角形中的边角不等关系: A>Ba>b,a+b>c,a-b<c；；
3．【正弦定理】：＝＝＝2R（外接圆直径）；
正弦定理的变式：；　　　a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C．
4．正弦定理应用范围：
　　①已知两角和任一边，求其他两边及一角．
　　②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．
③几何作图时，存在多种情况．如已知a、b及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．
已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：
(1)A为锐角

一解 两解 一解
(2)A为锐角或钝角
当时有一解.
5．【余弦定理】　a2=b2+c2-2bccosA．c2=a2+b2-2abcosC．b2=a2+c2-2accosB．
若用三边表示角，余弦定理可以写为
、

6．余弦定理应用范围：
（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；
（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．
【习题知识点】
知识点1　运用判断三角形形状

例题1在△ABC中已知acosB=bcosA,试判断△ABC的形状.

【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示．从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状.
【解析】
解法1：
由扩充的正弦定理：代入已知式
2RsinAcosB=2RsinBcosA
sinAcosB-cosAsinB=0 ， sin(A-B)=0
A-B=0 ∴A=B 即△ABC为等腰三角形

解法2:
由余弦定理: ∴
即△ABC为等腰三角形.

知识点2　　运用正、余弦定理解三角形

解三角形问题中正、余弦定理的选择:
(1) 在下述情况下应首先使用余弦定理:
①已知三条边(边边边),求三个角;
②已知两边和它们的夹角(边角边),求其它一边和两角;
(2) 在下述情况下应首先使用正弦定理:
①已知两边和一边的对角(边边角),求其它一边和两角;
②已知两角和任一边(角角边、角边角),求其它两边和一角.

例题2　在△ABC中，已知，，B=45° 求A、C及c.
【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角
【解析】
解法1：
由正弦定理得：
∵B=45°<90° 即b<a ∴A=60°或120°
当A=60°时C=75°
当A=120°时C=15°

解法2：
设c=x由余弦定理 将已知条件代入，整理：解之：
当时 从而A=60° ，C=75°
当时同理可求得：A=120° C=15°.

知识点3　　解决与三角形在关的证明、计算问题

例题3　 已知A、B、C为锐角，tanA=1，tanB=2，tanC=3，求A+B+C的值．
　【分析】本题是要求角，要求角先要求出这个角的某一个三角函数值，再根据角的范围确定角．本题应先求出A+B和C的正切值，再一次运用两角和的正切公式求出A+B+C．
【解析】

=0
所以A+B+C=π

知识点4 求三角形的面积

例题4 △ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ADC＝150o，求AC的长及△ABC的面积．

【解析】在△ABC中，∠BAD＝150o－60o＝90o，∴AD＝2sin60o＝．
在△ACD中，AD2＝()2＋12－2××1×cos150o＝7，∴AC＝．
∴AB＝2cos60o＝1．
S△ABC＝×1×3×sin60o＝．

知识点4 解决实际为题

例题4 如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北端东60°。若此舰不改变舰行的方向继续前进，问此舰有没有角礁的危险？

[来源:学§科§网Z§X§X§K]

【解析】： 过点B作BD⊥AE交AE于D
由已知，AC=8，∠ABD=75°，∠CBD=60°
在Rt△ABD中，
AD=BD·tan∠ABD=BD·tan 75°
在Rt△CBD中，
CD=BD·tan∠CBD=BD·tan60°
∴AD－CD=BD（tan75°－tan60°）=AC=8,…9分
∴

【课堂训练题】
一、 填空题
1．在中，角，则边等于

2．以、、为边长的三角形一定是 三角形 （填 锐角 直角 或 钝角）

3．在中，若，则角等于

4．边长为的三角形的最大角与最小角的和是
5．在中，若，则角_________．

【解析】
1. ．
2． 由余弦定理得：，且角最大， ∴最大内角为锐角．
3． ，或．
4． 设中间角为，则为所求．
5. ．

二、 解答题
1. 在中，若，求角

2.已知△的内角的对边分别为，其中，
又向量m，n，m·n=1．
（1）若，求的值；

（2）若，求△的面积．

答案
1、解：依题意：
从而得
即：角A=60

2、解：（1）∵mn
∴ ∴
由正弦定理得，，
∴
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（2）∵，， ，
∴，
又∵，∴，∴，
∴．

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